Mot so de thi HSG co dap an

Đề kiểm thi học sinh giỏi năm học 2009 -2010 Môn: toán 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (4đ). Chứng minh rằng số A = n 3 (n 2 - 7) 2 - 36n luôn chia hết cho 7 với mọi n là số tự nhiên Bài 2: (4đ). Cho a, , c, x, y, z 0 thoả mãn: x + y + z = 2006; x 2 = a + yz ; y 2 = b + xz ; z 2 = c + xy Tính giá trị của biểu thức A = cba czbyax ++ ++ Chứng minh rằng -x 3 + x 2 4 1 nếu 0 x 1 Bài 3: (4đ) Giải phơng trình 5 7 3 5 1 3 6 164 2222 2 + + + = + + + xxxx x Bài 4: (5đ) Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên cạnh DC (M D, M C) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho NAM = 45 o , DB thứ tự cắt AM, AN tại E và F. 1. Chứng minh 0 90 == NEAMFA 2. Chứng minh S AEF = 2 1 S AMN 3. Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC Bài 5: (3đ). Cho MNP, độ dài 3 cạnh theo thứ tự là m, n, p và 3 M + 2 N = 180 o . Chứng minh hệ thức: m 2 + np - p 2 = 0 Đáp án Bài 1 A= n 3 (n 2 -7) 2 - 36n = n 3 (n 4 - 14n 2 + 49) - 36n = n 7 - 14n 5 + 49n 3 - 36n = (n 7 -n 5 ) - (13n 5 - 13n 3 ) + (36n 3 - 36n) = n 5 (n 2 -1) - 13n 3 (n 2 - 1) + 36n (n 2 -1) =( n 2 -1) .(n 5 -13n 3 + 36n) = (n 2 - 1) {(n 5 -4n 3 ) - (9n 3 -36n)} =(n 2 - 1) {n 3 (n 2 - 4) -9n (n 2 - 4) } = (n 2 - 1) (n 2 - 4) (n 3 - 9n) = (n 2 - 1) (n -2) (n +2) n (n 2 - 9) = (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3) Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Vì n là số tự nhiên nên số A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp. Rồi chứng minh cho tích của 7 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7 Kết luận: A chia hết cho 7 Bài 2 Ta có x 2 = a +yz x 3 = ax + xyz => ax = x 3 - xyz Tơng tự: by = y 3 - xyz Cz = z 3 - xyz Cộng theo từng vế của 3 đẳng thức trên ta đợc: ax + by +cz = x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = (x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ) + z 3 - (3x 2 y+3xy 2 +3xyz) = (x+y) 3 +z 3 - 3xy (x+y+z) = (x+y+z) {(x+y) 2 - z (x+y) +z 2 }- 3xy (x+y+z) = (x+y+z) {(x+y) 2 - (x+y) z + z 2 - 3xy} = (x+y+z) (x 2 + y 2 + z 2 - xy - xz - yz) Cùng từ x 2 = a+yz => x 2 - yz = a Tơng tự y 2 - xz = b Z 2 - xy = c Do đó: ax + by + cz = (x+y+z) {(x 2 -yz) + (y 2 - xz) + ( z 2 -xy) } = (x+y+z) (a+b+c) Vì vậy cba czbyax ++ ++ = cba cbazyx ++ ++++ ))(( = x+y+z (do a+b+c 0) = 2006 (do x+y+z = 2006) Vậy A= 2006 Do 0 x 1 nên x 2 x => - 4x 2 - 4x và 1-x 0 Từ đó ta có - 4x 2 (1-x) -4x (1-x) - 4x 2 (1-x) +1 - 4x (1-x) +1 4x 3 - 4x 2 + 1 4x 2 - 4x +1 = (2x -1) 2 0 => 4x 3 -4x 2 +1 0 - 4x 3 + 4x 2 - 1 0 - 4x 3 + 4x 2 1 4(-x 3 + x 2 ) 1 - x 3 + x 2 4 1 Vậy : -x 3 + x 2 4 1 nếu 0 x 1 Bài 3. Gải phơng trình: 5 7 2 5 1 3 6 164 2222 2 + + + = + + + xxxx x ĐKXĐ x R 0 5 7 2 5 1 3 6 22164 2222 2 = + + + + ++ xxxx x 3 + 0 5 7 3 5 1 3 6 2 2222 2 = + + + + xxxx x 0) 5 7 1() 3 5 1() 1 3 1( 6 2 2222 2 = + + + + + + + xxxx x 5 75 3 53 1 31 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + + + x x x x x x x x = 0 5 2 3 2 1 2 6 2 2 2 2 22 2 2 + + + + + + + x x x x x x x x = 0 (x 2 - 2) ) 5 1 3 1 1 1 6 1 ( 2222 + + + + + + + xxxx = 0 (1) Lý luận ) 5 1 3 1 1 1 6 1 ( 2222 + + + + + + + xxxx > 0 Nên (1) x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x = 2 (TMĐK) hoặc x = - 2 (TMĐK) Vậy S = {- 2 ; 2 } Bài 4. ã ã 0 AFM = AEN = 90 Nối A với C chỉ ra đợc à à à à 3 1 1 1 A = A ; B = C => AFB AMC (g.g) => )1( AC AM AB AF AC AB AM AF == Có ã ã 0 MAF = CAB = 45 (2) Từ 1 và 2 => AFM ABC => ã ã 0 AFM = ABC = 90 C/M hoàn toàn tơng tự có AEN = 90 0 vì vậy ã ã 0 AFM = AEN = 90 S AEF = 1/2 S AMN Có AFM AEN => AN AE AM AF = => AEF AMN (c.g.c) => )1()( 2 AM AF SAMN SAEF = Có FAM = 45 0 , AFM = 90 0 => AFM Vuông cân đỉnh F nên AM 2 = AF 2 + FM 2 = 2AF 2 => 2 )( AM AF = 2 1 Thay vào (1) ta đợc SAMN SAEF = 2 1 hay: S AEF = 1/2 S AMN C/M chu vi CMN không đổi Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN ADK = ABN => AK = AN và BAN = DAK. do đó AMN = AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi Tức là: Chu vi CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC Bài 5 C/M: m 2 + np - p 2 = 0 Do 3M + 2N = 180 0 và M + N + P = 180 0 => P = 2M + N vậy P > N => MN>PM Trên MN lấy điểm Q sao cho MQ = PM = n Nên QN = P-n MNP và PNQ có N chung và PQN = 180 0 - MQP = 180 0 - 2 180 0 M ( do MQP cân) = 180 0 - 2 23 MNM + (do 3M + 2N = 180 0 ) = 180 0 - 2 )(2 NM + = 180 0 - (M+N) = MPN vậy PQN = MPN => MNP PNQ (gg) => PN MN NQ PN = => PN 2 = MN . NQ PN 2 - MN . NQ = 0 Hay m 2 - p(p-n) = 0 m 2 + np - p 2 = 0 (ĐPCM) Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán - Lớp 8 năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) 1, Cho ba số a, b, c thoả mãn + + = + + = 2 2 2 a b c 0 a b c 2009 , tính = + + 4 4 4 A a b c . 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức ( ) = + + 2 f x x px q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để ( ) ( ) ( ) =f k f 2008 .f 2009 . Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 0+ + = . 2, Cho số tự nhiên ( ) = 2009 9 a 2 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là tổng các chữ số của c. Tính d. Bài 4: (3 điểm) Cho phơng trình 2x m x 1 3 x 2 x 2 + = + , tìm m để phơng trình có nghiệm dơng. Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ã EOF . Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho ã ã EAD FAD= . Chứng minh rằng: = 2 2 BE BF AB CE CF AC . Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích. Hết Hớng dẫn chấm môn toán 8 Bài Nội dung Điểm 1.1 Cho ba số a, b, c thoả mãn + + = + + = 2 2 2 a b c 0 a b c 2009 , tính = + + 4 4 4 A a b c . 2,00 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca+ + = + + + + = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2009 a b b c c a ab bc ca 2abc a b c 2 4 + + + + = + + + + = = ữ ( ) ( ) 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2009 A a b c a b c 2 a b b c c a 2 = + + = + + + + = 0,50 0,50 1,00 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . 2,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + + = + + + = + + + + = + + = + + + ữ ữ 2 2 2 2 2 2 2 B xy z x y xy 3 x y x y xy 3 x y x y x y xy 3x 3y y 3 3y 6y 9 y 3 3 x x y 1 3 3 2 4 2 4 Dấu = xảy ra khi y 1 0 y 3 x 0 x y z 1 2 x y z 0 = + = = = = + + = 1,25 0,50 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1 2 Cho đa thức ( ) = + + 2 f x x px q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để ( ) ( ) ( ) =f k f 2008 .f 2009 . 2,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 f f x x f x x p f x x q f x 2.x.f x x p.f x p.x q f x f x 2x p x px q f x x px q 2x p 1 f x x 1 p x 1 q f x f x 1 + = + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + = + Với x = 2008 chọn ( ) k f 2008 2008= + Â Suy ra ( ) ( ) ( ) f k f 2008 .f 2009= 1,25 0,50 0,25 3.1 Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 0+ + = . 2,00 ( ) ( ) 3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49+ + = + + = x, y nghuyêndơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dơng và lớn hơn 1. Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên có: x 5 7 x 2 3y 1 7 y 2 + = = + = = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2. 0,75 0,50 0,75 3.2 Cho số tự nhiên ( ) = 2009 9 a 2 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là tổng các chữ số của c. Tính d. 2,00 ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 3.2009 6027 9 3 3 6027 a 2 2 2 10 b 9.6027 54243 c 5 4.9 41 d 4 1.9 13 1 = = = < = + = + = 3 2 1mod9 a 1mod9 mà ( ) a b c dmod9 d 1mod9 2 Từ (1) và (2) suy ra d = 8. 1,00 0,75 0,25 4 Cho phơng trình 2x m x 1 3 x 2 x 2 + = + , tìm m để phơng trình có nghiệm dơng. 3,00 Điều kiện: x 2;x 2 ( ) 2x m x 1 3 x 1 m 2m 14 x 2 x 2 + = = + m = 1phơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm. m 1 phơng trình trở thành 2m 14 x 1 m = Phơng trình có nghiệm dơng 2m 14 2 1 m m 4 2m 14 2 1 m 1 m 7 2m 14 0 1 m < < > Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi m 4 1 m 7 < < . 0,25 0,75 0,25 0,50 1,00 0,25 5 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F. Chứng minh AEC đồng dạng 3,00 CAF , tính ã EOF . O D B A C E F AEB đồng dạng CBF (g-g) 2 2 AB AE.CF AC AE.CF AE AC AC CF = = = AEC đồng dạng CAF (c-g-c) AEC đồng dạng CAF ã ã AEC CAF = mà ã ã ã ã ã ã 0 0 EOF AEC EAO ACF EAO 180 DAC 120 = + = + = = 1,00 1,00 1,00 6 Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho ã ã EAD FAD= . Chứng minh rằng: = 2 2 BE BF AB CE CF AC . 3,00 A B C D F E K H Kẻ EH AB tại H, FK AC tại K ã ã ã ã BAE CAF; BAF CAE = = HAE đồng dạng KAF (g-g) AE EH AF FK = ABE ACF S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC = = = = Tơng tự BF AF.AB CE AE.AC = 2 2 BE BF AB CE CF AC = (đpcm). 1,00 1,25 0,50 0,25 7 Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích. 2,00 Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên bảng không đổi. Mà ( ) 2008. 2008 1 S 1 2 3 2008 1004.2009 0mod2 2 + = + + + + = = ; 1 1mod2 do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1. 1,00 1,00 lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. 2 7 6x x+ + 2. 4 2 2008 2007 2008x x x+ + + Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: 1. 2 3 2 1 0x x x + + = 2. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ Bài 3: (2điểm) 1. Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau: 64 6 4= + Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dới dạng nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 2. Tìm số d trong phép chia của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 8 2008x x x x+ + + + + cho đa thức 2 10 21x x+ + . Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB= . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD BC AH HC = + . Hết Đáp án và thang điểm: Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) ( ) ( ) 2 2 7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + + ( ) ( ) 1 6x x= + + 0.5 0,5 1.2 (1,25 điểm) 4 2 4 2 2 2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x+ + + = + + + + + 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + + 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x= + + + + + + = + + + 0,25 2. 2,0 2.1 2 3 2 1 0x x x + + = (1) + Nếu 1x : (1) ( ) 2 1 0 1x x = = (thỏa mãn điều kiện 1x ). + Nếu 1x < : (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x + = = = 1; 3x x = = (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là 1x = . 0,5 0,5 2.2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ (2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 0x (2) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 8 8 4 4 16x x x x x x + + = + + = ữ ữ 0 8x hay x = = và 0x . Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm 8x = 0,25 0,5 0,25 3 2.0 3.1 Gọi số cần tìm là 10ab a b= + (a, b là số nguyên và a khác 0) Theo giả thiết: 10a b a b+ = + là số nguyên, nên ab và b là các số chính phơng, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 Ta có: ( ) 2 2 10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + + = + + = ( ) 2 5 b a = (vì 0a ) Do đó a phải là số chẵn: 2a k= , nên 5 b k = Nếu 1 8 81 8 1 9b a= = = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 4 6 64 6 4 8b a= = = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 9 4 49 4 9 7b a= = = + = (thỏa điều kiện bài toán) 0,5 0,5 3.2 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 4 6 8 2008 10 16 10 24 2008 P x x x x x x x x x = + + + + + = + + + + + Đặt 2 10 21 ( 3; 7)t x x t t= + + , biểu thức P(x) đợc viết lại: ( ) ( ) 2 ( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t= + + = + Do đó khi chia 2 2 1993t t + cho t ta có số d là 1993 0,5 0,5 4 4,0 4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có: Góc à C chung. CD CA CE CB = (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: ã ã 0 135BEC ADC= = (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên ã 0 45AEB = do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 2 2BE AB m= = 1,0 0,5 4.2 Ta có: 1 1 2 2 BM BE AD BC BC AC = ì = ì (do BEC ADC : ) mà 2AD AH= (tam giác AHD vuông vân tại H) nên 1 1 2 2 2 2 BM AD AH BH BH BC AC AC BE AB = ì = ì = = (do ABH CBA : ) Do đó BHM BEC : (c.g.c), suy ra: ã ã ã 0 0 135 45BHM BEC AHM= = = 0,5 0,5 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. Suy ra: GB AB GC AC = , mà ( ) ( ) // AB ED AH HD ABC DEC ED AH AC DC HC HC = = =: 0,5 Do đó: GB HD GB HD GB HD GC HC GB GC HD HC BC AH HC = = = + + + 0,5 Đề khảo sát Chất lợng hoc sinh giỏi lần thứ ba Năm học 2009 - 2010 Môn : Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 : ( 5 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 54 2 + xx b) a 3 (b c) + b 3 (c a) + c 3 (a b) 2. Tìm x, y biết : 2x 2 + 4x + 4xy 2y + 5y 2 + 5 = 0 Bài 2 : ( 5 điểm) 1. Cho a, b là các số dơng thoả mãn 5a 2 2b 2 = 3ab và 2a b. Tính giá trị biểu thức 22 ba4 ab P = 2. Cho abc =2. Rút gọn biểu thức 2c2ac c2 1bbc b 2aab a M ++ + ++ + ++ = 3. Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau và khác 0 thoả mãn 0 111 =++ cba . Hãy tính giá trị biểu thức : ab2c 1 ca2b 1 bc2a 1 M 222 + + + + + = + 2010 Bài 3 : ( 3 điểm) 1. Cho a, b là các số nguyên, a chia cho 7 d 2 và b chia cho 7 d 3. Hỏi 22 ba + chia cho 7 d bao nhiêu? 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì n 2 5n + 120 không chia hết cho 169. 3. Tìm số nguyên tố p sao cho biểu thức M = 2 p + p 2 có giá trị là số nguyên tố. Bài 4 : ( 6 điểm) Cho hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O. Đờng thẳng đi qua O và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD, BC lần lợt tại các điểm M và N. a) Chứng minh BC BN AD AM = b) Chứng minh CD 1 AB 1 ON 1 OM 1 +== c) Cho diện tích các tam giác AOD, COD lần lợt là a 2 và b 2 (a, b là các số dơng). Tính diện tích hình thang ABCD theo a và b. Bài 5 : ( 1 điểm) Cho hình bình hành ABCD, kẻ 2010 đờng thẳng sao cho mỗi đờng thẳng chia hình bình hành ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng 3 1 . Chứng minh rằng trong 2010 đờng thẳng đó có 503 đờng thẳng cùng đi qua một điểm. [...]... thì M không là số nguyên tố 0,25 0,25 0,25 Cho hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O Đờng thẳng đi qua O cắt các cạnh bên AD, BC lần lợt tại các điểm M và N Bài 4 : (6 điểm) AM BN = AD BC 1 1 1 1 b) Chứng minh = = + OM ON AB CD a) Chứng minh 2 2 c) Cho diện tích các tam giác AOD, COD lần lợt là a2 và b2 (a, b >0) Tính diện 2 tích hình thang ABCD theo a và b Cho hình bình hành ABCD, kẻ 2010... tam giác AOD, COD lần lợt là a2 và b2 (a, b >0) Tính diện 2 tích hình thang ABCD theo a và b Cho hình bình hành ABCD, kẻ 2010 đờng thẳng sao cho mỗi đờng thẳng chia hình bình hành ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 Chứng minh rằng trong 2010 đờng thẳng đó có 503 đờng thẳng cùng đi qua một điểm 0.5 Bài 5 : (1 điểm) Gi M, Q, N, P lần lợt là các trung điểm của AB, BC, CD, DA (Hình vẽ)... ABCD l hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD Gọi d là một đờng thẳng trong 2010 đờng thẳng đã cho Nếu d cắt AB tại E; CD tại F ; PQ tại L thì LP, LQ lần lợt là đờng trung bình của các hình thang AEFD, EBCF Ta có : S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 hoặc S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 hoặc LQ / LP = 1/3 Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thoả mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 khi đóL trùng . p 2 có giá trị là số nguyên tố. Bài 4 : ( 6 điểm) Cho hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O. Đờng thẳng đi qua O và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD, BC lần lợt tại các điểm. CMN không đổi Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN ADK = ABN => AK = AN và BAN = DAK. do đó AMN = AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM. CA CE CB = (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: ã ã 0 135BEC ADC= = (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thi t). Nên ã 0 45AEB = do đó tam