Đề tài thảo luận "Hệ phương trình tuyến tính" pdf

CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH---6 1.. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT- -8 1.. • Hệ hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm... CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠN

DANH SÁCH NHÓM 8-MÃ LHP 1031FMAT0111

Lớp HC MÃ SV

Mục lục

Trang

Biên bản phân công công việc -3

II CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN -4

1.Các dạng biểu diễn của hệ phương trình tuyến tính -4

2 Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm -5

II CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH -6

1 Phương pháp khử dần ẩn -6

2 Phương pháp Cramen -7

3 Phương pháp ma trận nghịch đảo -7

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT- -8 1 Dạng tổng quát -8

2 Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường -9

Danh mục tài liệu tham khảo -10

Biên bản phân công công việc

1 Hoàng Thị Thu Nga

2 Nguyễn Thị Nga (T3)

3 Nguyễn Thị Nga (T1)

4 Tô Thúy Nga

5 Nguyễn Minh Ngọc

6 Nguyễn Trần Kim Ngọc

7 Phạm Như Ngọc

8 Nguyễn Thị Thanh Nhàn

(T3)

9 Nguyễn Thị Thanh Nhàn

(T1)

10 Phạm Thị Nhàn

I.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính

1.1 Dạng tổng quát

Xét hệ m phương trình bậc nhất đối với n ẩn x1, x2,…, xn :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

amx1 +am2x2 + … + amnxn = bm

Hệ này gọi là một hệ phương trình tuyến tính ở dạng tổng quát

• aij được gọi là hệ số của các ẩn xj (i = 1, m ; j = 1, n)

• Bi (i = 1, m) gọi là các hệ số tự do

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

• A = … được gọi là ma trận hệ số của hệ (1)

am1 am2 … amn

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 … a2n b2

• A = …

am1 am2 … amn bm

được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1)

1.2 Dạng ma trận

Đưa vào các ma trận cột

X = … = (x1, x2, …, xn)’ ; B = … = (b1, b2, …, bm)’

ta có hệ (1) tương đương với một phương trình ma trận

2.1 Nghiệm

• Một véc-tơ n chiều X0 = (c1, c2, …, cn) được gọi là nghiệm của hệ (1) nếu ta thay các ẩn xj bởi các số cj ( j = 1, n ) vào tất cả các

phương trình của hệ ta được các đẳng thức đúng

• Hệ hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

2.2 Điều kiện tồn tại nghiệm

• Định lý Croncke – Capelly

Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hệ đó

có hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số

Hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi : r(A) = r(A)

• Mệnh đề

r(A) < r(Ā) => hệ vô nghiệm

r(A) = r(Ā) = n => hệ có duy nhất 1 nghiệm (n là số nghiệm của hệ) r(A) = r(Ā) < n => hệ vô số nghiệm

Ví dụ : Xét xem hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm hay không

x – y + z = 3

y – 3z = 1 2z = - 1 Giải

1 -1 1 3

A = 0 1 -3 1

Trong A có ma trận hệ số A là 3 cột đầu Ma trận A và A đều chứa định thức

1 -1 1

0 1 -3 = 2 ≠0

0 0 2

Là định thức cấp con cao nhất khác 0 Do đó r(A) =r(A) = 3 (= số ẩn ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

II CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

1 Phương pháp khử dần các ẩn

1.1 Ba phép biến đổi sơ cấp đối với hệ phương trình tuyến tính

• Đổi chỗ hai phương trình

• Nhân hai vế của 1 phương trình với cùng 1 số khác 0

• Nhân hai vế của 1 phương trình với cùng 1 số bất kì, rồi cộng vào hai vế tương ứng của 1 phương trình khác

• Định lí : Ba phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổ nghiệm của

hệ phương trình tuyến tính

1.2 Nội dung phương pháp

• Biến đổi sơ cấp dòng của ma trận mở rộng A để đưa về dạng đặc biệt hơn (dạng tam giác, dạng hình thang)

• Tính r(A), r(Ā) => số nghiệm

• Giải từ PT cuối đi lên PT đầu tiên ta được các nghiệm

• Nhận xét: trong quá trình biến đổi sơ cấp

Nếu thấy 1 dòng 0 thì có thể xóa đi dòng đó Nếu có 2 dòng giống nhau hoặc tỉ lệ thì có thể bỏ đi 1 dòng Nếu thấy 1 dòng có dạng (0 0 … 0 a) (a ≠0) thì kết luận ngay

hệ vô nghiệm

Ví dụ: Giải hệ phương trình

2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 5

x 1 + 3x 2 + 5x 3 =3 -x 1 – 2x 2 + x 3 = -2

x 2 +5x 3 = 4 Giải

x 2 + 6x 3 = 1 -x 3 = 3

=>x 3 = -3 thay vào phương trình thứ 2 =>x 2 = 19;

x 1 = -39 Vậy ta có nghiệm duy nhất X 0 = ( -39, 19, -3).

2 Phương pháp Cramen

2.1 Định nghĩa

Một hệ có n phương trình tuyến tính, n ẩn với định thức của ma trận hệ số khác 0 được gọi là hệ Cramen

Kí hiệu: D = | A | ≠ 0

Dj là định thức nhận được từ |A| sau khi thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do

2.2 Định lý Cramen

• Hệ Cramen có nghiệm duy nhất là

xj =Dj / Dn (j = 1, n)

• Về lí thuyết công thức Cramen rất gọn nhưng trong thực hành, khối lượng phép tính là rất lớn, nhất là khi n lớn

3 Phương pháp ma trận nghịch đảo

Giả sử hệ PT là hệ Cramen: AX = B

Hệ Cramen có nghiệm duy nhất: X = A-1B

Cách giải này cũng chỉ có nhiều ý nghĩa về lí thuyết, trong thực hành,

ta ít sử dụng vì khối lượng phép tính là rất lớn

Ví dụ : giải hệ phương trình

2x 1 + 5x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 3x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 6x 1 + 4x 2 + 5x 3 +2x 4 = 2 7x 1 – 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 1

1 3 2

0 0 1 r(A) =r(A) =3 hệ có nghiệm và r = 3<4 hệ có vô số nghiệm.Ứng vớ 3 cột tạo thành định thức cấp 3 khác 0 ta chọn x 1 , x 3 , x 4 làm 3 ẩn cơ sở, x 2

là ẩn tự do, cho x 2 = α Hệ đã cho tương đương với hệ

2x 1 + 5α +3x 3 +x 4 = 2

x 1 - 6α - x 3 = -1

x 1 = -1 Giải từ PT cuối đến PT thứ hai rồi đến PT thứ nhất ta có

x 1 = -1

x 4 = 4+13α

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN

TÍNH THUẦN NHẤT

1 Dạng tổng quát

• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số của nó nhỏ hơn số ẩn

• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình ít hơn

số ẩn thì nó có nghiệm không tầm thường

• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với số phương trình bằng

số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của

ma trận hệ số bằng không

Ví dụ: tìm những giá trị của a để hệ có nghiệm không tầm thường

ax 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

x 1 + ax 2 + x 3 + x 4 = 0

x 1 + x 2 +ax 3 + x 4 = 0

x 1 + x 2 + x 3 + ax 4 = 0 Giải

Hệ có nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận hệ số bằng không :

Vậy a =3 hoặc a = 1 thì hệ có nghiệm không tầm thường

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM

KHẢO

1 Giáo trình toán cao cấp – trường ĐH Thương Mại (NXB thống kê – 2008)

2 tailieu.vn

3 Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp phần 2