BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ doc

Giỏo ỏn bi dng hc sinh gii Toỏn BI TON V DY S I. Mc tiờu: Sau bi hc, giỳp hc sinh nm c: 1. Đối với số tự nhiên liên tiếp : a) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lợng số chẵn bằng số lợng số lẻ. b) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lợng số chẵn nhiều hơn số lợng số lẻ là 1. c) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lợng số lẻ nhiều hơn số lợng số chẵn là 1. 2. Một số quy luật của dãy số thờng gặp: a) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trớc nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d. b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trớc nó nhân hoặc chia một số tự nhiên q (q > 1). c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trớc nó. d) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trớc nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy. e) Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trớc nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. f) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó. 3. Dãy số cách đều: a) Tính số lợng số hạng của dãy số cách đều: - S s hng = (s cui - s u) : khong cỏch + 1. (d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp) - S cui = s u + khong cỏch x (s s hng - 1) - S u = s cui - khong cỏch x (s s hng - 1) Ví dụ: Tính số lợng số hạng của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, , 94, 97, 100. Ta thấy: 4 - 1 = 3 7 - 4 = 3 10 - 7 = 3 97 - 94 = 3 100 - 97 = 3 Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lợng số hạng của dãy số đã cho là: (100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng) b) Tính tổng của dãy số cách đều: GV: Trần Thị hải Lý-Trờng Tiểu học Hội Hợp B Giỏo ỏn bi dng hc sinh gii Toỏn Ví dụ : Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, , 94, 97, 100 là: 2 34)1001( x+ = 1717 4. Lm tt cỏc bi tp. II. Chun b: III. Cỏc hot ng: 1. T chc: 2. Bi c: 3. Bi mi: - Gii thiu: - Ni dung: Phn 1: Giỳp hc sinh nm c ni dung kin thc v lớ thuyt nh phn mc tiờu ó nờu:. - Hc sinh thc hnh nm ni dung lớ thuyt. Phn 2: HDHS lm mt s bi tp: - Hc sinh t lm bi ri trỡnh by, nhn xột b sung. Bài 1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, d) 1, 4, 7, 10, 13, 16, b) 0, 3, 7, 12, e) 0, 2, 4, 6, 12, 22, c) 1, 2, 6, 24, . g) 1, 1, 3, 5, 17, Bài 2: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau: a) 10, 13, 18, 26, k) 1, 3, 3, 9, 27, b) 0, 1, 2, 4, 7, 12, l) 1, 2, 3, 6, 12, 24, c) 0, 1, 4, 9, 18, m) 1, 4, 9, 16, 25, 36, d) 5, 6, 8, 10, o) 2, 12, 30, 56, 90, e) 1, 6, 54, 648, p) 1, 3, 9, 27, g) 1, 5, 14, 33, 72, q) 2, 6, 12, 20, 30, h) 2, 20, 56, 110, 182,. t) 6, 24, 60, 120, 210, Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của dãy sau. Biết mỗi dãy có 10 số hạng: a) , 17, 19, 21, b) , 64, 81, 100, a) Nhn xột: õy l dóy s cỏch u, mi s hng lin nhau hn kộm nhau 2 n v. S hng u tiờn ca dóy l: 21 - 2 x (10 - 1) = 3 b) Nhn xột: S hng th 10 l: 100 = 10 x 10 S hng th 9 l; 81 = 9 x 9 GV: Trần Thị hải Lý-Trờng Tiểu học Hội Hợp B Giỏo ỏn bi dng hc sinh gii Toỏn S hng th 8 l: 64 = 8 x 8 Quy lut ca dóy l: Mi s hng bng s th t ca nú nhõn vi chớnh s th t y. Vy s hng u tiờn ca dóy l: 1 x 1 = 1. ỏp s: a)3; b) 1 Bài 4: Tìm 2 số hạng đầu của các dãy số, trong mỗi dãy đó có 15 s hng : a) , 39, 42, 45, b) , 4, 2, 0. c) / 23, 25, 27, 29, a) dóy s tng dn v cỏch u 3 n v. S hng u tiờn l: 45 - 3 x (15 - 1) = 3. S hng th hai l: 3 + 3 = 6. Dóy s y l: 3, 6, , 39, 42, 45. b) dóy s gim dn v cỏch u 2 n v. Do ú s hng u ca dóy l: 0 + 2 x (15 - 1) = 28. S hng th hai ca dóy l: 28 - 2 = 26 Dóy s y l: 28, 26, , 4, 2, 0. c) Dóy s tng dn v cỏch u 2 n v. S hng u l: 29 - 2 x (15 - 1) = 1. S hng th hai l 1 + 2 = 3. Dóy s y l: 1, 3, 23, 25, 27, 29. Bài 5: Cho dãy số : 1, 4, 7, 10, , 31, 34, a) Tìm số hạng thứ 100 trong dãy. b) Số 2002 có thuộc dãy này không? a) S hng th nht : 3 x (1 - 1) + 1 = 1 S hng th hai: 3 x (2 - 1) + 1 = 4 S hng th ba: 3 x (3 - 1) + 1 = 7 Quy lut: S hng th 100 l: 3 x (100 - 1) + 1 = 398. b) Cỏc s hng ca dóy u l s chia 3 d 1. Do 2002 chia 3 d 1 nờn s 2002 thuc dóy. Bài 6: Cho dãy số : 3, 18, 48, 93, 153, a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b) Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy? - Hc sinh t lm bi ri cha bi, Bài 7: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, , x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106. Dóy ó cho cú x - 9 (s hng) Ta cú: (10 + x) x (x - 9): 2 = 5106 (10 + x) x (x - 9) = 5106 x 2 = 10212 (10 + x) v (x - 9) l hai s t nhiờn hn kộm nhau 19 n v Bài 8: Hãy cho biết : a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, hay không? a) Dóy s 90, 05, 100, l dóy s chia ht cho 5, cỏch u nhau 5 n v v cú s hng nh nht l 90. S 50 chia ht cho 5 nhng nh hn 90 nờn GV: Trần Thị hải Lý-Trờng Tiểu học Hội Hợp B Giỏo ỏn bi dng hc sinh gii Toỏn b) Số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11, hay không? c) Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24, ? Hãy giải thích tại sao? khụng thuc dóy. S 133 ln hn 90 nhng khụng chia ht cho 5 nờn cng khụng thuc dóy. b) Dóy s 2, 5, 8, 11, l dóy cỏc s chia cho 3 d 2, cỏch u nhau 3 n v. S 1996 chia 3 d 1 nờn khụng thuc dóy. c) Dóy s 3, 6, 9, 12, l dóy s chia ht cho 3. Trong cỏc s 666, 1000, 9999 cú s 666 v 9999 chia ht cho 3 nờn hai s ny thuc dóy, s 1000 chia 3 d 1 nờn khụng thuc dóy. Bài 9: Cho dãy số 1, 7, 13, 19, 25, Hãy cho biết các số: 351, 400, 570, 686, 1975 có thuộc dãy số đã cho hay không? - Dóy 1, 7, 13, 19, l dóy s chia 6 d 1, cỏch u 6 n v. Cú s 1975 chia cho 6 d 1 nờn s 1975 thuc dóy. Cỏc s 351, 400, 570, 686 khụng thuc dóy. Bài 10: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, 4, , 1999. Hỏi dãy số đó có bao số hạng ? - Dóy s 1, 2, 3,4, , 1999 l dóy s t nhiờn liờn tip nờn cú s s hng l : (19991- 1) + 1 = 1999 Hoc 1999 - (1 - 1) = 1999. Bài 11: Cho dãy số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8, 10, , 2468. Hỏi dãy có: a) Bao nhiêu số hạng? b) Bao nhiêu chữ số? a) õy l dóy s chn nờn hai s lin nhau hn kộm nhau 2 n v. Cú s sú hng l: (2468 - 2) : 2 + 1 = 1234 (s) b)- T 2 n 8 cú 4 s mi s cú 1 ch s nờn cú s ch s l : 4x1= 4(ch s) - T 10 n 98 cú (98 - 10) : 2 + 1 = 45(s). Mi s cú hai ch s nờn t 10 n 98 cú: 45 x 2 = 90 (ch s) - T 100 n 998 cú (998 - 100):2 + 1= 450 (s). Mi s cú ba ch s nờn t 100 n 998 cú : 450 x 3 = 1350 (ch s) - T 1000 n 2468 cú: (2468 - 1000):2 + 1 = 735 (s). Mi s cú bn ch s nờn t 1000 n 2468 cú: 735 x 4 = 2940 (ch s) Vy dóy s ó cho cú s ch s l: 4 + 90 + 1350 + 2940 = 4384 (ch s) ỏp s: a) 1234 s; b) 4384 ch s. Bài 12: Cho dãy số 1, 5, 9, 13, , 2005. Hỏi: a) Dãy số có bao nhiêu số hạng? b) Dãy số có bao nhiêu chữ số? a) õy l dóy s chia 4 d 1 v cỏch u 4 n v. Dóy s cú s s hng l: (2005 - 1) : 4 + 1 = 502 (s hng) b) T 1 n 9 cú 3 s, mi s cú mt ch s nờn t 1 n 9 cú 3 x 1 = 3 (ch s) GV: Trần Thị hải Lý-Trờng Tiểu học Hội Hợp B Giỏo ỏn bi dng hc sinh gii Toỏn - T 13 n 97 cú: (97 - 13) : 4 + 1= 25 (s) mi s cú hai ch s nờn t 13 n 97 cú : 25 x 2 = 50 (ch s). - T 101 n 997 cú: (997 - 101) : 4 + 1 = 225 (s), mi s cú ba ch s nờn t 101 n 997 cú : 225 x 3 = 675 (ch s) - T 1001 n 2005 cú: (2005 - 1001) : 4 + 1 = 252 (s),mi s cú bn ch s nờn t 1001 n 2005 cú: 252 x 4 =1008 (ch s). Vy dóy s trờn cú s ch s l: 3 + 50 + 675 + 1008 = 1736 (ch s) ỏp s: Bài 13: Hãy tính tổng của các dãy số sau: a) 4, 9, 14, 19, 24, , 999 b) 1, 5, 9, 13, 17, Biết dãy số có 80 số hạng. c) , 17, 27, 44, 71, 115. Biết dãy số có 8 số hạng. a) õy l dóy s cỏch u nhau 5 n v. Dóy s ó cho cú s s hng l: (999 - 4) : 5 + 1 = 200 (s hng) Tng ca dóy s l: (4 + 999) x 200 : 2 =100300. b) Nhn xột Quy lut : S hng = 4 x (S th t - 1) + 1. S hng th 80 l: 4 x (80 - 1) + 1 = 317. Tng ca dóy l: (1 + 317) x 80 : 2 = 12720. c) Bài 14: Tính nhanh: a) Tính tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 1995. b) Tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên. a) Tng cỏc s l liờn tip t 1 n 1995 l: 1 + 3 + 5 + + 1993 + 1995 S s hng ca tng l: (1995 - 1) : 2 + 1 = 998 (s hng) Tng ca dóy l: (1 + 1995) x 998 : 2 = 996004. b) Tng ca 100 s t nhiờn liờn tip u tiờn l: 0 + 1 + 2 + 3 + + 98 + 99. = (0 + 99) + (1 + 98) + + (49 + 50) = 99 + 99 + + 99 (cú 100:2 = 50 tha s 99) = 99 x 50 = 4950 ỏp s: Bài 15: Tính: a) 1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9. b) 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + + a) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9) - (2 + 4 + 6 + 8) = 25 - 20 = 5. GV: Trần Thị hải Lý-Trờng Tiểu học Hội Hợp B Giỏo ỏn bi dng hc sinh gii Toỏn 91 - 93 + 95 - 97 + 99. c) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + + 98 - 99 - 100 + 101 b) Lm tng t. c) nhúm 2 s vo mt nhúm: (5 - 4 + 2- 3); (9 - 8 + 6 - 7), mi nhúm u cú giỏi tr l 1 - 1 = 0 (n v) T 2 n 101 cú s nhúm l: (101 - 1 + 1) : 4 = 25 (nhúm) Vy tng ca dóy l: 1 + 0 x 25 = 1 Bài 16: Để đánh số trang sách của một cuốn sách dày 220 trang, ngời ta phải dùng bao nhiêu lợt chữ số? - T trang 1 n trang 9 cú 9 trang, mi trang cn 1 ch s. Vy t trang 1 n trang 9 cn 9 ch s. - T trang 10 n trang 99 cú: 99 - 10 + 1 = 90 (trang), mi trang cn 2 ch s. Vy t trang 10 n trang 99 cn s ch s l: 90 x 2 = 180 (ch s) - T trang 100 n trang 220 cú : 220 - 100 + 1 = 121 (trang) mi trang cn 3 ch s. Vy t trang 100 n trang 220 cn cú: 121 x 3 = 363 (ch s) Cun sỏch ú cn s ch s l: 9 + 180 + 363 = 552 (ch s) ỏp s: 552 ch s. Bai 17: Để đánh số thứ tự các trang sách của sách giáo khoa Toán 4, ngời ta phải dùng 216 l- ợt các chữ số. Hỏi cuốn sách đó dày bao nhiêu trang? - Lm tng t bi 16. Cn s ch s l: 9 + 180 + 351 = 536 (ch s) Bài 18: Trong một kỳ thi có 327 thí sinh dự thi. Hỏi ngời ta phải dùng bao nhiêu lợt chữ số để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi? - Lm tng t bi 16 v 17. Bài 19: Trong một kỳ thi học sinh giỏi lớp 4, để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi ngời ta phải dùng 516 lợt chữ số. Hỏi kỳ thi đó có bao nhiêu thí sinh tham dự? - Lm tng t bi 16, 17, 18 Bài 20: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 đợc viết theo thứ tự liền nhau nh sau: 234567891011121319821983. - Lm tng t bi 16 ,17, 18, 19 GV: Trần Thị hải Lý-Trờng Tiểu học Hội Hợp B Giỏo ỏn bi dng hc sinh gii Toỏn Hãy tính tổng của tất cả các chữ số vừa viết. Bài 21: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 1995. Hỏi trong dãy số đó có: a) Bao nhiêu chữ số 1? b) Bao nhiêu chữ số 5? b) - Cỏc s cú ch s 5 hng n v l: 5, 15, 25, 35, 1995. Cú s ch s 5 hng n v l: (1995 - 5) : 10 + 1 = 200 (ch s) - S ch s 5 hng chc l: + Nu hng trm l 0 thỡ cú: 50, 51, , 59. Hay cú 59 - 50 + 1 = 10 (ch s 5) + Nu hng trm l 1 (hoc 2, 3, 4, , 19) thỡ cng cú 10 ch s 5 hng chc. Vy hng chc cú: 20 x 10 = 200 (ch s 5) - S cú ch s 5 hng trm l: + Nu hng nghỡn l 0 thỡ cú: 500, 501, 599. Hay cú: 599 - 500 + 1 = 100 (ch s 5) + Nu hng nghỡn l 1, thỡ cng cú 100 ch s 5 hng trm. Vy hng trm cú: 2 x 100 = 200 (ch s 5) Vy t 1 n 1995 cn s dng s ch s 5 l: 200 + 200 + 200 = 600 (ch s 5) a) Tng t phn b) Bài 22: Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 500. Hỏi phải sử dụng bao nhiêu chữ số 5? - Cỏc s cú ch s 5 hng n v l: 5, 15, 25, 35, 545. Cú s ch s 5 hng n v l: (545 - 5) : 10 + 1 = 55 (ch s) - S cú ch s 5 hng trm l: 500 (1 ch s) - S cú ch s 5 hng chc l: + Nu hng trm l 0 thỡ cú 10 s: 50, 51, , 59. + Tng t, nu hng trm l 1 cú 10 ch s 5 hng chc l: 150, 151, 159); (250, 251, , 259. + Hng trm l 2, 3,v 4 cng cú tng t. Do ú nu ch s 5 hng chc thỡ cú: 5 x 10 = 50 (ch s 5) Vy t 1 n 500 cn s dng s ch s 5 l: 55 + 1 + 50 = 106 (ch s 5) ỏp s: 106 ch s 5. Bài 23: Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, 5, , x. Tìm x biết dãy có 1989 - T 1 n 9 cú 9s, mi s cú 1 ch s. Do ú, t 1 n 9 cú 9 ch s. GV: Trần Thị hải Lý-Trờng Tiểu học Hội Hợp B Giỏo ỏn bi dng hc sinh gii Toỏn chữ số. - T 10 n 99 cú 90 s, mi s cú hai ch s. Do ú, t 10 n 99 cú s ch s l: 90 x 2 = 180 (ch s) - T 1 n 99 cú s ch s l: 180 + 9 = 189 (ch s) Cũn li s ch s s cú 3 ch s l: 1989 - 189 = 1800 (ch s) Cú s s cú 3 ch s l: 1800 : 3 = 600 (s cú 3 ch s) ú l cỏc s: 100, 101, 102, , 159. Vy X = 159. Bài 24: Cho dãy số: 0, 2, 4, 6, 8, , x. Tìm x để số chữ số của dãy số gấp 2 lần số số hạng. - T 0 n 8 cú 5 s, mi s cú 1 ch s, s ch s gp 2 ln s s hng thỡ mi s hng phi c bự thờm 1 ch s. Do ú cn bự thờm 5 ch s. - T 10 n 98, mi s cú hai ch s, s cỏc ch s gp 2 ln s s hng. - T 100 l cỏc s cú 3 ch s, s ch s gp 2 ln s s hng thỡ mi s phi bt i 1 ch s. s ch s ca dóy gp 2 ln s s hng thỡ s ch s bt i phi bng s ch s bự thờm. Do ú cn 5 s cú 3 ch s. ú l cỏc s : 100, 101, 102, 103 v 104. Vy X = 104. Bài 25: Cho dãy số: 0, 1, 2, 3, 4, , x. Tìm x để số chữ số của dãy gấp 3 lần số số hạng. - T 0 n 9 cú 10 s, mi s cú 1 ch s, s ch s gp 3 ln s s hng thỡ mi s hng phi c bự thờm 2 ch s. Do ú cn bự thờm: 10 x 2 = 20 (ch s). - T 10 n 99 cú 90 s, mi s cú hai ch s, s cỏc ch s gp 3 ln s s hng thỡ mi s phi c bự thờm 1 ch s. Do ú, cn bự thờm 90 ch s. - T 100 n 999, mi s cú 3 ch s. S s ch s ó gp 3 ln s s hng - T 1000 l cỏc s cú 4 ch s, s ch s gp 3 ln s s hng thỡ mi s phi bt i 1 ch s. s ch s ca dóy gp 3 ln s s hng thỡ s ch s bt i phi bng s ch s bự thờm. Do ú cn s cú 4 ch s l: 20 + 90 = 110 (s cú 4 ch s) GV: Trần Thị hải Lý-Trờng Tiểu học Hội Hợp B Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Đó là các số : 1000, 1001, 1002, , 1109. Vậy X = 1109. Bài 26: Số chữ số dùng để đánh số trang của một quyển sách là một số chia hết cho số trang của cuốn sách đó. Biết rằng cuốn sách đó trên 100 trang và ít hơn 500 trang. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang? Bài giải : Vì cuốn sách đó trên 100 trang và ít hơn 500 trang nên số trang của cuốn sách đó là một số có 3 chữ số. Gọi số trang của cuốn sách đó là với a, b, c là các chữ số và a khác 0. Các số trang của cuốn sách là các số tự nhiên từ 1 đến . Có 9 trang có 1 chữ số nên cần 9 chữ số để đánh số trang cho các trang này. Có 90 trang có 2 chữ số nên cần 2 x 90 = 180 (chữ số) để đánh số trang cho các trang này. Số trang có 3 chữ số là - 99 trang. Số chữ số dùng để đánh số trang có 3 chữ số là : 3 x ( - 99) Số chữ số dùng để đánh số trang của cuốn sách đó là : 9 + 180 + 3 x ( - 99) = 189 + 3 x - 297 = 3 x - 180. Vì số chữ số dùng để đánh số trang của cuốn sách là số chia hết cho số trang của cuốn sách đó nên chia hết cho hay 108 chia hết cho. Suy ra chính bằng 108. Vậy cuốn sách đó có 108 trang. 4, Củng cố dặn dò: - Nhắc lại nội dung chính và HDVN. GV: TrÇn ThÞ h¶i Lý-Trêng TiÓu häc Héi Hîp B . với số tự nhiên liên tiếp : a) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lợng số chẵn bằng số lợng số lẻ. b) Dãy số. bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lợng số chẵn nhiều hơn số lợng số lẻ là 1. c) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lợng số lẻ nhiều hơn số lợng. 3 Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lợng số hạng của dãy số đã cho là: (100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng) b) Tính tổng của dãy số