Thi HSG toan Hoa Lu

PHềNG GIO DC V O TO HOA L THI CHN HC SINH GII HUYN Nm hc 2009 -2010 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt. ( ny gm 4 bi, 1 trang) Bài 1:(6 điểm) Cho biểu thức 2 2 1 1x x x x x P x x x x x + + = + + 1.Rút gọn biểu thức. 2.So sánh P với 5 3.Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức 8 P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên. Bài 2:(3 điểm) Giải phơng trình (x 2 + x + 1) 2 +(x 2 + x + 1) -12 = 0 Bài 3: (3 điểm) Với a > 0, b > 0, c > 0, chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + Bài 4: (8 điểm) Từ điểm S nằm ngoài đờng tròn đờng tròn (I) bán kính R. Kẻ 2 tiếp tuyến SA, SB tới đờng tròn đó, với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC, N là giao của AC và BS. a) Chứng minh SB = SN. b) Chứng minh SC cắt AH tại trung điểm của AH. c) Tính AH theo R và SI = a Hết chớnh thc PHềNG GIO DC V O TO HOA L HNG DN CHM THI HC SINH GII HUYN Nm hc 2009 -2010 MễN THI: TON (Hng dn chm gm 3 trang) Câu 1(6 điểm) a) (2 điểm) 2 2 1 1x x x x x P x x x x x + + = + + Điều kiện x > 0; x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 x x x x x x x P x x x x x + + + + + = + + 2 2 1 1x x x x x P x x x + + + + = + 2 2 1 1x x x x x P x + + + + + = 2 2 2x x P x + + = b)(2điểm) 2 2 2 2 3 2 5 5 x x x x P x x + + + = = 1 2 3 2.2 3 0x x = + > ữ suy ra P > 5 a) (2 điểm) P > 0, mặt khác P > 5 (theo câu b) nên: 8 8 0 5P < < Để 8 P là một số nguyên thì 8 P = 1 P = 8 2 2 2 8x x x + + = 3 1 0x x + = Giải tìm đợc 2 2 1 2 3 5 3 5 ; 2 2 x x + = = ữ ữ 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,75 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 2:(3 điểm) Đặt x 2 + x +1 = t (t > 0) Phơng trình có dạng t 2 + t 12 = 0 (t + 4)(t 3) = 0 0,5 0,5 4 3 t t = = với t = -4 (loại) Khi t = 3 ta có x 2 + x +1 = 3 x 2 + x +1 3 = 0 x 2 + x - 2 = 0 (x 1)(x + 2) = 0 1 2 x x = = Vậy phơng trình có 2 nghiệm: x = 1 hoặc x = -2 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3:(3 điểm) a; b > 0. Ta có: (a + b) (a - b) 2 0 ( ) ( ) 2 2 3 3 ( ) 0 0a b a ab b ab a b ab a b + + + + ( ) 3 3 3 3 2 2 a b a b a b ab a b ab + + + + Chứng minh tơng tự ta cũng có: 3 3 ; 2 2 b c b c bc + + 3 3 2 2 c a c a ca + + Do đó: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a ab bc ca + + + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4: (8 điểm) a)( 2 điểm) SA = SB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1) SAB cân tại S ã ã SAB SBA= 0,5 . I S A B C N H ACB nội tiếp đờng tròn đờng kính BC ACB vuông tại A BA CN ã BAN = 90 0 ã ã 0 90BAS SAN+ = và ã à 0 90ABS N+ = ã à SAN N= ASN cân tại S SA = SN (2) Từ (1) và (2) SB = SN b)(3 điểm) Có AH BC (GT) BC BN (Tính chất tiếp tuyến) AH // BN ( ) HK AK CK BS SN CS = = lại có SB = SN HK = AK c) (3 điểm) SI là đờng trung bình của BCN CN = 2a áp dụng hệ thức lợng trong CBN ta có CB 2 = CN . AC hay (2R) 2 = 2a.AC AC = 2 2 4 2 2 R R a a = áp dụng định lí Pitago vào IBS ta có BS = 2 2 2 2 a R BN a R = Ta có AH AC BN CN = 2 2 2 2 2 . . 2 R a R BN AC a AH CN a = = 2 2 2 2 2R a R a = 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 . PHềNG GIO DC V O TO HOA L THI CHN HC SINH GII HUYN Nm hc 2009 -2010 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt. ( ny gm 4 bi, 1 trang) Bài 1:(6 điểm) Cho. AH. c) Tính AH theo R và SI = a Hết chớnh thc PHềNG GIO DC V O TO HOA L HNG DN CHM THI HC SINH GII HUYN Nm hc 2009 -2010 MễN THI: TON (Hng dn chm gm 3 trang) Câu 1(6 điểm) a) (2 điểm) 2