Trường THPT Nguyễn Huệ ĐỀ THI HỌC KỲ II – Năm học 2009 – 2010 Tổ Toán Môn Toán Lớp 12 Thời gian : 90 phút (Không kể thời gian phát đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm) Bài 1:(3.0 điểm) Cho hàm số y = 2x 4 x 1 − − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) hàm số. b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số và các đường thẳng y = 0, x = 2, x = 3 Bài 2 :(2.0 điểm) Tính tích phân I = 2 0 (x cos x)sin2xdx π − ∫ Bài 3:(3.0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1 ;–1; 3), B(1 ;–5; 5) và mặt phẳng ( α ): 2x + y – z – 4 = 0 a. Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB. Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B. b. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng ( α ). c. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB. Viết phương trình mặt phẳng song song mặt phẳng ( α ) và tiếp xúc với mặt cầu (S). PHẦN RIÊNG (2 điểm) A. Lớp 12 A, B Bài 4 a: (1.0 điểm) Gọi ( ∆ ) là giao tuyến của mặt phẳng ( α ): 2x + y – z – 4 = 0 và mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(1 ;–1; 3), B(1 ;–5; 5). Tìm điểm M thuộc đường thẳng ( ∆ ) sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất. Bài 4 b: (1.0 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức : x 2 – (3 + 2i)x + 5 + i = 0 B. Lớp 12 C Bài 4 a: (1.0 điểm) Gọi ( ∆ ) là đường thẳng qua hai điểm A(1 ;–1; 3), B(1 ;–5; 5) Viết phương trình tham số đường thẳng ( ∆ ’) là hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) trên mặt phẳng ( α ): 2x + y – z – 4 = 0 Bài 4 b: (1.0 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức : x 2 – 4x + 7 = 0 –––––––––––––––––––––– ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC KỲ II – LỚP 12 – Năm học 2009–2010 Bài Đáp án Điểm Bài 1: (3 điểm) Câu a:(2 điểm) + Tập xác đònh : D = R\{1} + x 1 x 1 2x 4 lim y lim x 1 + + → → − = = −∞ − + x 1 x 1 2x 4 lim y lim x 1 − − → → − = = +∞ − Đồ thò có tiệm cận đứng x = 1 + x x x x 4 4 x(2 ) 2 2x 4 x x lim y lim lim lim 2 1 1 x 1 x(1 ) 1 x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − − − = = = = − − − + x x x x 4 4 x(2 ) 2 2x 4 x x lim y lim lim lim 2 1 1 x 1 x(1 ) 1 x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ − − − = = = = − − − Đồ thò có tiệm cận ngang y = 2 + y’ = 2 2 0 với x 1 (x 1) > ∀ ≠ − Hàm số tăng trên các khoảng ( −∞ ;1) , (1;+ ∞ ). Không có cực trò + Bảng biến thiên: + Giao điểm với hai trục toạ độ: x = 0 , y = 4 : đồ thò cắt trục tung tại (0;4) y = 0 , x = 2 : đồ thò cắt trục hoành tại (2;0) +Đồ thò hàm số nhận giao điểm hai tiệm cận I(1;2) làm tâm đối xứng x=1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Câu b:(1 điểm) + Diện tích hình phẳng S = 3 2 2x 4 dx x 1 − − ∫ 0,25 x −∞ 1 + ∞ y’ + + y + ∞ 2 2 – ∞ O 2 1 3 4 x y 2 y=2 + Nhận xét: 2x 4 0 với x [2;3] x 1 − ≥ ∀ ∈ − + S = 3 3 2 2 2x 4 2 dx (2 )dx x 1 x 1 − = − − − ∫ ∫ = 3 2 (2x 2ln x 1) 2 2ln2− − = − (đvdt) 0,25 0,25 0,25 Bài 2: (2 điểm) I = 2 2 0 0 0 (x cos x)sin2xdx xsin2xdx cos xsin2xdx π π π − = − ∫ ∫ ∫ +Tính A = 0 xsin2xdx π ∫ Đặt du dx u x tacó 1 dv sin2x v cos2x 2 = = = = − A = 0 0 1 1 xcos2x cos2xdx 2 2 π π − + ∫ = 0 0 1 1 xcos2x sin2x 2 4 π π − + = 2 π − + Tính B = 2 0 Cos xsin2xdx π ∫ = 3 0 2 Cos xsinxdx π ∫ Đặt u = cosx , du = –sinxdx x = 0 , u = 1 ; x = π , u = –1 B = 2 1 3 1 u du − ∫ = 1 4 1 u 0 2 − = + Vậy I = 2 π − 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (3 điểm) Câu a:(1 điểm) +Mặt phẳng trung trực đoạn AB nhận AB (0; 4;2)= − uuur làm véc tơ pháp tuyến và đi qua trung điểm I(1; –3; 4) của AB. Phương trình tổng quát của mặt phẳng : 2y – z + 10 = 0 + Đường thẳng AB qua A nhận AB (0; 4;2)= − uuur làm một véc tơ chỉ phương Phương trình tham số của đường thẳng AB: x 1 y 1 4t (t R) z 3 2t = = − − ∈ = + Câu b:(1 điểm) + Đường thẳng (d) qua A vuông góc ( α ) : (d) : x 1 2t y 1 t z 3 t = + = − + = − +Toạ độ giao điểm H của (d) và ( α ) thoả mãn hệ: x 1 2t y 1 t z 3 t 2x y z 4 0 = + = − + = − + − − = t 1 x 3 y 0 z 2 = = ⇔ = = H(3;0;2) + A’ đối xứng với A qua ( α ) khi H là trung điểm AA’ 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 A' H A A' H A A' H A x 2x x 5 y 2y y 1 z 2z z 1 = − = = − = = − = Vậy A’( 5; 1; 1) Câu c:(1 điểm) +Mặt cầu (S) có tâm I(1; –3;4) là trung điểm AB, bán kính R = 1 2 AB = 5 (S) : (x – 1) 2 + (y + 3) 2 + (z – 4) 2 = 5 + Mặt phẳng ( π ) song song ( α ): ( π ): 2x + y – z + D = 0 ( π ) tiếp xúc (S) khi d(I, π ) = 5 ⇔ D = 5 30± Vậy có hai mặt phẳng : 2x + y – z + 5 + 30 = 0; 2x + y – z + 5 – 30 = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 PHẦN RIÊNG – LỚP 12 A, B Bài 4 a: (1 điểm) + Phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) : x t y 14 2t z 18 4t = = − + = − + + M thuộc ( ∆ ), M( t; –14 + 2t ; –18 + 4t) + Tam giác MAB cân tại M có diện tích nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất (I là trung điểm AB) ⇔ IM ⊥ ( ∆ ) ⇔ t = 37 7 M( 37 24 22 ; ; 7 7 7 − ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4b: (1 điểm) + x 2 – (3 + 2i)x + 5 + i = 0 + ∆ = –15 + 8i = (1 + 4i) 2 + Nghiệm: x 1 = 2 + 3i ; x 2 = 1 – i 0,5 0,5 PHẦN RIÊNG – LỚP 12 C Bài 4 a: (1 điểm) + Mặt phẳng β chứa AB và vuông góc ( α ) có véc tơ pháp tuyến n AB,n α = uuur r r =(2;4;8) ( n α r =(2;1;–1) là véc tơ pháp tuyến của ( α ) ( β ) : x + 2y + 4z – 11 = 0 + ( ∆ ’) là giao tuyến hai mặt phẳng: x + 2y + 4z – 11 = 0 và 2x + y – z – 4 = 0 + Phương trình tham số của ( ∆ ’) : x 1 2t y 6 3t z t = − + = − = 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4b: (1 điểm) + x 2 – 4x + 7 = 0 + ∆ ’ = –3 = 3i 2 + Nghiệm: x 1 = 2 + 3 i ; x 2 = 2 – 3 i 0,5 0,5