Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CÀ MAU CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT THÁI THANH HÒA Độc lập – Tự do – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LUYỆN TẬP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Như chúng ta biết, toán học là một môn khoa học giải bày về hình thức, số lượng và không gian của thế giới thực tế và cùng với mối quan hệ giữa chúng. Khoa học tự nhiên và khoa học xã hội đều sử dụng một cách rộng rãi phương pháp nghiên cứu của toán học. Nếu không có toán học thì các khoa học khác như vật lý học, hoá học, địa lý, kinh tế, chính trị, xác xuất thống kê… và nhiều khoa học khác sẽ không phát triển được. Toán học có vai trò, tác dụng rất lớn đối với các hoạt động của xã hội. Học toán là một cách chuẩn bị tốt nhất để sau này có thể đảm nhiệm được các công tác khoa học khác. Toán học dạy ta cách rút ra kết luận từ những tiên đề có sẵn, cách làm cho kết luận có chứng cớ. Dùng ngôn ngữ toán học là luyện tập diễn đạt tư tưởng một cách khoa học, vì ngôn ngữ toán học bắt ta đem lại kết quả nhận thức diễn đạt được thật tinh tế logic - chính xác. Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ và có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và lao động. Nói tóm lại, muốn học giỏi các môn khoa học thì phải học giỏi môn toán. Và muốn học giỏi toán thì học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản và phương pháp giải từng loại toán đó và biết sai lầm mà các học sinh khác hay mắc phải để khi giải không mắc phải những sai lầm đó nữa. Trong toán học gồm nhiều phần riêng: Hình học, đại số, giải tích. Trong mỗi phần lại có nhiều nội dung nhiều loại toán khác nhau. Như vậy muốn học tốt cần phải có phương pháp giải và muốn giải tốt cần có kiên thức cơ bản, hiểu bài, thuộc các định nghĩa và tính chất. Bằng phương pháp học tập tích cực và khoa học, từ các sách tham khảo đó học sinh có thể tìm ra nhiều kiến thức và kỷ năng bổ ích cho bản thân trong quá trình học tập và rèn luyện. Tuy nhiên chúng ta cần nhận rõ rằng trong các sách tham khảo ấy người ta thường trình bày lời giải bài toán một cách ngắn gọn, mà không phân tích quá trình tìm tòi để đi đến lời giải đó. Các em học sinh đã làm quen với bất đẳng thức từ năm lớp 7 đến lớp 10 mới đề cập kỹ vấn đề này hơn. Tầm quan trọng của sự hiểu biết và kỹ năng vận dụng bất đẳng thức đã quá rõ ràng. Nó là cơ sở của bài toán khác như giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức toán học cũng như nhiều ứng dụng trong khảo sát hàm số. Hơn nữa sự luyện tập cách chứng minh bất đẳng thức còn góp phần phát triển tư duy logic và bồi dưỡng trí thông minh. Bởi thế muốn học tốt phần này các em phải đầu tư thời gian, dày công luyện tập, nghiên cứu vấn đề Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 1 - Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm có hệ thống, ghi nhớ các phương pháp chứng minh cơ bản dần dần hình thành kỹ năng sáng tạo. Một thực tế hiện nay đối với học sinh thuộc vùng sâu, vùng xa là kỹ năng phân tích và tổng hợp của các em rất yếu khi tiếp cận để tìm hướng giải quyết một bài toán. Khi ấy, một thói quen mà các em hay nghĩ tới đó là tìm trong sách tham khảo các bài toán tương tự và giải quyết bài toán của các em theo các bài toán tương tự ấy, mặt dù những cái “ta có” trong bài giải của các em thì các em không thể phân tích và lí giải để biết được vì sao ta có. Nhìn lại qúa trình suy nghĩ để giải một bài toán, nêu lên những khó khăn có thể vấp phải và cách vượt qua những khó khăn đó, là một viêc làm vô cùng cần thiết và quan trọng mà người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh khi tiếp cận một bài toán. Đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, vì đây là nội dung khó nhất trong chương trình toán trung học phổ thông. Tuy vậy đây lại là nội dung toán hay và đẹp nhất đòi hỏi học sinh tư duy tìm tòi và sức sáng tạo rất cao. Bài viết sau đây chỉ xin nêu một vấn đề “Hướng dẫn học sinh chứng minh một bất đẳng thức” để quý thầy, cô cùng đồng nghiệp tham khảo và trao đổi. Đây không phải là phương pháp tốt nhất vì mỗi phương pháp chỉ phù hợp đối với một lớp bài toán cụ thể nào đó, tuy nhiên đây là phương pháp mà học sinh dể tiếp cận khi đi tìm lời giải cho bài toán bất đẳng thức, đặc biệt là đối tượng học sinh Trường THPT Thái Thanh Hòa, vùng sâu, vùng xa. Hơn nữa vì kiến thức người viết còn hạn hẹp, có thể có nhiều điều chưa chính xác, rất mong sự góp ý đánh giá của quý thầy, cô cũng như đồng nghiệp. NỘI DUNG: A. Những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi chứng minh các bất đẳng thức: • Để chứng tỏ một bất đẳng thức nào đó là đúng chúng ta cần lập luận chặt chẽ dựa trên tính chất cơ bản của bất đẳng thức ở một số em thiếu tính cẩn thận nên khi giải thường mắc phải những sai lầm sau: ° Quên không đổi chiều bất đẳng thức khi nhân hai vế với một số âm. ° Lúng túng khi biến đổi một bất đẳng thức mà mẫu vẫn còn có dấu phụ thuộc vào giá trị của biến số. ° Giải bất đẳng thức có chứa ẩn ở mẫu, khi quy đồng mẫu thường bỏ đi biểu thức ở mẫu. ° Khi chứng minh học sinh không khai thác hết giả thiết. Các thiếu sót kể trên gây tác dụng tai hại rất lớn đến kết quả làm bài của các em. Để khắc phục tình trạng thiếu sót này mỗi học sinh cần phải học kỹ, học thuộc định nghĩa tính chất trước khi bước vào giải bài tập. Tránh khuynh hướng học hời hợt bên ngoài, phải học thuộc một cách nhuần nhuyễn và hiểu bài một cách thực sự. Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 2 - Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm B. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Phương pháp chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng, chủ yếu dựa vào các đặc thù riêng của từng bất đẳng thức. Cần chú ý rằng để có thể áp dụng nhiều cách khác nhau để chứng minh bất đẳng thức, tuy nhiên có nhiều bài phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lý. Sau đây là một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà bản thân tôi muốn gửi tới tất cả học sinh và quý Thầy, Cô cùng đồng nghiệp tham khảo: Phương pháp I: Dùng phép biến đổi tương đương Phương pháp chứng minh dựa vào định nghĩa: a) 0A B A B≥ ⇔ − ≥ • Lập hiệu: A B− . • Rút gọn biểu thức A B − theo sơ đồ sau: 1 2 0A B C C C− = = = = ≥ • Kết luận: A B≥ • Xét dấu đẳng thức xảy ra khi nào? b) Ví dụ: VD1: Cho a và b là hai số dương. CMR: 4 4 3 3 a b a b ab+ ≥ + Giải: Ta có: 4 4 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( )( )a b a b ab a a b b b a a b a b+ − − = − + − = − − 2 2 2 ( ) ( ) 0a b a ab b= − + + ≥ 4 4 3 3 a b a b ab⇔ + ≥ + (điều phải chứng minh) Dấu "=" xảy ra a b⇔ = VD2: Cho 2 số a, b tuỳ ý. CMR: 2 2 1a b ab a b+ + ≥ + + Giải: Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a b ab a b a b ab a b+ + − + + = + + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 0 a,b 2 a b ab a a b b a b a b = + − + − + + − + = − + − + − ≥ ∀ 2 2 1a b ab a b⇔ + + ≥ + + (điều phải chứng minh) Dấu "=" xảy ra ⇔ ( ) 2 0 1 1 1 a b a a b b − = = ⇔ = = = Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 3 - Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm VD3: Cho hai số a và b thoả mãn điều kiện: 1ab > . Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab + ≥ + + + Giải: Vì 1ab > nên 1 0ab − > Ta có: 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a b ab a ab b ab + − = − + − ÷ ÷ + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 0 a,b 1 1 1 1 1 1 1 2 1 a 1 1 a b a b a b b a a b ab a b a ab b ab a b ab a b ab b a ab a b a b b ab − − − = + = − ÷ + + + + + + + − − − − − = − = ≥ ∀ + + + + + ⇔ + ≥ + + + Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b vì ab > 1 VD4: Chứng minh rằng: ∀x, y ta đều có: 2 2 2 x y xy xy + ≥ ≥ Giải: Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 x y x y xy x y xy − + − + − = = ≥ ⇒ đpcm. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y Ta có: xy ≥ xy là hiển nhiên Dấu "=" xảy ra ⇔ xy ≥ 0 VD5: Cho a, b thoả mãn điều kiện: 0a b+ ≥ . Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 a b a b+ + ≥ ÷ Giải: Ta có: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 4 0 2 2 8 a b a b a b a b + − + + + − = ≥ ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 4 0 4 2 0a b a b a b a ab b a b a ab b⇔ + − + ≥ ⇔ + − + − + + + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 6 3 0a b a b ab a b a b⇔ + + − = + − ≥ Vì: 0a b+ ≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học a) Ta cần nhớ nguyên lý quy nạp toán học để áp dụng vào các bất đẳng thức phụ thuộc số tự nhiên * n N∈ . Ta thực hiện các bước sau: Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 4 - Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm ° Kiểm tra bất đẳng thức với 1(n n p= = tuỳ thuộc vào giá trị đầu tiên của n cho trong giả thiết) ° Giả sử bất đẳng thức đúng với 1( )n k k p= ≥ ≥ (gtqn) ° Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với 1n k= + . KL: bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên * n N∈ . b) Các ví dụ: VD1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 3n ≥ , ta luôn có: 2 2 1 n n> + (1) Giải: ° Với 3n = : ta có (1) 3 2 8 2.3 1 7⇔ = > + = ⇒ (1) đúng với 3n = ° Giả sử (1) đúng với 3n k= ≥ tức là ta có: 2 2 1 k k> + (gtqn) ° Ta phải chứng minh (1) đúng với 1n k= + tức là: 1 2 2 3 k k + > + Thật vậy ta có: ( ) 1 2 2 .2 2 1 .2 4 2 2 3 2 1 2 3 k k k k k k k + = > + = + = + + − > + (Vì 3k ≥ nên 2 1 5k − ≥ ). Vậy bất đẳng thức trên luôn đúng. VD2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 4n ≥ , ta luôn có: 1 2 2 3 n n n + > + (2) Giải: ° Với 4n = : ta có 5 2 (2) 2 32 4 3.4 28= > + =Û (2)Þ đúng với 3n = ° Giả sử (2) đúng với 4n k= ≥ tức là ta có: 1 2 2 3 k k k + > + (gtpn) ° Ta phải chứng minh (2) đúng với 1n k= + tức là: 2 2 2 2 2 ( 1) 3( 1) 2 5 4 k k k k k k + + > + + + ⇔ > + + . ° Thật vậy theo gtqn ta có: 1 2 2 3 k k k + > + 1 2 2.2 2.( 3 ) k k k + ⇔ > + 2 2 2 2 6 k k k + ⇔ > + 2 2 2 2 ( 5 4) ( 4) k k k k k + ⇔ > + + + + − Với 4k ≥ ta có: 2 4 0k k+ − > . Vậy bất đẳng thức trên luôn đúng. VD3: Chứng minh với n nguyên dương lớn hơn 1 thì: 1 1 1 1 2 n n + + + > (3) Giải: ° Với n = 2: (3) ⇔ 1 1 2 1 2 2 1 2 + = + > luôn đúng ⇒ bất đẳng thức (3) đúng với n = 2 ° Giả sử bất đẳng thức (*) đúng với n = k ≥ 2, tức là: 1 1 1 1 2 k k + + + > ° Ta phải chứng minh bất đẳng thức (3) đúng với n = k + 1. Tức là: Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 5 - Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm 1 1 1 1 1 1 2 1 k k k + + + + > + + Thật vậy ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 k k k k k k k k k k + + + + + + + > + = > = + + + + + ⇒ bất đẳng thức (3) đúng với n = k + 1 ⇒ bất đẳng thức (3) đúng với mọi số nguyên n > 1. VD4: Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có: sin sinn n α α ≤ (4) Giải: ° Với n = 1: (4) ⇔ sin sin α α ≤ luôn đúng ⇒ bất đẳng thức (4) đúng với n = 1 ° Giả sử bất đẳng thức (4) đúng với n = k ≥ 2, tức là: sin sink k α α ≤ ° Ta phải chứng minh bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1, tức là: ( ) ( ) sin 1 1 sink k α α + ≤ + Thật vậy: ( ) sin 1 sin .cos sin .cos sin . cos sin cosk k k k k α α α α α α α α α + = + ≤ + ≤ ( ) sin sin sin sin 1 sink k k α α α α α + ≤ + = + ⇒ bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1 ⇒ bất đẳng thức (4) đúng với với mọi n nguyên dương. Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức Côsi Đây là một trong những bất đẳng thức đẹp nhất và có nhiều ứng dụng nhất trong toán học. Vì nó là một bất đẳng thức rất quan trong nên yêu cầu các em phải nhớ kỹ và học hiểu công thức này: a) BĐT Côsi: Cho 1 2 . n a a a là những số không âm thì: 1 2 1 2 2a a a a+ ≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ a 1 = a 2 3 1 2 3 1 2 3 3.a a a a a a+ + ≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = a 3 1 2 1 2 . n n n a a a n a a a+ + + ≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = … = a n b) Các Ví Dụ: VD1: Nếu a, b, c là ba số dương thì: ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ≥ ÷ Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi với n = 3 cho các số a, b, c và các số dương 1 1 1 ; ; a b c ta được: 3 3.a b c abc+ + ≥ (1) 3 1 1 1 1 3. a b c abc + + ≥ (2) Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 6 - Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm Do các vế của (1) và (2) đều dương nên nhân vế với vế của (1) và (2) ta được: ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1 9. 9 1 1 1 9 a b c abc a b c abc a b c dpcm a b c + + + + ≥ = ÷ ⇔ + + + + ≥ ⇒ ÷ VD2: Cho 0 < x, y, z ≤ 3; x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x y z x y z x y z + + ≤ ≤ + + + + + + + + Giải: • Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 x x x x x x + ≤ = ⇒ ≤ + + + ; Tương tự 2 1 1 2 y y ≤ + ; 2 1 1 2 z z ≤ + Do đó: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z x y z + + ≤ + + + • Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương: 1 1 1 ; ; 1 1 1x y z+ + + và 1 + x; 1+ y; 1 + z ta được: ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1 1 1 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. 1 1 1 x y z x y z x y z x y z + + ≥ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + + + ≥ + + + ⇒ 1 1 1 1 1 1x y z + + + + + ≥ 9 3 3 2x y z ≥ + + + Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1 Vậy suy ra điều phải chứng minh. VD3: Cho n số dương 1 2 , , , n a a a có tích bằng 1. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 n n a a a+ + + ≥ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dương: 1 và a 1 ; 1 và a 2 ; …; 1 và a n Ta được: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a + ≥ + ≥ ⇒ + + + ≥ = + ≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ 1 2 n a a a= = = Trên đây là một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tuy nhiên còn rất nhiều phương pháp khác nữa và có rất nhiều bất đẳng thức được chứng minh bằng nhiều cách khác nhau, nhưng vấn đề đặt ra ở đây là nên giải theo phương pháp nào? Theo tôi thì nên định ra hướng trước khi giải, chọn cách nào mà ta thấy đơn giản, ngắn gọn xúc tích dễ hiểu. Cũng có thể nếu các em chịu Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 7 - Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm khó tìm tòi suy nghĩ thì có thể có nhiều em nghĩ ra những điều mà chưa ai nghĩ tới. Với bài viết này tôi hy vọng rằng các em học sinh sẽ thấy bài toán chứng minh bất đẳng thức không còn khó nữa và sẽ làm tốt, vận dụng vào giải bài tập một cách thành thạo. Tôi xin được trao đổi với quí thầy cô vài kinh nghiệm, suy nghĩ trong quá trình học toán, làm toán cũng như rèn luyện cho học sinh những kỷ năng đi tìm lời giải cho một bài toán. Vấn đề nầy hết sức phong phú, bao gồm nhiều mặt, và có lẽ nói không bao giờ hết. Mong qúy thầy, cô và đồng nghiệp suy nghĩ thêm về phương pháp giảng dạy của mình, đúc kết kinh nghiệm, truyền đạt cho thế hệ sư phạm đàn em đi sau đồng thời tìm ra phương pháp giảng dạy thích hợp nhất để đạt nhiều kết quả nhất. Những kinh nghiệm trên đây đối với bản thân tôi thật mới mẽ và tôi chỉ áp dụng trực tiếp giảng dạy, chưa được phổ biến rộng rãi. Qua một thời gian ứng dụng này vào việc giải các bài tập ở lớp 11C4, lớp tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2008 – 2009, sau khi học xong bài phương pháp quy nạp toán học, cho các em làm bài kiểm tra tôi nhận thấy các em hiểu và đã làm bài kiểm tra rất tốt, có 20/33 em đạt điểm trung bình trở lên chiếm 60,61%, Năm học 2009 – 2010 với lớp 11C2 thì khi học xong bài này, kiểm tra thì có 22/33 em đạt điểm trung bình, chiếm 66,66%. Còn đối với ba lớp khối 10 tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2008 – 2009, ở đầu HKII, khi học xong bài bất đẳng thức, kiểm ta thì học sinh làm rất khả quang, có 68/110 em đạt điểm trung bình, chiếm 61,82%. Bản thân tôi là một giáo viên trẻ, kinh nghiệm có được của tôi vẫn chưa nhiều, nên những kinh nghiệm trên đây của tôi có thể chưa đầy đủ hoặc trình bày chưa hợp lý… Rất mong được sự góp ý chân tình của quý thầy (cô), sự thông cảm và chỉ dạy thêm của quý đồng nghiệp cùng quý bạn đọc sáng kiến kinh nghiệm này, để phần trình bày của tôi được hoàn thiện hơn và bản thân tôi cũng có thêm được nhiều kinh nghiệm quý báu nhằm góp phần vào việc nâng dần chất lượng dạy và học bộ môn của trường ngày một đi lên. Chân thành cảm ơn! PHẦN ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LUYỆN TẬP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tác giả: Lê Minh Cảnh Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 8 - Trường THPT Thái Thanh Hòa Sáng kiến kinh nghiệm TRƯỜNG THPT THÁI THANH HÒA TỔ: TOÁN – LÝ SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CÀ MAU TRƯỜNG THPT THÁI THANH HÒA NỘI DUNG XẾP LOẠI NỘI DUNG XẾP LOẠI + Đặt vấn đề + Biện pháp + Kết quả phổ biến, ứng dụng + Tính khoa học + Tính sáng tạo + Đặt vấn đề + Biện pháp + Kết quả phổ biến, ứng dụng + Tính khoa học + Tính sáng tạo Xếp loại chung: ………………… Ngày …… tháng …… năm 2010 Xếp loại chung: ………………… Ngày …… tháng …… năm 2010 Giáo viên thực hiện: Lê Minh Cảnh Trang - 9 - . chúng. Khoa học tự nhiên và khoa học xã hội đều sử dụng một cách rộng rãi phương pháp nghiên cứu của toán học. Nếu không có toán học thì các khoa học khác như vật lý học, hoá học, địa lý,. việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và lao động. Nói tóm lại, muốn học giỏi các môn khoa học thì phải học giỏi môn toán. Và muốn học giỏi toán thì học sinh phải nắm. bài toán. Đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, vì đây là nội dung khó nhất trong chương trình toán trung học phổ thông. Tuy vậy đây lại là nội dung toán hay và đẹp nhất đòi hỏi học