Trêng THPT lam kinh kiÓm tra chÊt lîng «n thi §h - c® (LÇn 2) M«n: To¸n (khèi a), n¨m häc 2009 - 2010 Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) C©u I (2.0 ®iÓm) Cho hàm số 23 23 +−= xxy 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. C©u II (2.0 ®iÓm ) 1. Giải phương trình: ( ) 2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = + 2. Giải phương trình: 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .− + = C©u III (1.0 ®iÓm) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ C©u IV(1.0®iÓm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3 2 12 1 − + == − zyx và mặt phẳng 012:)( =−++ zyxP .Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . C©u V:(1.0®iÓm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy . PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình Chuẩn C©u VI.a(2.0 ®iÓm) 1. Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( =xf có đúng hai nghiệm. 2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức: +−=+ −−= izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 C©u VII.a(1.0 ®iÓm) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ có ( ) 0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. B.Theo chương trình Nâng cao C©u VI.b (2.0 ®iÓm) 1. Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x = 2 π C©u VII.b (1.0 ®iÓm) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp. …HÕt ®Ò … Hä vµ tªn thÝ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……… …………… ; Sè b¸o danh:. . . . . . . . . . . . . . . ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2y x x .= − + • Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.= • Sự biến thiên: 2 3 6y' x x.= − Ta có 0 0 2 x y' x = = ⇔ = 0,25 • ( ) ( ) 0 2 2 2 CD CT y y ; y y .= = = = − 0,25 • Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + y 2 +∞ −∞ 2− 0,25 • Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25 b) Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. • Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 m x x x x x m,x . x − − = ⇔ − − − = ≠ − Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của ( ) ( ) 2 2 2 1y x x x , C'= − − − và đường thẳng 1y m,x .= ≠ 0,25 • Vì ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 f x khi x y x x x f x khi x > = − − − = − < nên ( ) C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1x . = + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1x = qua Ox. 0,25 • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Dựa vào đồ thị ta có: + 2m :< − Phương trình vô nghiệm; + 2m := − Phương trình có 2 nghiệm kép; + 2 0m :− < < Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + 0m :≥ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 0,25 0,25 Câu II 2 điểm a) Giải phương trình ( ) 2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = + • Biến đổi phương trình về dạng ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x+ − + = 0,75 • Do đó nghiệm của phương trình là 7 2 5 2 2 2 6 6 18 3 18 3 k k x k ; x k ; x ; x π π π π π π π π = − + = + = + = + 0,25 b) Giải phương trình 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .− + = • Điều kiện: 1 1 0 2 4 16 x ; x ;x ; x .> ≠ ≠ ≠ 0,25 • Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho • Với 1x ≠ . Đặt 2 x t log= và biến đổi phương trình về dạng 2 42 20 0 1 4 1 2 1t t t − + = − + + 0,5 • Giải ra ta được 1 1 2 4 2 2 t ;t x ; x .= = − ⇒ = = Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 1 4 2 x ; x .= = 0,25 Câu III 1.0 điểm a) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ • Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có 3 3 3 3 3 3 1 4 3 x dx I xd J , cosx cosx cosx π π π π π π π − − − = = − = − ÷ ∫ ∫ với 3 3 dx J cosx π π − = ∫ 0,25 • Để tính J ta đặt t sin x.= Khi đó 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 dx dt t J ln ln . cosx t t π π − − − − − = = = − = − − + + ∫ ∫ 0,5 • Vậy 4 2 3 3 2 3 I ln . π − = − + 0,25 Câu IV 1.0 điểm Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . • Tìm giao điểm của d và (P) ta được 1 7 2 2 2 A ; ; − ÷ 0,25 • Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 1 1 1 2 0 d P d p u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ; ∆ = − = ⇒ = = − uur uur uur uur uur 0,5 • Vậy phương trình đường thẳng ∆ là 1 7 2 2 2 2 : x t; y t; z .∆ = + = − = − 0,25 Câu V 1.0 điểm Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy . ( ) ( ) , ; ; ; ;2 2 2 2 1 1 1OA OB = − = − uuur uuur ( ) : 0OAB x y z⇒ + − = . ( ) : 0Oxy z = . ( ) ; ;N x y z cách đều ( ) OAB và ( ) Oxy ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d N OAB d N Oxy⇔ = 1 3 x y z z+ − ⇔ = ( ) ( ) . 3 1 0 3 3 1 0 x y z x y z z x y z + − + = ⇔ + − = ± ⇔ + + − = 0.25 0.5 Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình ( ) 3 1 0x y z+ − + = và ( ) 3 1 0x y z+ + − = . 0.25 Câu VIa 2.0 điểm 1. Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( =xf có đúng hai nghiệm. • Ta có x f ( x ) e x cos x. ′ = + − Do đó ( ) 0 x f ' x e x cos x.= ⇔ = − + 0,25 • Hàm số x y e= là hàm đồng biến; hàm số y x cosx= − + là hàm nghịch biến vì 1 0y' sin x , x= − + ≤ ∀ . Mặt khác 0=x là nghiệm của phương trình x e x cos x= − + nên nó là nghiệm duy nhất. 0,25 • Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x= (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình 0)( =xf có đúng hai nghiệm. • Từ bảng biến thiên ta có ( ) 2 0min f x x .= − ⇔ = 0,5 Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( =xf có đúng hai nghiệm. • Ta có x f ( x ) e x cos x. ′ = + − Do đó ( ) 0 x f ' x e x cos x.= ⇔ = − + 0,25 2. . Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức: +−=+ −−= izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i) Câu VII.a 1.0 điểm Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ có ( ) 0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. • Ta có ( ) 1 2 2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .= ∩ ⇒ − − ⇒ − + = 0,25 • Gọi A' đối xứng với A qua ( ) ( ) 1 2 3 4 1d H ; , A' ; .⇒ 0,25 • Ta có 3 1 0A' BC BC : x y .∈ ⇒ − − = 0,25 • Tìm được ( ) 28 9 7 35 0C ; AC : x y .⇒ − + = 0,25 Câu VI.b 2.0 điểm 1. Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx • Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2 2 2 9 3 2 27 3 6 2 3 4 x x x x . . . .+ = − 0,5 • Từ đó ta thu được 3 2 3 2 2 2 39 39 x x log = ⇔ = ÷ 0,5 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x = 2 π Ta có: x.sin2x = 2x ⇔ x.sin2x – 2x = 0 ⇔ x(sin2x – 2) =0 ⇔ x = 0 DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ: ∫∫ −=−= 2 0 2 0 )22(sin)22sin.( π π dxxxdxxxxS Đặt − − = = ⇒ −= = x x v dxdu dxxdv xu 2 2 2cos )22(sin 44424 222 πππππ −=+−=⇔ S (đvdt) 0.5 0.5 Câu VII.b 1.0 điểm Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp. • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. ⊥ Gọi I AC' SO. = ∩ 0,25 • Kẻ B' D' // BD. Ta có 2 1 1 2 3 3 2 2 3 2 6 AD' C' B' a a S B' D' .AC' . BD. .= = = 0,5 . (1.0 ®iÓm) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thi t diện tạo bởi mặt phẳng )(P . VII.b 1.0 điểm Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thi t diện tạo bởi mặt phẳng )(P . các điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy . ( ) ( ) , ; ; ; ;2 2 2 2 1 1 1OA OB = − = − uuur uuur ( ) : 0OAB x y z⇒ + − = . ( ) : 0Oxy z = . ( ) ; ;N x y z cách đều ( ) OAB