Đề cương toán 7 (27/04/10)

- 1 - ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ II MÔN TOÁN I. Phần đại số: Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2 2x 4x 5− + tại x = 2 b) ( ) 3 xy x y xy 1− + + tại x = –1 ; y = 1 2 c) 2 2 3 3 4 xy y z z x+ + tại x = 1 ; y = –1 ; z = –2 Bài 2: Viết 3 đơn thức đồng dạng với đơn thức 2 3x y rồi tính tổng 4 đơn thức đó. Bài 3: Viết một đa thức bậc 3 có 2 biến x, y và có 3 hạng tử. Bài 4: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức: a) P(x) = 3 2 3 2x 5x 3x 2x 1− + − + b) Q(x) = 3 2 5x 9x 20− + Bài 5: Tính tích của hai đơn thức rồi tìm bậc của đơn thức vừa tìm được: a) 2 2 1 4x y vaø xy 2 − b) 3 2 1 2 xy vaø x y 3 5 − c) 3 3 2 3 x y z 5   −  ÷   Bài 6: Tìm đa thức M biết: a) ( ) 2 2 2 2 M x xy y x xy 2y+ − + = + − b) ( ) 3 2 2 3 2 M x y x y xy 2x y xy− − + = − Bài 7: Cho hai đa thức: A(x) = 5 2 4 3 2 1 x 3x 7x 9x x x 4 − + − + − B(x) = 4 5 2 3 2 1 5x x x 2x 3x 4 − + − + − a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của hai đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến. b) Tính A(x) + B(x) và A(x) – B(x) c) Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không phải là nghiệm của đa thức B(x). Bài 8: Cho hai đa thức: f(x) = 5 3 2 4 9 x 4x 2x x 7x− + − + − g(x) = 5 2 4 3 x 9 2x 7x 2x 3x− + + + − a) Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến và tìm bậc của mỗi đa thức. b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x). c) Tính h(1). d) Tìm nghiệm của đa thức h(x). Bài 9: Tìm nghiệm các đa thức sau: a) P(x) = 2009x + 2010 b) Q(x) = 2 – x c) A(x) = x 2 – 1 d) B(y) = y 2 + 1 e) G(x) = x 2 + 3x - 2 - f) H(x) = (x – 3)(x + 3) Bài 10: Trong các số sau: –3 ; 0 ; 3 số nào là nghiệm của đa thức A(x) = 2x + 6 Bài 11: Tìm m để x = –1 là nghiệm của đa thức M(x) = x 2 – mx + 2 Bài 12: Cho đa thức P(x) = 5x 3 + 2x 4 – x 2 + 3x 2 – x 3 – x 4 + 1 – 4x 3 a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo luỹ thừa giảm của biến. b) Tính P(1) và P(–1). c) Chứng tỏ đa thức trên không có nghiệm. II. Phần hình học: Bài 1: Cho ∆ABC có µ µ o o A 100 ;B 40= = . Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC và cho biết tam giác đó là tam giác gì? Bài 2: Cho ∆ABC có µ µ o o A = 50 ;B 60= . Hãy so sánh các cạnh của ∆ABC. Bài 3: Cho ∆OPQ vuông tại O. Biết OQ = 8cm, PQ = 10cm. Tính độ dài OP. Bài 4: Chứng tỏ ∆DEF vuông, biết độ dài ba cạnh DE = 15cm, DF = 8cm, EF = 17cm. Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm. Tính các độ dài AC, BC. Bài 6: Trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài sau đây, bộ ba nào là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? a) 3cm ; 4cm ; 6cm b) 2cm ; 3cm ; 6cm c) 2cm ; 4cm ; 6cm Bài 7: Cho ∆ABC có góc A tù. Xác định trực tâm của ∆ABC. Bài 8: Cho ∆ABC có AB = AC ; BC < AC. Vẽ hình xác định các điểm: a) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. b) Điểm cách đều ba cạnh của tam giác. c) Trọng tâm của tam giác. d) Trực tâm của tam giác. Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH. a) So sánh: HB và HC. b) Kẻ phân giác AD của góc HAC ; kẻ DE vuông góc AC. Chứng minh ∆DHE cân. Bài 10: Cho ∆DEF cân tại D với đường trung tuyến DI. a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI b) Các góc DIE và DIF là những góc gì? c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm. Tính độ dài trung tuyến DI. Bài 11: Cho ∆ABC có AB = AC = 5cm ; BC = 8cm. Kẻ đường cao AH (H ∈ BC). a) Chứng minh HB = HC và · BAH = · CAH . b) Tính độ dài AH. c) Kẻ HD ⊥ AB (D ∈ AB) ; HE ⊥ AC (E ∈ AC). Chứng minh ∆HDE cân. d) Chứng minh DE // BC. Bài 12: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 4cm. Vẽ phân giác BE, đường cao EH của ∆EBC. Gọi I là giao điểm của AB và HE. a) Tính BC. b) Chứng minh ∆ABE = ∆HBE. c) Chứng minh BE là trung trực của AH. d) Chứng minh EC > AE. e) Chứng minh EI = EC. - 3 - Bài 13: Cho ∆ABC có µ o B 90= , vẽ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh: a) ∆ABM = ∆ECM. b) AC > CE. c) So sánh · BAM và · MAC Bài 14: Cho ∆DEF (DE = DF). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DF và DE. a) Chứng minh: · DEM = · DFN . b) Gọi K là giao điểm của EM và FN. Chứng minh KE = KF. *** GIẢI BÀI TẬP I. Phần đại số: Bài 1: a) Tại x = 2, ta có: 2 2 2x 4x 5 2 2 4 2 5 2 4 8 5 8 8 5 5 − + = × − × + = × − + = − + = b) Tại x = –1 ; y = 1 2 , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 xy x y xy 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 0 0 2   − + + = − − × − × + − × +  ÷     = × − × − +  ÷     − = − +  ÷   = × = c) Tại x = 1 ; y = –1 ; z = –2, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 3 3 4 4 xy y z z x 1 1 1 2 2 1 1 1 1 8 8 1 1 8 8 15 + + = × − + − × − + − × = × + × − + − × = − − = − Bài 2: 3 đơn thức đồng dạng với đơn thức 2 3x y là: 2 2 2 x y ; 3x y ; x y− − Tổng 4 đơn thức đó: ( ) 2 2 2 2 2 3x y x y + 3x y + x y = 3 1 3 1 x y = 0+ − − + − − Bài 3: Đa thức bậc 3 có 2 biến x, y và có 3 hạng tử là: 2 2 2 x y x y+ + - 4 - Bài 4: ( ) 3 2 3 3 2 2 a) P(x) 2x 5x 3x 2x 1 2 2 x 5x 3x 1 5x 3x 1 Bậc 2 ; 5 là hệ số cao nhất ; 1 là hệ số tự do = − + − + = − − + + = − + + ⇒ − 3 2 b) Q(x) 5x 9x 20 Bậc 3 ; 5 là hệ số cao nhất ; 20 là hệ số tự do = − + ⇒ Bài 5: 2 2 2 2 3 3 1 1 a) 4x y xy 4 x xyy 2x y 2 2 Bậc 6   − ×− = × × = −  ÷   ⇒ 3 2 3 2 4 3 1 2 1 2 2 b) xy x y xx yy x y 3 5 3 5 15 Bậc 7 − × = − × × = − ⇒ ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 3 2 3 9 6 3 3 3 27 c) x y z x y z x y z 5 5 125 Bậc 18     − − − = × × × =  ÷  ÷     ⇒ Bài 6: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a) M x xy y x xy 2y M = x xy 2y x xy y M x xy 2y x xy y M 1 1 x 1 1 xy 2 1 y M 2xy 3y + − + = + − + − − − + = + − − + − = − + + + − − = − ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 b) M x y x y xy 2x y xy M 2x y xy x y x y xy M 2 1 x y 1 1 xy x y M 3x y x y − − + = − = − + − + = + + − − = − Bài 7: a) Thu gọn 2 đa thức: ( ) 5 2 4 3 2 5 2 4 3 5 2 4 3 5 4 3 2 1 A(x) x 3x 7x 9x x x 4 1 = x 3 1 x 7x 9x x 4 1 x 2x 7x 9x x 4 1 = x 7x 9x 2x x 4 = − + − + − + − + + − − = − + − − + − − − - 5 - ( ) 4 5 2 3 2 4 5 2 3 5 4 3 2 1 B(x) 5x x x 2x 3x 4 1 5x x 1 3 x 2x 4 1 x 5x 2x 4x 4 = − + − + − = − + + − − = − + − + − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 4 3 2 1 1 A(x) B(x) = x 7x 9x 2x x x 5x 2x 4x 4 4 1 1 1 1 x 7 5 x 9 2 x 2 4 x x 4 4 1 1 12x 11x 2x x 4 4 + + − − − − + − + − = − + + + − − + − + − − = − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 1 1 A(x) B(x) = x 7x 9x 2x x x 5x 2x 4x 4 4 1 1 x 7x 9x 2x x x 5x 2x 4x 4 4 1 1 1 1 x 7 5 x 9 2 x 2 4 x x 4 4 1 1 2x 2x 7x 6x x 4 4   − + − − − − − + − + −  ÷   = + − − − + − + − + = + + − + − + + − − − − = + − − − − c) 5 4 3 2 5 4 3 2 1 A(0) 0 7 0 9 0 2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) 1 B(0) = 0 5 0 2 0 4 0 4 1 1 0 0 0 0 4 4 x = 0 không là nghiệm của đa thức B(x) = + × − × − × − × = + − − − = ⇒ − + × − × + × − − = + − + − = ⇒ Bài 8: a) 5 3 2 4 5 4 3 2 f(x) 9 x 4x 2x x 7x x 7x 2x x 4x 9 Bậc 5 = − + − + − = − − − + + + ⇒ 5 2 4 3 5 4 3 2 g(x) x 9 2x 7x 2x 3x = x 7x 2x 2x 3x 9 Bậc 5 = − + + + − + + + − − ⇒ - 6 - b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 2 h(x) f(x) g(x) x 7x 2x x 4x 9 x 7x 2x 2x 3x 9 1 1 x 7 7 x 2 2 x 1 2 x 4 3 x 9 9 3x x = + = + + + + + + + = + + + + + + + + + = c) 2 h(1) 3 1 1 3 1 1 3 1 2 = ì = ì = = d) ( ) 2 h(x) 3x x 0 x 3x 1 0 x 0 1 3x 1 0 3x 1 x = 3 1 x = 0 ; x = laứ nghieọm cuỷa ủa thửực h(x) 3 = = = = = = = = Bi 9: a) P(x) = 0 2009x + 2010 = 0 2009x = 2010 x = 2010 2009 x = 2010 2009 l nghim ca a thc P(x) b) Q(x) = 0 2 x = 0 x = 2 x = 2 l nghim ca a thc Q(x) c) A(x) = 0 x 2 1 = 0 x 2 = 1 x 1 x 1 = = x = 1 ; x = 1 l nghim ca a thc A(x) d) B(y) = 0 y 2 + 1 = 0 y 2 = 1 (vụ lớ vỡ y 2 0 vi mi y) a thc B(y) vụ nghim e) G(x) = 0 x 2 + 3x = 0 x(x + 3) = 0 x 0 x 3 0 x = 3 = + = x = 0 ; x = 3 l nghim ca a thc G(x) - 7 - f) H(x) = 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) = 0 ⇔ x 3 0 x 3 x 3 0 x 3  − = ⇒ =  + = ⇒ = −  ⇒ x = 3 ; x = –3 là nghiệm của đa thức H(x) Bài 10: Thay x = –3 ; 0 ; 3 vào đa thức, ta có: A(–3) = 2 × (–3) + 6 = –6 + 6 = 0 A(0) = 2 × 0 + 6 = 0 + 6 = 6 A(3) = 2 × 3 + 6 = 6 + 6 = 12 ⇒ x = –3 là nghiệm của đa thức A(x) Bài 11: Theo đề bài, ta có: Vì x = –1 là nghiệm của đa thức M(x) nên: (–1) 2 – m × (–1) + 2 = 0 1 + m + 2 = 0 3 + m = 0 m = –3 Vậy khi m = –3 thì x = –1 là nghiệm của đa thức. Bài 12: Cho đa thức a) P(x) = 5x 3 + 2x 4 – x 2 + 3x 2 – x 3 – x 4 + 1 – 4x 3 = (5 – 4 – 1)x 3 + (2 – 1)x 4 + (–1 + 3)x 2 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 b) P(1) = 1 4 + 2 × 1 2 + 1 = 1 + 2 × 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 P(–1) = x 4 + 2x 2 + 1 = (–1) 4 + 2 × (–1) 2 + 1 = 1 + 2 × 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 c) Vì 4 2 4 2 x 0 2x 0 x 2x 1 0 ña thöùc P(x) voâ nghieäm 1 0  ≥  ≥ ⇒ + + > ⇒   >  - 8 - II. Phần hình học: Bài 1: Trong tam giác ABC có: µ µ µ ( ) µ µ µ o o o o o o o o A B C 180 tổng 3 góc trong tam giác 100 40 C 180 C 180 100 40 C 40 + + = + + = = − − = Vì 100 o > 40 o = 40 o ⇒ ( ) <AB là cạnh lớn nhất trong tam giác quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác tam giác ABC là tam giác cân      Bài 2: Trong tam giác ABC có: µ µ µ ( ) µ µ µ o o o o o o o o A B C 180 tổng 3 góc trong tam giác 50 60 C 180 C 180 50 60 C 70 + + = + + = = − − = Vì 70 o > 60 o > 50 o nên µ µ µ C B A> > ⇒ AB > CA > BC (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) Bài 3: Trong tam giác OPQ : µ O 1V= có: OP 2 + OQ 2 = PQ 2 (Pitago) OP 2 + 8 2 = 10 2 OP 2 + 64 = 100 OP 2 = 100 – 64 = 36 OP = 36 6= cm GT ∆ABC : µ µ o o A 50 ;B 60= = KL So sánh các cạnh của tam giác GT ∆ABC : µ O 1V= OQ = 8cm ; PQ = 10cm KL OP = ? GT ∆ABC : µ µ o o A 100 ;B 40= = KL Tìm cạnh lớn nhất? ∆ABC là tam giác gì? - 9 - Bi 4: Theo nh lớ Pitago o, ta cú: ( ) 2 2 2 2 2 2 DF DE EF 8 15 17 64 225 289 289 289 thoaỷ maừn Tam giaực DEF vuoõng taùi D + = + = + = = Bi 5: * Tớnh AC: Trong tam giỏc AHC : à H 1V= cú: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 HA HC AC Pitago 12 16 AC 144 256 AC AC = 400 AC 400 20cm + = + = + = = = * Tớnh BC: Trong tam giỏc ABH : à H 1V= cú: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 HA HB AB Pitago 12 HB 13 144 HB 169 HB =169 144 25 HC 25 5cm + = + = + = = = = Ta cú: BC HC HB =16 5 21cm = + + = GT ABC : DE = 15cm , DF = 8cm , EF = 17cm KL Tam giỏc DEF vuụng GT ABC nhn : AH BC (H BC) AB = 13cm , AH = 12cm , HC = 16cm KL AC = ? ; BC = ? - 10 - Bài 6: Theo quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác, ta có: ( ) ( ) ( ) a) 3 4 6 7 6 thoả mãn b)2 3 6 5 6 vô lí c)2 4 6 6 6 vô lí câu a có thể vẽ được tam giác + > > + > > + > > ⇒ Bài 7: O là trực tâm Bài 8: GT ∆ABC : µ o A 90> KL Tìm trực tâm của tam giác ABC GT ∆ABC : AB = AC , BC < AC KL Tìm: a) Điểm cách đều ba đỉnh b) Điểm cách đều ba cạnh c) Trọng tâm d) Trực tâm I : điểm cách đều 3 đỉnh L : điểm cách đều 3 cạnh G : trọng tâm F : trực tâm [...]... vng ABE và HBE có: BE: cạnh huyền chung · · · ABE = HBE (BE là phân giác của ABH ) ⇒ ∆ABE = ∆HBE (h.g) (*) c) Từ (*) ⇒ BA = BH ; EA = EH (2 cạnh tương ứng) ⇒ BE là đường trung trực của AH (do B, E cách đều A, H) µ d) Vì EA = EH, mà ∆CEH có H = 1V ⇒ EC > EH ⇒ EC > EA e) Xét 2 tam giác EHC và EAI có: · · EHC = EAI = 90o · · AEI = CEH (đối đỉnh) EA = EH (cmt) ⇒ ∆EHC = ∆EIA (g.c.g) ⇒ EI = EC (2 cạnh tương . − = − + − + = + + − − = − Bài 7: a) Thu gọn 2 đa thức: ( ) 5 2 4 3 2 5 2 4 3 5 2 4 3 5 4 3 2 1 A(x) x 3x 7x 9x x x 4 1 = x 3 1 x 7x 9x x 4 1 x 2x 7x 9x x 4 1 = x 7x 9x 2x x 4 = − + − + − + − +. 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 1 1 A(x) B(x) = x 7x 9x 2x x x 5x 2x 4x 4 4 1 1 x 7x 9x 2x x x 5x 2x 4x 4 4 1 1 1 1 x 7 5 x 9 2 x 2 4 x x 4 4 1 1 2x 2x 7x 6x x 4 4   − + − − − − − + − + −  ÷   =. − = ⇒ Bài 8: a) 5 3 2 4 5 4 3 2 f(x) 9 x 4x 2x x 7x x 7x 2x x 4x 9 Bậc 5 = − + − + − = − − − + + + ⇒ 5 2 4 3 5 4 3 2 g(x) x 9 2x 7x 2x 3x = x 7x 2x 2x 3x 9 Bậc 5 = − + + + − + + + − − ⇒ - 6