khảo sat ham số

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ 1.Đồ thị hàm số: Cho hàm số )(xfy = xác định trên tập D. Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x; f(x)) với Dx ∈ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Chú ý:Nếu đồ thị hàm số )(xfy = là một đường cong thì người ta còn gọi là đường cong có phương trình là )(xfy = ( gọi tắt là đường cong ))(xfy = 2.Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độ. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy đã chọn . I là một điểm có tọa độ là );( 00 yx đối với hệ trục Oxy, Gọi IXY là hệ tọa độ mới có gốc là điểm I và hai trục là IX, IY theo thứ tự có cùng các véc tơ đơn vị →→ ji , với hai trục Ox, Oy. Y X y x y 0 x 0 M X Y y x I O Giả sử M là một điểm bất kì cửa mặt phẳng. Gọi (x; y) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục Oxy và (X; Y) là tọa độ của điểm M đối vơi hệ trục IXY. Khi đó OIOMIM −= hay jyyixxjyixjyixIM )()()()( 0000 −+−=+−+= Vậy );();( 0000 yyxxMyyxxIM −−⇒−−= đối với hệ trục IXY    += += ⇒    −= −= ⇒ 0 0 0 0 yYy xXx yyY xxX (*) Công thức (*) gọi là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI . 3.Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ mới Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, điểm );( 00 yxI ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec tơ OI được hệ trục IXY. Giả sử (C) là đồ thị của hàm số )(xfy = đối với hệ trục Oxy thì đường cong (C) có phương trình )(xfy = đối với hệ tọa độ Oxy. Ta tìm phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục tọa độ mới IXY. Giả sử M là điểm bất kì trên đường cong (C) và (x; y) , (X; Y) lần lượt là tọa độ của điểm M đối với các hệ trục Oxy và IXY. Do )()( xfyCM =⇒∈ Theo công thức đổi hệ trục tọa độ ta có: 0000 0 0 )()( yxXfYxXfyY yYy xXx −+=⇒+=+⇒    += += Vậy đối với hệ trục tọa độ mới IXY đường cong (C) có phương trình là 00 )( yxXfY −+= . TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C) có phương trình: 1)2( 2 1 3 −−= xy Và điểm I (2; -1) . Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo véc tơ OI được hệ trục IXY. a.Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến trên và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY. b.Chứng minh điểm I là tâm đối xứng của đường cong (C). Bài giải: a.Công thức đổi hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI là:    −= += 1 2 Yy Xx Phương trình đường cong (C) đối với hệ trục Oxy là 33 2 1 1)22( 2 1 1 XYXY =⇔−−+=− b. Vì 3 2 1 XY = là hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ của hệ trục IXY làm tâm đối xứng suy ra đường cong (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): xxy 42 2 −= . a.Tìm tọa độ đỉnh I của Parabol (P). b. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI và viết phương trình của Parabol (P) đối với hệ trục mới IXY. Bài giải: a.Đỉnh của Parabol (P) đã cho là I )2;1() 4 ; 2 ( − ∆ −− Ihay aa b b. Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI là:    −= += 2 1 Yy Xx Đối với hệ trục IXY thì Parabol (P) có phương trình là: 22 2)1(4)1(22 XYXXY =⇔+−+=− . II.Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: 1.Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang. Ví dụ: xét hàm số x xf 1 )( = có đồ thị là đường Hypebol gồm hai nhánh nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba của mặt phẳng tọa độ Oxy. 6 4 2 -2 -4 -10 -5 5 10 K N H M f x ( ) = 1 x TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh Ta có: 0 1 lim)(lim0 1 lim)(lim ==== ∞→−∞→+∞→+∞→ x xfvà x xf xxxx Điều đó có nghĩa là khoảng cách MH = )(xf từ điểm M của đồ thị đến trục hoành dần đến 0 khi điểm M theo đường hypebol đi xa ra vô tận về phía phải hoặc phía trái. Người ta gọi trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x y 1 = Ta lại có −∞==+∞== −−++ →→→→ x xfvà x xf xxxx 1 lim)(lim 1 lim)(lim 0000 Điều đó có nghĩa là khoảng cách NK = x từ điểm N của đồ thị đến trục tung dần đến 0 khi điểm N theo đường hypebol đi xa ra vô tận về phía trên hoặc phía dưới. Người ta gọi trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x y 1 = . Một cách tổng quát ta có a.Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y 0 được gọi là tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số )(xfy = nếu 0 )(lim yxf x = +∞→ hoặc 0 )(lim yxf x = −∞→ Chú ý: Nếu chỉ tồn tại một trong hai giới hạn trên thì đồ thị chỉ có tiệm cận ngang một bên Ví dụ : Xét hàm số 1 1 1 2 − ++ + = xx x y Có 1)1 1 1 (lim)1 1 1 (lim 22 −=− ++ + =− ++ + +∞→−∞→ xx x xx x xx Ta có đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 1 1 2 − ++ + = xx x y . 6 4 2 -2 -4 -10 -5 5 10 -1 h x ( ) = x+1 x 2 +x+1 -1 b.Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số )(xfy = nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn +∞=+∞= +− →→ 00 lim;)(lim xxxx xf , −∞=−∞= +− →→ 00 lim;)(lim xxxx xf TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh Chú ý: Nếu chỉ tồn tại ±∞= − → )(lim 0 xf xx hoặc ±∞= + → )(lim 0 xf xx thì đường thẳng x = x 0 gọi là tiệm cận đứng một bên của đồ thị hàm số Ví dụ: Xét hàm số 2 32 2 − −+ = x xx y có +∞= − −+ −∞= − −+ +− →→ 2 32 lim 2 32 lim 2 2 2 2 x xx và x xx xx Nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 22 2 − −+ = x xx y c.Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 12 + − = x x y Bài giải: Hàm số đã cho có tập xác định là { } 2\ −R *Ta có 2lim2lim == −∞→+∞→ yvày xx nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Lại có −∞=+∞= +− −→−→ )2()2( limlim xx và nên đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 6 4 2 -2 -4 -10 -5 5 10 s x ( ) = 2 ⋅ x-1 x+2 Bài 2:Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x x y 1 2 + = Bài giải: Ta có 1 1 1lim 1 limlim 2 2 =+= + = +∞→+∞→+∞→ x x x y xxx 1) 1 1(lim 1 limlim 2 2 −=+−= + = −∞→−∞→−∞→ x x x y xxx Nên: Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi +∞→x (hay còn gọi là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị) Đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi −∞→x (hay còn gọi là tiệm cận ngang bên trái của đồ thị) TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 4 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh Lại có −∞=+∞= −+ →→ 00 limlim xx và nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị. 6 4 2 -2 -4 -10 -5 5 10 1 -1 t x ( ) = x 2 +1 x 2. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Trong mặt phằng tọa độ Oxy cho đường cong (C) có phương trình )(xfy = và đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b (a khác 0) Gọi M , N là hai điểm lần lượt nằm trên (C) và (d) có cùng hoành độ x nếu độ dài đoạn thẳng MN dần tới 0 khi x dần đến ∞+ (hoặc x dần tới ∞− ) thì đường thẳng (d) gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C). Vì MN = )()( baxxf +− nên ta có định nghĩa sau: a.Định nghĩa Đường thẳng 0; ≠+= abaxy , được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số )(xfy = nếu: [ ] 0)()(lim =+− +∞→ baxxf x hoặc [ ] 0)()(lim =+− −∞→ baxxf x Chú ý: Nếu chỉ xảy ra một trong hai giới hạn trên thì đường thẳng y = ax + b gọi là tiệm cận xiên một phía của đồ thị hàm số. Ví dụ 1 : Xét hàm số 2 32 2 − −+ = x xx y có 0 5 lim)]4( 2 32 [lim)]4([lim 2 ==+− − −+ =+− −∞→−∞→−∞→ x x x xx xy xxx và 0 2 5 lim)]4( 2 32 [lim)]4([lim 2 = − =+− − −+ =+− +∞→+∞→+∞→ x x x xx xy xxx Nên đường thẳng y = x + 4 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. b.Bài tập áp dụng Bài1:Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1 )( 2 − +== x x xxfy Tập xác định: R\{-1; 1} Ta có 0 1 lim])([lim0 1 lim])([lim 22 = − =−= − =− −∞→−∞→+∞→+∞→ x x xxfvà x x xxf xxxx Suy ra đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Ta lại có: TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh +∞= − +=−∞= − += −→ −→−→−→ +−− ) 1 (lim)(lim) 1 (lim)(lim 2 )1( )1( 2 )1()1( x x xxfvà x x xxf x xxx Nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số +∞= − +=−∞= − += ++−− →→→→ ) 1 (lim)(lim) 1 (lim)(lim 2 11 2 11 x x xxfvà x x xxf xxxx Nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 15 - 3 3 2 3 3 2 - 3 3 -1 1 u x ( ) = x+ x x 2 -1 Bài 2: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 32)( 2 −+== xxxfy có đường tiệm cận xiên bên phải là đường thẳng y = x + 1 và đường tiệm cận xiên bên trái là đường thẳng y = - x - 1 Bài giải: Ta có 0 )1(32 4 lim )1(32 1232 lim)]1(32[lim 22 22 2 = ++−+ − = ++−+ −−−−+ =+−−+ +∞→+∞→+∞→ xxxxxx xxxx xxx xxx Suy ra đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số. Lại có 0 132 4 lim )1(32 1232 lim)]1(32[lim 22 22 2 = −−−+ − = ++−+ −−−−+ =−−−−+ −∞→−∞→−∞→ xxxxxx xxxx xxx xxx Suy ra đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số. 8 6 4 2 -2 -10 -5 5 10 y = -x - 1 y = x + 1 -1 1 -3 f x ( ) = x 2 +2 ⋅ x ( ) -3 c.Cách tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 6 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh Giả sử đồ thi hàm số )(xfy = có tiệm cận xiên bên phải là đường thẳng y = ax + b Thì ])([lim )( lim axxfbvà x xf a xx −== ∞+→∞+→ Giả sử đồ thi hàm số )(xfy = có tiệm cận xiên bên trái là đường thẳng y = ax + b Thì ])([lim )( lim axxfbvà x xf a xx −== ∞−→∞−→ Nếu baxxfvàa x xf xx =−= ∞±→∞±→ ])([lim )( lim thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên cả hai phía của đồ thị hàm số y = f(x). Ví dụ 1: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 1 )( 2 3 − == x x xfy Bài giải: Ta có 1 1 1 1 lim )1( lim )( lim 2 2 3 = − = − = ∞±→∞±→∞±→ x xx x x xf xxx 0 1 lim) 1 (lim])([lim 22 3 = − =− − =− ∞±→∞±→∞±→ x x x x x xxf xxx Vậy đồ thị hàm số 1 )( 2 3 − == x x xfy có tiệm cận xiên cả hai phía là đường thẳng y = x. Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 12)( 2 −+== xxxfy Bài giải: Ta có 0 )1 1 lim)1(lim]3)([lim 3) 1 12(lim 12 lim )( lim 2 2 2 2 = +− − =−−=− =−+= −+ = +∞→+∞→+∞→ +∞→+∞→∞+→ xx xxxxf x x xx x xf xxx xxx Vậy đồ thị hàm số 12)( 2 −+== xxxfy có tiệm cận xiên bên phải(x )+∞→ là đường thẳng y = 3x. Lại có 0 )1 1 lim)1(lim])([lim 1) 1 12(lim 12 lim )( lim 2 2 2 2 = −− − =+−=− =−−= −+ = −∞→−∞→−∞→ −∞→−∞→∞−→ xx xxxxf x x xx x xf xxx xxx Vậy đồ thị hàm số 12)( 2 −+== xxxfy có tiệm cận xiên bên trái( )−∞→x là đường thẳng y = x. d. Nhận biết các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số đơn giản, *Nếu f(x) hàm đa thức thì đồ thị của nó không có đường tiệm cận * Các hàm số có tập xác định là đoạn [a; b] đò thị của chúng không có đường tiệm cận. TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 7 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh * Nếu f(x) là hàm phân thức tức là )( )( )( xq xp xf = trong đó P(x) và q(x) là các đa thức thì xảy ra hai trường hợp Trường hợp 1: Bậc của p(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của q(x) đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử chung thì đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = y 0 với )(lim 0 xfy x ∞±→ = và đồ thị có tiệm cận đứng là các đường thẳng x = x i trong đó x i là các nghiệm của đa thức q(x) . Trường hợp 2: Bậc của p(x) lớn hơn bậc của q(x) một đơn vị đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử chung thì đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên hai phía là đường thẳng y = ax + b với ])([lim, )( lim axxfb x xf a xx −== ±∞→∞±→ và đồ thị có tiệm cận đứng là các đường thẳng x = x i trong đó x i là các nghiệm của đa thức q(x) . Chú ý: Bậc của p(x) lớn hơn bậc của q(x) từ 2 đơn vị trở lên đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử chung thì đồ thị hàm số có tiệm cận cong (không được nghiên cứu trong chương trình SGK phổ thông)và đồ thị có tiệm cận đứng là các đường thẳng x = x i trong đó x i là các nghiệm của đa thức q(x) * Các hàm số có chứa biến x trong dấu căn bậc hai nếu có tiệm cận xiên thì tiệm cận xiên hai phía là hai đường khác nhau. III. Điểm uốn của đồ thị hàm số. 1.Định nghĩa: Điểm U ))(;( 00 xfx gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số )(xfy = nếu hàm số có đạo hàm tại x 0 (Đồ thị có tiếp tuyến tại U) và tồn tại khoảng (a; b) chứa x 0 sao cho trên một trong hai khoảng (a ; x 0 ) và (x 0 ; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị. Người ta nói rằng tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn xuyên qua đồ thị. 6 4 2 -2 -10 -5 5 10 70 27 - 2 3 y x ( ) = -39 9 ( ) ⋅ x+ 2 3 ( ) + 70 27 f x ( ) = x 3 +2 ⋅ x 2 ( ) -3 ⋅ x 2.Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: Ta thừa nhận và sử dụng định lí sau để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số. Định lý: Nếu hàm số )(xfy = có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm 0)(, 0 ,, 0 =xfx và )( 0 ,, xf đổi dấu khi x qua x 0 thì điểm U( ))(; 00 xfx là một điểm uốn của đồ thị hàm số )(xfy = Ví dụ 1: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 3 4 3 3 1 )( 23 +++−= xxxxf TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 8 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh Bài giải: Ta có 10)(22)(32)( ,,,,2, =⇔=−−=⇒++−= xxfvàxxfxxxf Dấu của )( ,, xf 1 - + Từ kết quả xét dấu ta nhận thấy )( ,, xf đổi dấu (từ dương sang âm) khi x qua điểm x = 1 nên U(1; 5) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. Nhận xét : Hàm số bậc ba 0,)( 23 ≠+++= adcxbxaxxf có đạo hàm cấp hai là một nhị thức bậc nhất baxxf 26)( ,, += và bằng 0 tại một điểm x 0 = a b 3 − duy nhất đồng thời đổi dấu khi x qua điểm x 0 đó nên đồ thị luôn có một điểm uốn và ta chứng minh được điểm uốn đó là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Ví dụ 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 32)( 24 −−== xxxfy Bài giải: Ta có       = −= ⇔=⇒−=⇒−= 3 3 3 3 0)(412)(44)( ,,2,,3, x x xfxxfxxxf Dấu của )( ,, xf + - 3 3 3 3 - + Do 0)( ,, =xf tại hai điểm 3 3 ±=x và đổi dấu (từ dương sang âm và từ âm sang dương) khi x lần lượt đi qua hai giá tri đó nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn U 1 ) 9 32 ; 3 3 ( −− và U 2 ) 9 32 ; 3 3 ( − . Chú ý: Hàm số bậc bốn có đạo hàm cấp hai là một tam thức bậc hai có thể không có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không đổi dấu khi x qua nghiệm đó vì vậy đồ thị hàm số bậc bốn có thể không có điểm uốn. Ví dụ 3: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 2353)( 45 −+−== xxxxfy Bài giải: Tập xác định : R Ta có 00)(6060)(32015)( ,,23,,34, =⇔=⇒−=⇒+−= xxfxxxfxxxf hoặc x = 1 Dấu của )( ,, xf - 0 1 - + Từ kết quả xét dấu của )( ,, xf suy ra đồ thị hàm số 2353)( 45 −+−== xxxxfy chỉ có một điểm uốn là U(1; -1). Ví dụ 4: Xác định a, b để điểm I(-2; 1) là điểm uốn của đồ thị hàm số 2)( 23 +−+== xbxaxxfy Bài giải: Tập xác định: R TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 9 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh baxxf bxaxxf 26)( 123)( ,, 2, += −+= Điều kiện cần để điểm I(-2;1) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho là        −= −= ⇔    −= = ⇔    =++− =+− ⇔    = =− 8 9 16 3 316 6 1448 0212 1)2( 0)2( ,, b a a ab ba ba f f Điều kiện đủ: Với 8 9 16 3 −=−= bvàa thì 20)( 8 18 16 18 )( ,,,, −=⇔=⇒−−= xxfxxf Nhận thấy )( ,, xf đổi dấu khi x qua điểm x = -2 nên x = -2 là hoành độ điểm uốn của đồ thị hàm số Và : Với 2 8 9 , 16 3 −=−=−= xvàba thì 1)2( =f Kết luận: 8 9 , 16 3 −=−= ba thỏa mãn điều kiên bài toán. Ví dụ 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 1 1 )( 2 ++ + == xx x xfy có 3 điiểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn đó. Bài giải : Tập xác định : R ( ) 3 2 23 ,, 22 2 , 1 )13(2 )( )1( 22 )( ++ −+ = ++ + = xx xx xf xx xx xf Đồ thị hàm số có 3 điểm uốn khi và chỉ khi 0)( ,, =xf có 3nghieemj phân biệt và liên tục đổi dấu khi x lần lượt qua các nghiệm đó 013)( 23 =−+=⇔ xxxg (1) có 3 nghiệm phân biệt Ta có 13)( 23 −+= xxxg là hàm số liên tục trên R và có      < <− <−− ⇒        = −= =− −=− 0)1()0( 0)0()1( 0)1()3( 3)1( 1)0( 1)1( 1)3( gg gg gg g g g g Điều đó chứng tỏ tồn tại ít nhất 3 điểm x 1 , x 2 , x 3 lần lượt thuộc 3 khoảng (-3; -1), (-1; 0), (0; 1) Sao cho 0)()()( 321 === xgxgxg hay phương trình g(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm (1) Lại do phương trình g(x) = 0 là phương trình bậc 3 nên có nhiều nhất 3 nghiệm(2) Từ (1) và (2) suy ra g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm uốn. Ba điểm uốn của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y = ax + b khi các hoành độ 321 ;; xxx của chúng là nghiệm của phương trình )2()0(0 11 01)1()( )1)(()1( 1 1 23 23 2 2 ≠= − + −+ + + +⇔ =−+−++++⇔ +++=+⇔+= ++ + ado a b x a ba x a ba x bxbaxbaax xxbaxxbax xx x TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 10 [...]... trục đối xứng V .Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ: 1 lược đồ bài khảo sát và vẽ đồ thi hàm số phân thức hữu tỷ Bài khảo sát một hàm số phân thức hữu tỷ gồm các bước sau Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số a.Tìm giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực của hàm số từ đó suy ra các đường tiệm cận của đồ thị hàm số b Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm... của đồ thị hàm số đã cho nằm trên đường thẳng y = x + 3 3 IV Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức 1 Lược đồ bài khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức ta tiến hành các bước sau đây Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số Bước 2 : Xét sự biến thiên của hàm số a Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số tức là tìm xlim f ( x) → ±∞ b Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính f , (... dấu đạo hàm kết luận các khoảng hàm số đồng biến , nghịch biến và tìm cực trị (nếu có ) của hàm số + Lập bảng biến thiên Bước 3: Vẽ đồ thi hàm số + Tìm điểm uốn (nếu có ) của đồ thị hàm số + Xác định các điểm CĐ, CT và điểm uốn (nếu có) của đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy + Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có) , Xác định thêm một số điểm khác (nếu cần) + Vẽ đồ thị... số sau: 2 x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 1 a y = b y = 2 x −1 x − 4x + 3 x c y = 2 d y = x + 1 − x 2 + 2x + 3 x − 3x + 2 Bài 2 :Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 22 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số a y = x 1 − 1 , b y = x x 2 + 4x + 3 , c y = x +1 Nguyễn Đức Thanh x3 x −1 x+2 x 2 + 3x − 4 , e y = 2 x2 + x +1 x − 6x + 9 Bài 3: Biện luận theo tham số m số. .. luận những khoảng hàm số đồng biến ,nghịch biến tìm cực trị (nếu có) của hàm số TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 17 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh + Lập bảng biến thiên Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số + Vẽ các đường tiệm cận + Xác định các điểm cực đại , cực tiểu (nếu có) lên mặt phẳng tọa độ + Tìm giao điểm (nếu có ) của đồ thị với các trục tọa độ, xác định thêm một số điểm nếu cần + Vẽ đồ... 5 5+ 1 2 3 5 10 -2 2 -4 -6 Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hat đường tiệm cận làm tâm đối xứng x 2 + 3x + 1 Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x +1 Bà giải: Bài giải: 1 Tập xác định D = D \ { − 1} 2 Sự biến thiên: x 2 + 3x + 1 1 a Các giới hạn Ta có hàm số y = = x+2− x +1 x +1 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 21 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh 2 2 x + 3x + 1 x +... + 6 > 0, ∀x ∈ R Hàm số luôn đồng biến trên R , hàm số không có cực trị Bảng biến thiên: TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 12 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x Nguyễn Đức Thanh + ∞ -∞ f '(x) + + ∞ f(x) -∞ 3 Đồ thị: + Điểm uốn: y ,, = 6 x ⇒ y ,, = 0 ⇔ x = 0 và y ,, đổi dấu khi x qua 0 nên đồ thị hàm số đã cho có một điểm uốn là điểm U(0; 10) + Đồ thị cắt trục Oy tại điểm y = 10 + Một số điểm khác:Cho x =... trục đối xứng Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 Bài giải: 1.Tập xác định: R 2.Sự biến thiên 4 2 a Các giới hạn lim y = lim ( x − 2 x + 1) = +∞ x → ±∞ x → ±∞ b Chiều biến thiên x = 0 y , = 4 x 3 − 4 x ⇒ y , = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − 1) = 0 ⇔   x = ±1 Dấu y , TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 16 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh -1 + 1 0 + - Hàm số nghịch biến trên các... THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 11 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nghịch biến trên các khoảng (−∞;−3) và (1;+∞) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -3 ; yCT = -13 7 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; yCĐ = − 3 Bảng biến thiên: x f '(x) - + ∞ 1 -3 -∞ Nguyễn Đức Thanh + 0 _- 0 + ∞ 7 - f(x) 3 -∞ -13 3.Đồ thị +Điểm uốn: y ,, = −2 x − 2 ⇒ y ,, = 0 ⇔ x = −1 và y ,, đổi dấu khi x qua -1 nên đồ thị hàm số có 1 điểm 23 uốn là U (−1;−... ⇔   − 2 + 13 x = 3  , Dấu của y : + -1+ 2 -1- 2 + - TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 13 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh − 2 − 13 − 2 + 13 ) và ( ;+∞) 3 3 − 2 − 13 − 2 + 13 Nghịch biến trên khoảng ( ; ) 3 3 Hàm số đạt cực đại tại x = −1 − 2 , yCĐ = M Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 − 2 , yCT = m Bảng biến thiên: x f '(x) -∞ -1- 2 + 0 - 0 M f(x) + . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ 1.Đồ thị hàm số: Cho hàm số )(xfy = xác định trên. đồ thị hàm số đã cho nằm trên đường thẳng y = 3 2 3 1 +x . IV. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức. 1 Lược đồ bài khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức ta. THANH HÓA 15 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh + - 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0 ), đồng biến trên khoảng (0; +∞) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y CT = 1. Hàm số không có