LTDH_HAM SO(MOI NHAT)

Chuyên đề hàm số Lời nói đầu “Chuyên đề hàm số” là một trong năm chuyên đề trong: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học”. Hàm số là một phần quan trọng trong giải tích. Vì thế việc nắm vững kiến thức cũng như phân loại được các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán đó là một phần tất yếu của người học toán. Dựa theo cấu trúc đề thi của bộ giáo dục và đào tạo năm 2010, tác giả đã sưu tầm và nghiên cứu viết ra một phần nhỏ “chuyên đề hàm số” theo đúng cấu trúc của bộ. Các bài tập trong cuốn chuyên đề này các bạn có thể tìm thấy ở các cuốn sách tham khảo trên thị trường và đặc biệt là các đề thi tuyển sinh đại học từ các năm đến bây giờ. Chuyên đề không giải chi tiết từng bài toán mà chỉ là đáp số và hướng dẫn. Tuy nhiên, chuyên đề có sự phân dạng và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Lời giải của bài toán sẽ được tác giả giải trong từng buổi học. Chuyên đề gồm 6 chuyên đề chính dựa theo cấu trúc của bộ giáo dục và đào tạo: Chiều biến thiên của hàm số; Cực trị; GTLN và GTNN của hàm số; Tiếp tuyến và các bài toán liên quan; Tìm trên đồ thị những điểm thoả mãn tính chất cho trước; Tương giao giữa hai đồ thị. Chuyên đề tác giả viết ra vừa là tài liệu để mang đi dạy vừa có thể đưa cho các em để các em làm bài tập ở nhà. Do lần đầu viết tài liệu nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu xót. Mong nhận đựơc sự góp ý từ đồng nghiệp và các em. Mọi góp ý xin liên hệ trực tiếp tác giả hoặc theo địa chỉ: dinhnguyentoanpt@yahoo.com hoặc dinhnguyen_dn_toanpt@yahoo.com Đà nẵng, 20/04/2010 Đình Nguyên Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 1 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 1: Chiều biến thiên Chuyên Đề Hàm số_ Luyện thi đại học năm 2009 – 2010 Chuyên đề 1: Chiều biến thiên của đồ thị hàm số A.Cơ sở lý thuyết: I. Lý thuyết chung: 1. y = f(x) đồng biến trên (a, b) ( ) ' 0f x⇔ ≥ với mọi x ∈ (a, b). 2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b) ( ) ' 0f x⇔ ≤ với mọi x ∈ (a, b). 3. y = f(x) đồng biến trên [ ] ;a b thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b) 4. y = f(x) nghịch biến trên [ ] ;a b thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a). Chú ý:  Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x).  Nếu hàm số 0y ≥ , ∀∈ (a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì 0y ≥ ∀∈ [ ] ;a b .  Bất phương trình ( )f x m≥ đúng x I∀ ∈ ⇔ Min f(x) m≥ x I∀ ∈  Bất phương trình ( )f x m≤ đúng x I∀ ∈ ⇔ Max f(x) m≤ x I∀ ∈  BPT ( )f x m≥ có nghiệm x I∈ ⇔ max f(x) m≥ x I∀ ∈  BPT ( )f x m≤ có nghiệm x I∈ ⇔ Max f(x) m≤ x I∀ ∈  Tam thức bậc hai:  2 0y ax bx c= + + ≥ x∀ ∈¡ 0 0 a >  ⇔  ∆ ≤   2 0y ax bx c= + + ≤ x∀ ∈¡ 0 0 a <  ⇔  ∆ ≤  B. Bài tập: 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 3 y m x mx m x= − + + − Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định của nó. Chuyên đề hàm số Chuyên đề 1: Chiều biến thiên 2. Cho hàm số 4mx y x m + = + . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ;1−∞ . 3. Cho hàm số 3 2 3 4y x x mx= + − − . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;0−∞ . 4. Cho hàm số 3 2 3 2y x x mx= − + + − . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 . 5. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 3 4 3 y x m x m x= − + − + + − . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;3 . 6. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 3 3 m y x m x m x= − − + − + . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên [ ) 2;+∞ . 7. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 7 7 2 1 2 3y x mx m m mx m m= − − − + + − − . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên [ ) 2;+∞ . 8. Tìm m để hàm số 1 1 sin sin2 sin3 4 9 y mx x x x= + + + luôn đồng biến. 9.Tìm m để ( ) ( ) 2 4 5 cos 2 3 3 1y m x m x m m= − + − + − + luôn nghịch biến. 10.Tìm m để hàm số 3 2 3 3 3 4y x x mx m= − + + + đồng biến với mọi x. Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số A.Cở sở lý thuyết: I. Cực trị hàm bậc ba:  Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số ( )y f x= có cực đại và cực tiểu '( ) 0f x⇔ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2 ' 3 0b ac∆ = − >  Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x 0 ⇔ 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =   <   Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 ⇔ 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =   >   Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.  Chú ý: sử dụng định lý viét cho hoành độ các điểm cực trị. II. Cực trị hàm bậc bốn:  y’ = 0  có đúng 1 nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm (1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép) thì hàm số y có đúng 1 cực trị.  Có 3 nghiệm phân biệt: thì hàm số có 3 cực trị. B. Bài Tập: 11. Tìm m để hàm số: ( ) ( ) 3 2 2 2 1 2 3 1 5 3 y x m m x m x m= + − + + + + − đạt cực tiểu tại x = - 2. 12. Tìm m để ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − − có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng d: y = - 4x + 3. 13. Tìm m để ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 1 2y x m x m m x = + − + − có CĐ, CT nằm trên đường thẳng d: y = - 4x. 14. Tìm m để 3 2 7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng d: y = 3x - 7. Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 4 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị 15. Tìm m để hàm số 3 2 2 3y x x m x m= − + + có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua d: 1 5 2 2 y x= − 16. Cho ( ) ( ) 3 2 2 cos 3sin 8 1 cos2 1 3 y x a a x a x= + − − + + a. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT. b. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 . CMR: 2 2 1 2 18x x+ ≤ 17. Tìm m để hàm số 3 2 1 1 3 y x mx x m= − − + + có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất. 18. Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 2x 2 = 1. 19. Tìm m để hàm số ( ) 4 2 2 9 10y mx m x= + − + có 3 điểm cực trị. 20. Tìm m để hàm số 4 2 4 2 2y x mx m m= − + + có CĐ, CT lập thành tam giác đều. 21. Tìm m để hàm số 4 2 2 2 1y x m x= − + có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. 22.Tìm m để hàm số 3 2 2 1 ( 2) (5 4) ( 1) 3 y x m x m x m= + − + + + + đạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện x 1 < -1 < x 2 . 23. Cho hàm số: ( ) 3 2 1 1 3 sin cos sin2 3 2 4 y x a a x a x   = − + +  ÷   . Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 , x 2 và x 1 2 + x 2 2 = x 1 +x 2 . 24. Cho hàm số ( ) 3 2 3 2 1 3y mx mx m x m= − + + + − Tìm m để hàm số có CĐ và CT. CMR: khi đó đường thẳng đi qua CĐ, CT luôn đi qua 1 điểm cố định. Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị 25. Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − − Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. 26. Cho hàm số ( ) 3 2 3 3 2 1y x x m m x= − − + − Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu. 27. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 2 2y x m x m x = − − + − + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. 28. Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 3 11 3y x m x m= + − + − Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng. 29. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 2 4y x m x m m= − + + − − + − Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía của trục tung. 30. Cho hàm số 4 2 1 3 2 2 y x mx= − + Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. 31. Cho hàm số: 4 2 2 2y x mx m= − + Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT: a. Lập thành 1 tam giác đều. b. Lập thành 1 tam giác vuông. c. Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 16. C. Bài Tập tương tự: 32. Tìm m để đồ thị có cực đại, cực tiểu a. 3 2 1 . ( 6). (2 1) 3 y x mx m x m= + + + − + b. 3 2 ( 2). 3 . 5y m x x m x= + + + − Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị 33. CMR với mọi m hàm số 3 2 2. 3(2 1) 6 .( 1) 1y x m x m m x= − + + + + sau luôn đạt cực trị tại x 1 , x 2 và x 1 – x 2 không phụ thuộc vào m. 34. Tìm m để đồ 3 2 2 3 3( 1)y x mx m x m= − + − + đạt cực tiểu tại x = 2 35. Tìm m để 3 2 3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − − không có cực trị. 36. Cho hàm số 3 2 2 2. 3(3 1) 12.( ) 1y x m x m m x= − + + + + Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT. 37. Tìm m để 3 2 3 ( ) 3 4f x x mx m= − + có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. 38. Tìm a để hàm số 3 2 4 . 2(1 sin ) (1 cos2 ). 1 3 y x a x a x= − − − + + luôn đạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 1x x+ = 39. Tìm m để hàm số 3 2 3 2 m y x x m= − + có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng y = x. Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số Chuyên đề 3: GTLN và GTNN của hàm số A. Cơ sở lý thuyết:  Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D +Nếu tồn tại 1 điểm x 0 thuộc D sao cho: 0 ( ) ( )f x f x≤ ∀ x D∈ thì M = f(x 0 ) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D. +Nếu tồn tại 1 điểm x 0 thuộc D sao cho: 0 ( ) ( )f x f x≥ ∀ x D∈ thì M = f(x 0 ) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.  Để tìm GTLN, GTNN ta có thể  Lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết luận.  (Xét trên đoạn [ ] ;a b ) + Giải phương trình y’=0 với x thuộc D. Giả sử có các nghiệm x 1 , x 2 . + Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ) + So sánh các giá trị trên và kết luận.  Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo biến mới.  Ứng dụng của GTLN, GTNN để giải PT, BPT:  Giải phương trình: + Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng một bên là hàm số theo x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)). + Để PT có nghiệm thì ⇔ min ( , ) ( ) max ( , )f x m g m f x m≤ ≤ . + Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm.  Giải bất phương trình: Áp dụng các tính chất sau: +Bất phương trình ( )f x m≥ đúng x I∀ ∈ ⇔ Min f(x) m≥ x I∀ ∈ +Bất phương trình ( )f x m≤ đúng x I∀ ∈ ⇔ Max f(x) m≤ x I∀ ∈ + Bất phương trình ( )f x m≥ có nghiệm x I∈ ⇔ max f(x) m≥ x I∀ ∈ +Bất phương trình ( )f x m≤ có nghiệm x I∈ ⇔ Max f(x) m≤ x I∀ ∈ Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 8 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số B. Bài tập: 40.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 cos2 4siny x x= + trên đoạn 0; 2 π       . 41.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 4 2sin sin 3 y x x= − trên đoạn [ ] 0; π . 42. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 cos 2 sin cos 4y x x x= − + . 43. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 6 6 4 4 1 sin cos 1 sin cos x x y x x + + = + + . 44. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2x y x e= − trên đoạn [ ] 0;1 . 45. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1y x x= + − . 46. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) 3sin 4cos 10 3sin 4cos 10y x x x x= − − + − . 47. Chứng minh rằng: sin tan 2x x x+ > , 0; 2 x π   ∀ ∈  ÷   . 48. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 8 16 9y x x x= − + − trên đoạn [ ] 1;3 . 49. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 cosx x+ trên đoạn 0; 2 π       . 50.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 3 9y x x= + − . 51.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 3y x x= − trên đoạn [ ] 1;1− . 52.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 4 sin cosy x x= − . 53.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 y x x= − trên đoạn [ ] 1;1− . 54.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 sin cosy x x= + . 55.Tìm GTLN, GTNN của hàm số sin 3 sin 1 2 sin x x y x + − = − . 56.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 sin cos2 sinx 2y x x= − + + Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 9 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số 57.Tìm GTLN, GTNN của 2 3 2y x x= − + trên đoạn [ ] 10;10− . 58. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 3 2 x y x x + = + + . 59. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 1 x x y e e = + . 60. Tìm m để phương trình 3 2 3 0x x m− + = có ba nghiệm phân biệt. 61. Tìm m để bất PT: 3 3 1 3 2x mx x − + − ≤ − nghiệm đúng với mọi 1x ≥ . 62. a. Tìm m để phương trình 2 2 1x x m+ + = có nghiệm. b. Tìm m để bất phương trình 2 2 1x x m+ + > với mọi x ∈¡ . 63. Tìm m để phương trình: 2 9 9x x x x m+ − = − + + có nghiệm. 64. Tìm m để phương trình: ( ) ( ) 3 6 3 6x x x x m+ + − − + − = có nghiệm. 65. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) ( ) 4 4 6 6 2 4 sin cos 4 sin cos sin 4x x x x x m+ − + − = 66.Tìm m để phương trình: cos2 4sin cos 2 0m x x x m− + − = có nghiệmx 0; 4 π   ∈  ÷   . C. Bài tập tương tự: 67. Xác định m để phương trình ( ) 2 1 4 1x x m+ − + = có nghiệm. 68. Xác định m để phương trình 9 2 1x x m− = + có nghiệm thực. 69. Tìm m để BPT: ( ) ( ) 2 3 2 2 5 2 5 0m x m x m− − − − + > có nghiệm. 70.Tìm GTLN, GTNN của 1 9y x x= − + − trên đoạn [ ] 3;6 . 71.Tìm m để phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2x x x x m− + + − − + = có nghiệm. Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 10 . m x a m x b m x c m α = − + + .  Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số: Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số. ( ) ( ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( ) ( )f x m x m a m x b m x c. điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m. Chú ý: Phương pháp hàm số chỉ sử dụng được khi tham số là có bậc là 1. B.Tương giao hàm bậc 3 với trục Ox. 1.Các phương pháp xét tương giao: Đình. cấu trúc của bộ. Các bài tập trong cuốn chuyên đề này các bạn có thể tìm thấy ở các cuốn sách tham khảo trên thị trường và đặc biệt là các đề thi tuyển sinh đại học từ các năm đến bây giờ. Chuyên