GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krơng Bơng A/ GIẢI TÍCH PHẦN I. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VẤN ĐỀ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số. 2. Định lý. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. + Nếu ( ) ' 0,f x x I≥ ∀ ∈ và ( ) 0' =xf chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I + Nếu ( ) ' 0,f x x I≤ ∀ ∈ và ( ) 0' =xf chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = -x4 + 4x2 – 3 c) 1 2 x y x + = − d) 2 75 2 − +− = x xx y e) 3 2 xy = f) ( ) π 2x0 sin2 <<−= xxy g) y = x – ex Bài 2. . Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 1 231 3 2 3 +−+−−= xmxm mx y luôn luôn đồng biến trên tập xác đònh VẤN ĐỀ II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khái niệm cực trị của hàm số 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: 3. Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số: a. Quy tắc 1: + Tìm ( ) xf ′ . + Tìm các xi (i = 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm. + Xét dấu ( ) xf ′ . Nếu ( ) xf ′ đổi dấu khi x đi qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại x i b. Quy tắc 2: +Tính ( ) xf ′ . + Tìm các nghiệm xi (i = 1,2,…) của phương trình ( ) 0= ′ xf . + Tìm ( ) xf ′′ và tính ( ) i xf ′′ . * Nếu ( ) 0 i f x ′′ < thì hàm số đạt đại tại điểm xi * Nếu ( ) 0 i f x ′′ > thì hàm số đạt tiểu tại điểm xi GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krông Bông II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Dùng quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = 3x2 – 2x3 b) 3 2 2 4 +−= x x y c) 2 1 2 − −− = x xx y d) 3 152 2 − −− = x xx y Bài 2. Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = x4 – 2x2 + 3 b) y = 3x5 – 125x3 + 2160x c) y = sin2x – x Bài 3. Định m để hàm số 1 2 2 − +− = x mxx y có cực đại và cực tiểu (ĐS m < 3) Bài 4. Định a, b để hàm số bax x y +−= 2 4 2 đạt cực trị bằng -2 tại x = 1 Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá 2 3 2 1 1 mx mx m y x + + + = − (m laø tham soá) có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái dấu VẤN ĐỀ III: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa 2. Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [ ] ;a b +Tìm các 1 2 , , , n x x x thuộc đoạn ( ) ;a b tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. + Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , , , n f x f x f x f a f b . + So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn [ ] ;a b , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn [ ] ;a b . II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm só : a) 22 2 −+= xxy b) , 1 2 x xx y ++ = trên ( ) 0;∞− c) 52 24 +−= xxy trên [-3;2] d) 2 100 xy −= trên [-8;6] e) y = x 2 .ex trên [-3;2] f) 1sinsin 1sin 2 ++ + = xx x y VẤN ĐỀ IV: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số y = f(x) GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krơng Bơng 1. Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x x x x x f x f x f x f x − − + + → → → → = +∞ = −∞ ⇒ = +∞ = −∞ đường thẳng x = x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= . 2. Nếu ( ) ( ) 0 0 lim lim x x f x y f x y →+∞ →−∞ = ⇒ = đường thẳng y = y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x= . II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm các tiệm cận của các đường cong sau: a) 1 52 − − = x x y b) 3 5 3 2 x y x + = + c) 2 5 1 x y x + = + d) 3 3 2 x y x − + = − VẤN ĐỀ V: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Xét sự biên thiên của hàm số. a. Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực (nếu có) của hàm số. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng. 3. Vẽ đồ thị của hàm số + Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có) + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ II. MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ. Bài tốn 1. Giao điểm của hai đồ thị Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thò (C1) và (C2). Hãy tìm các giao điểm của (C1) và (C2). Cách giải: * Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có nghiệm x0 * Thay x 0 vào một trong hai hàm số ta có y 0 . * Tọa độ giao điểm là M(x 0 ,y 0 ). Nhận xét: Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm phương trình f(x) = g(x) . 2. Sự tiếp xúc của hai đường cong GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krơng Bơng Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x = = có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong đó. Giả sử hai hàm số lần lượt có hai đồ thò (C1) và (C2). Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến. Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết: 1) Đường thẳng d tiếp xúc (C) tại M(x0;y0). Cách giải: Tìm f’(x) và áp dụng công thức tiếp tuyến: y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ). 2) Đường thẳng d có hệ số góc k. Cách giải: Giải phương trình f’(x) = k có nghiệm x0 là hoành độ tiếp điểm áp dụng câu 1) 3) Đường thẳng d đi qua A(xA;yA). Cách giải: * Viết phương trình đường thẳng d qua A là: y = k(x – xA) + yA * Điều kiện để d tiếp xúc (C) là hệ: = +−= k)x('f y)xx(k)x(f AA Phải có nghiệm và nghiệm chính là hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hàm số: y = 2 3 2 x x − + 1) Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số 2) Tìm m đđể đường thẳng y = -x + m cắt đồ thò (C) tại hai điểm phân biệt.ø Bài 2: Cho hàm số: y = -x3 - 3x2 + 2. 1)Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số. 2)Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của phương trình: x3 +3x2 + 1 + m = 0 (1). 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là nghiệm phương trình y’’ = 0. Bài 3: Cho hàm số f(x) = 2 2 x x − + 1) Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số 2)Tìm điểm thuộc đồ thò có toạ độ nguyên Bài 4: Cho hàm số y= x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 . (Cm), m là tham số 1)Khảo sát và vẽ đồ thò (C1) của hàm số khi m=1 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 1). 3)Tìm m để đồ thò của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt ; GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krông Bông PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT A. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Các kiến thức cần nhớ: 1) Hàm số mũ y = ax: - TXĐ: R, ax > 0 với mọi x. - Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1. - Các tính chất của lũy thừa. 2) Dạng cơ bản: )x(glog)x(f 0)x(g,1a0 )x(ga );x(g)x(f 1a0 aa a )x(f)x(g)x(f =⇔ >≠< = =⇔ ≠< = < << ∨ > > ⇔> )x(g)x(f 1a0 )x(g)x(f 1a aa )x(g)x(f 3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ: - Đưa về cùng cơ số - Lôgarít hai vế (dạng: cba,ba )x(g)x(f)x(g)x(f == ) - Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình: a) 5 1 5.25.3 1x1x2 =− −− b) 2655 x1x1 =+ −+ c) 09.66.134.6 xxx =+− d) 016,0.25,62.1225 xxx =−− Bài 2: Giải các phương trình: a) 2 3 2.3 15 0 x x − − = b) 1 3 5 5 26 0 x x− − + − = c) 3 3.4 2.10 25 0 x x x − − = Bài 3: Giải các bất phương trình: a) 077.649 xx <−− b) 1x x 1x 1x 32.25,04 ++ − ≤ c) 0273.43 2x2x2 >+− ++ d) 06,1)4,0.(2)5,2( xx <+− B. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Kiến thức cơ bản: - Định nghĩa: y a axxlogy =⇔= - Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, 1a0 ≠< . Tập giá trị: R - Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 1a0 ≠< - Các công thức biến đổi: 1alog a = 01log a = xa xlog a = GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krơng Bơng loga(b1.b2)= loga|b1| + loga|b2| 1 1 2 2 log log log a a a b b b b = − blog.clogblog caa = alog 1 blog b a = c a c log b log b log a = α α a a log b log |b|= 1 log log α a a b b α = - Phương trình và bất phương trình cơ bản: >= ≠< ⇔= 0)x(g)x(f 1a0 )x(glog)x(flog aa >> > << << ⇔> 0)x(g)x(f 1a )x(g)x(f0 1a0 )x(glog)x(flog aa - Phương pháp giải thường dùng: + Đưa về cùng cơ số + Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản. Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình: a) log 2 (x 2 + 3x + 2) + log 2 (x 2 + 7x + 12) = 3 + log 2 3 b) log 3 (2 - x) - log 3 (2 + x) - log 3 x + 1 = 0 c) 3 2 1 log( 8) log( 4 4) log(58 ) 2 x x x x+ − + + = + d) 2 2 1 2 log ( 1) log ( 1)x x− = − Bài 2: Giải các phương trình: a) 3 4 12 log log logx x x+ = b) 2 3 6 log log logx x x+ = Bài 4: Giải các bất phương trình: a) log 3 (x + 2) > log 81 (x+2) b) 2) 4 1 x(log x ≥− c) 15 2 3 < − x x log d) 13 2 3 >− − )x(log xx PHẦN III . : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM A.KI Ế N TH Ứ C C Ầ N NH Ớ 1. Đònh nghóa: Hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F được gọi là của f trên K nếu '( ) ( ),F x f x x K= ∀ ∈ . Chú ý ( ) ( )f x dx F x C= + ∫ : Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K. 2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: 1) 0dx C= ∫ ; ∫ += Cxdx 2) 1 . ( 1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krơng Bơng 3) ln . ( 0) dx x C x x = + ≠ ∫ 4) Với k là hằng số khác 0. a. cos sin kx kxdx C k = − + ∫ ; b. sin cos kx kxdx C k = + ∫ ; c. kx kx e e dx C k = + ∫ ; d. (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ ; 5) a. 2 1 tan cos dx x C x = + ∫ ; b. 2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ . 3. Các phương pháp tính nguyên hàm a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè: [ ] [ ] ( ) '( ) ( )f u x u x dx F u x C= + ∫ a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần: .udv u v vdu= − ∫ ∫ BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1. 3 2 ( ) 2 3 2f x x x x= − + − ; 2. 2 ( ) 3 3f x x x x= + + + ; 3. ( ) sin 2cos( 1) 3f x x x= + + + ; 4. 2 2 1 ( ) 3 x f x x x + = + + ; 5. 3 2 ( ) (2 1) 5f x x x x= + + + ; 6. 5 ( ) sin .cosf x x x= ; 7. ( ) .sinf x x x= ; 8. 2 ( ) .sinf x x x= ; 9. 2 ( ) .cosf x x x= ; II. TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= − ∫ 2. Tính chất Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có: 1) ∫ a a dx)x(f = 0; 2) ∫ a b dx)x(f = - ∫ b a dx)x(f ; 3) ( ) b a f x dx ∫ + ( ) c b f x dx ∫ = ( ) c a f x dx ∫ ; 4) ∫ ± b a dx)]x(g)x(f[ = ∫ b a dx)x(f ± ∫ b a dx)x(g ; 5) ∫ b a dx)x(f.k = k. ∫ b a dx)x(f ; k R∈ 2. Các phương pháp tính tích phân a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè: [ ] ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) u b b a u a f u x u x dx f u du= ∫ ∫ a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần: ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) | ( ) '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krơng Bơng ∫ 3 1. (x + 11) dx ; 2. ∫ x x 3 e (3e +1) dx ; 3. ∫ 2 2 2 1 3x + x dx x ; ∫ 3 1 4. (x + 4)dx ; ∫ 2 -2 5. x(x - 1)dx ; 6. ∫ 1 2 x 0 (x + e )dx ; . Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: π π ∫ - 1. (2sinx - cosx)dx ; π ∫ 3 2 0 1 2. (sinx + )dx cos x ; 3. π ∫ 4 0 cosx(1 + 2tgx)dx ; π π ∫ 3 4 2 6 1 - sin x 4. dx sin x ; π ∫ 2 0 cos2x 5. dx sinx + cosx ; π ∫ 2 4 0 x 6. cos dx 2 . π ∫ 2 4 0 7. tg xdx ; π π ∫ 4 2 2 6 dx 8. cos xsin x ; ∫ 5 9. sin xcosxdx ; Bài 3. Tính các tích phân sau ∫ 2 1. 2x x + 1dx ; ∫ 2 3 2. 5x x - 1dx ; ∫ 2 3 3x + 1 3. dx x + x + 2 ; ∫ 2 4x + 2 4. dx x + x ; ∫ 2 2 0 3 3 3x 5. dx 1 + x ; ∫ 2 2 1 2x - 1 6. dx x - x + 6 ; Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau π ∫ 0 1. xsinxdx ; π ∫ 0 2. xcosxdx ; ∫ e 1 3. xlnxdx ; ∫ 2 x 1 4. xe dx ; π ∫ 2 0 5. (x + 1)sin3xdx ; π ∫ 2 0 6. xsin xdx ; π ∫ 2 0 7. xcos xdx ; π π ∫ 3 2 4 xdx 8. sin x ; III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG a. Hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ] ;a b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số ( )y f x= , trục hoành và đường thẳng ,x a x b= = là | ( )| b a S f x dx= ∫ b. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số ( )y f x= , ( )y g x= liên tục trên đoạn [ ] ;a b và hai đường thẳng ,x a x b= = là: | ( ) ( ) | b a S f x g x dx= − ∫ 2. THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ Hàm số ( )y f x= liên tục, không âm trên đoạn [ ] ;a b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số ( )y f x= , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b= = , quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là: 2 ( ) b a V f x dx π = ∫ BÀI TẬP ÁP DỤNG. GV son: Dip Quc Quang C rm Krụng Bụng Baứi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = 2 - x 2 với đờng thẳng (d): y = x. Baứi 2. Cho hàm số y = ( ) 3 x 1+ (C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và phơng trình tiếp tuyến của nó tại A(0,1). Baứi 3. Cho hàm số y = 3x 5 2x 2 + + (C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các trục Ox; Oy và đờng thẳng x = 2. Baứi 4 Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = 2x - x 2 , y = 0 khi ta quay quanh:Trục Ox. Baứi 5 Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi : y = x xe , x = 1 và y = 0 ( 0 x 1 ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox. PHN IV: S PHC A. KIN THC CN NH 1. Tp hp s phc: C 2. S phc (dng i s) : z = a + bi (a, b R , i l n v o, i2 = -1); a l phn thc, b l phn o ca z z l s thc phn o ca z bng 0 (b = 0) z l phn o phn thc ca z bng 0 (a = 0) 3. Hai s phc bng nhau: a + bi = a + bi )',',,( ' ' Rbaba bb aa = = 4. Biu din hỡnh hc : S phc z = a + bi (a, b )R c biu din bi im M(a ; b) hay bi );( bau = trong mp(Oxy) (mp phc) y M(a+bi) 0 x 5. Cng v tr s phc : . (a + bi) + (a+ bi) = (a + a) + (b + b)i . (a + bi) (a + bi) = (a a) + (b b)i (a, b, a, b )R S i ca z = a + bi l z = -a bi (a, b )R z biu din u , z biu din 'u thỡ z + z biu din bi + 'uu v z z biu din bi 'uu 6. Nhõn hai s phc : (a + bi)(a + bi) = (aa-bb) + (ab + ba)i (a, a, b, b )R . 7. S phc liờn hp ca s phc z = a + bi l biaz = a) '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+= GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krông Bông b) z là số thực zz =⇔ ; z là số ảo zz −=⇔ 8. Môđun của số phức : z = a + bi a) OMzzbaz ==+= 22 b) 00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz c) Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''. 9. Chia hai số phức : a) Số phức nghịch đảo của z (z )0≠ : z z z 2 1 1 = − b) Thương của z’ chia cho z (z )0≡ : zz zz z zz zz z z '' ' ' 2 1 === − c) Với z .' ' ,0 wzzw z z =⇔=≠ , z z z z z z z z ' ' , '' == 10. Phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A 0 ≠ ). 2 4b ac∆ = − B. BÀI TẬP Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (1 + i)2 – (1 – i)2 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 d) i i i i − − + − 2 1 3 Bài 2: Tìm z a) i i z i i + +− = − + 2 31 1 2 b) 1 [(2 ) 3 ]( ) 0 2 i z i iz i − + + + = Bài 3: Phân tích ra thứa số : a) a 2 + 1 b) 2a 2 + 3 c) 4a 4 + 9b 2 Bài 4: Thực hiện phép tính : a) i21 3 + b) i i − + 1 1 c) mi m d) aia aia − + e) )1)(21( 3 ii i +− + f) 22 22 )2()23( )1()21( ii ii +−+ −−+ Bài 5: Giải các phương trình sau trong C. a) 01.3 2 =+− xx b) 02.32.23 2 =+− xx c) x2 – 3x + 4 = 0 d) x2 – x + 3 = 0 [...]... Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết A(2; -1 ; 3), B(0; 1; -1 ), C (-1 ; 2; 0), D’(3; 2; -1 ) Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ĐS: D(1; 0; 4), A’(4; 1; - 2), B’(2; 3; -6 ), C’(1; 4; -5 ) Bài 3: Cho tam giác ABC biết A(2; 1; 3), B(1; -1 ; 1), C(4; 5; -5 ) 1) Xác đònh toạ độ của D để ABCD là hình bình hành 2) Xác đònh toạ độ trọng tâm ABC ĐS: 1) D(5; 7; -3 ) 2) Gọi G là trọng tâm ĐS: 7 5 1 G ; ;... B(2; -1 ; 0), C (-2 ; 3; -1 ) và M(x; y; z) Tìm điều kiện để A, B, C, M đồng phẳng uuu uuu uuuu r r r AB, AC AM = 0 ĐS: 19x + 17y – 8z – 21 = 0 HD: Tìm điều kiện Bài 3: Cho bốn điểm A(3; -1 ; 6), B (-1 ; 7; -2 ), C(1; - 3; -2 ), D(5; 1; 6) 1) Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện uuu uuu r r 2) Tính góc giữa hai vectơ AB, CD Bài 4: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D (-2 ; 1; -1 )... r r uuu uuu r r BC ; BD ⇒ vtpt BC , BD = ( 12; −10; −6) b) - mp(BCD) qua B(1; 6; 2) có cặp vtcp - pt mp(BCD): 6x + 5y + 3z -4 2 = 0 uuu r c) - Mặt phẳng qua A(5; 1; 3) vuông góc với BD có vtpt BD = (3; −6; 4) - pt: 3x – 6y + 4z -2 1 = 0 uuu uuu r r uuu uuu r r AB; CD ⇒ vtpt AB, CD = (10;9;5) d) - mp qua A, B và song song với CD có cặp vtcp - pt: 10x + 9y +5z – 74 = 0 Dạng 2: Phương trình... HD: - Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, pt của (P): 4x – 3y – 12z + D = 0, D ≠ 1 - Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) bán kính R = 4 - Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu khi d ( I ;( P) ) = R ⇔ 4.1 − 3.2 − 12. 3 + D 16 + 9 + 144 D = 90 =4⇔ D = −14 - (P): 4x – 3y – 12z + 90 = 0; (P): 4x – 3y – 12z – 14 = 0 Bài 4: Lập pt mặt cầu có tâm I(1; 4; -7 ) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 6x + 6y –7z + 42 = 0 HD : - Bán... c) Mặt cầu có tâm là trung điểm AB, bán kính R = AB 2 Bài 3: Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A(1; -2 ; -1 ), B (-5 ; 10; -1 ), C(4; 1; 1), D (-8 ; -2 ; 2) HD: - Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu Ta có IA = IB = IC = ID ⇔ IA 2 = IB2 = IC2 = ID 2 2 2 2 62 74 133 252975 - ĐS: x + ÷ + y - ÷ + z ÷ = 21 21 7 441 Bài 4: Cho mặt cong (Sm): x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m =... N ; ; ÷ - Tọa độ N là nghiệm của hpt x = y = z 7 7 7 2 4 1 M P x-3 y-2 z-1 = = - MN là đường thẳng cần tìm PT của MN: 11 -6 2 x = 1 + 2t x = 1 − t' 3) Cho hai âỉåìng thàóng ∆1 : y = 3 − 2t ; ∆ 2 : y = 2 + t' , chéo nhau và M0(1; 0; 5) Viết z = 1 + t z = 1 − 3t' d phương trình đường thẳng d qua M0 và vuông góc với hai đường thẳng ∆1 và ∆u2 r HD: - Đường thẳng d vuông góc với... hình trụ cùng với phần bên trong của nó 4 Các công thức Công thức tính diện tích S =2πRh ; xq STP = Sxq + S2đáy = 2 πR.(h +R) Công thức tính thể tích Chú ý: V’ = Sxq V=πR 2 h B MẶT NÓN 1 Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ cắt l nhưng không vuông góc với l - Đường thẳng ∆ là trục - Giao điểm O của l và ∆ gọi là đỉnh - Hai lần góc hợp bởi l và ∆ gọi là góc ở đỉnh... (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) không trùng với A, điểm M P · chạy trên (P) sao cho · ABM = BMH Chứng minh M nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là AB HD: Dựng MK vuông góc với AB Chứng minh MK = BH Dạng 2: Thi t diện của một mặt phẳng với mặt trụ - Thi t diện vuông góc với trục là một đường tròn K H A M GV soạn: Diệp Quốc Quang – Cư Đrăm – Krơng Bơng - Thi t diện qua trục hoặc song song với trục... đoạn vuông góc chung của AB và OO’; IH = OK Dạng 3: Thi t diện của một mặt phẳng với mặt nón - Thi t diện vuông góc với trục là một đường tròn - Thi t diện qua đỉnh cắt hình nón theo hai đường sinh là một tam giác cân có đỉnh là đỉnh của hình nón 9) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a A' a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ có B' O' đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông... của ∆1 và ∆ 2 r HD: - ∆1 qua M1(2 ;-1 ;2) có vtcp u1 = ( 0; −1; 1) r - ∆ 2 qua M2(11; 0; 1) có vtcp u 2 = ( 4; 1; 1) r r r r r - Gọi u = u1; u 2 , (P) là mp chứa ∆1 có cặp vtcp u; u1 - Viết phương trình của (P) - Tìm giao điểm M của ∆ 2 với (P) r u2 d u u1 M M1 ∆1 P r r - Viết của d qua M có vtcp u = u1; u 2 9) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 1; 1) v vuông góc với giao tuyến . bản: - Định nghĩa: y a axxlogy =⇔= - Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, 1a0 ≠< . Tập giá trị: R - Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 1a0 ≠< - Các công. của OO’ Có HI là đoạn vuông góc chung của AB và OO’; IH = OK Dạng 3: Thi t diện của một mặt phẳng với mặt nón - Thi t diện vuông góc với trục là một đường tròn. - Thi t diện qua đỉnh cắt hình. ABCD.A’B’C’D’. Biết A(2; -1 ; 3), B(0; 1; -1 ), C (-1 ; 2; 0), D’(3; 2; -1 ). Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp. ĐS: D(1; 0; 4), A’(4; 1; - 2), B’(2; 3; -6 ), C’(1; 4; -5 ) Bài 3: Cho tam giác