de thi hsg lop 8 bach lieu(09-10) vong 2

®Ò thi häc sinh giái Trêng THCS B¹ch Liªu n¨m häc 2009-2010 M«n: To¸n 8 – vßng 2 - Thêi gian 120 phót C©u 1: Giải các phương trình: a. x 3 - 2x 2 – x + 2 = 0 b. (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 1) = 12 c. 6 18 2 1 5 ( 5)(8 ) 8 x x x x x + + = − − − − − Câu 2: Hai vòi nước chảy vào bể thì bể sẽ đầy trong 3 giờ 20 phút . Người ta cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được 4 5 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 a. So sánh a, b, c với 1 b. Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 < 2 - 2abc Câu 4: Cho các số dương a và b thoả mãn 2 2 1 1 1 2a b + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của: a. M = ab b. N = a + b Câu5: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo . Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh CD sao cho ˆ 45 o EOF = . Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: a. FOD OEB∆ ∆: b. FD.BE=2BI 2 c. IE song song với AF ®Ò thi häc sinh giái Trêng THCS B¹ch Liªu n¨m häc 2009-2010 M«n: To¸n 8 – vßng 2 - Thêi gian 120 phót C©u 1: Giải các phương trình: a. x 3 - 2x 2 – x + 2 = 0 b. (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 1) = 12 c. 6 18 2 1 5 ( 5)(8 ) 8 x x x x x + + = − − − − − Câu 2: Hai vòi nước chảy vào bể thì bể sẽ đầy trong 3 giờ 20 phút . Người ta cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được 4 5 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 a. So sánh a, b, c với 1 b. Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 < 2 - 2abc Câu 4: Cho các số dương a và b thoả mãn 2 2 1 1 1 2a b + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của: a. M = ab b. N = a + b Câu5: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo . Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh CD sao cho ˆ 45 o EOF = . Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: a. FOD OEB∆ ∆: b. FD.BE=2BI 2 c. IE song song với AF Hướng dẫn và biểu điểm chấm toán 8- vòng 2 C©u Néi dung §iÓm A B D C I O E F C©u 1 (2.0® a 1® Kết quả: x=1; x=-1; x=2 1.0 b 0. 5® Đặt x 2 +x+1= y.Ta có: y(y+1)=12 ⇔ y 2 +y -12 =0 ⇔ (y+4)(y-3) = 0 ⇔ 3 4 y y =   = −  0.25 Với y=3 ta được 1 2 1; 2x x= = − Với y= -4 ,vô nghiệm 0.25 C 05 ® ĐK: 5; 8x x≠ ≠ 0.25 Kết quả: x=0 x = 5 (loại) 0.25 C©u2 (2.0®) 3giờ 20 phút = 10 3 h Gọi lượng nước vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ là x (dung tích bể) (x>0) . Trong một giờ vòi hai chảy được 3 10 -x (bể) PT: 3x+2( 3 10 -x) = 4 5 1,0 Giải được x = 1 5 . Khi đó vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể , vòi thứ hai : 10 giờ 1,0 C©u 3 (1.5® a 1® Giả sử a b c ≥ ≥ . Ta có: a<b+c ⇒ 2a <a+b+c=2 0.5 ⇒ a<1 ⇒ b< 1 , c<1 0.5 b 05 ® Từ câu a,suy ra: (1-a)(1-b)(1-c)>0 ⇒ ab+bc+ca>1+abc(1) 0.5 Mà (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ca) ⇒ 4= a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ca) (2) T ừ (1) v à (2) ⇒ 4> a 2 +b 2 +c 2 +2(1+abc) ⇒ a 2 +b 2 +c 2 +2abc<2 Hay a 2 +b 2 +c 2 < 2-2abc 0.5 C©u 4 1.5 ® a Ta cã: 2 2 1 1 1 2 4 ( 0; 0) 2 ab a b a b ab = + ≥ ⇒ ≥ > > ⇒ Min M=4khi a = b =2 1.0 b Ta cã(a+b) 2 ≥ 4ab ≥ 16 (áp dụng câu a) Do a+b>0 nên ta có min N=4 khi a = b = 2 0.5 C©u 5 3.0 ® a 1® 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ( 45 ) (1) ˆ ˆ ˆ 135 ( 45 ) ˆ ˆ ˆ 135 ( 45 ) ˆ ˆ (2) ODF OBE DOF BOE vi EOF OEB BOE vi OBE DOF OEB = = + = = + = = ⇒ = T ừ (1) và (2) suy ra ( )FOD OEB gg∆ ∆: 1.0 b 1® T ừ ( )FOD OEB gg∆ ∆: ⇒ FD OD OB BE = ⇒ FD.BE=OB.OD=OB 2 =OI 2 +IB 2 =2BI 2 1.0 c 1® 1.0 FD.BE = 2BI.BI=AD.BI ⇒ F ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ F FD BI A D EIB cgc AD BE A D EIB ma AFD IAF = ⇒ ∆ ∆ ⇒ = = : ˆ ˆ / /EIB IAF IE AF⇒ = ⇒ (Mäi c¸ch gi¶i kh¸c ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a) . a 2 +b 2 +c 2 +2( ab+bc+ca) (2) T ừ (1) v à (2) ⇒ 4> a 2 +b 2 +c 2 +2( 1+abc) ⇒ a 2 +b 2 +c 2 +2abc< ;2 Hay a 2 +b 2 +c 2 < 2- 2abc 0.5 C©u 4 1.5 ® a Ta cã: 2 2 1 1 1 2 4 ( 0; 0) 2 ab a b a b ab =. ®Ò thi häc sinh giái Trêng THCS B¹ch Liªu n¨m häc 20 09 -20 10 M«n: To¸n 8 – vßng 2 - Thêi gian 120 phót C©u 1: Giải các phương trình: a. x 3 - 2x 2 – x + 2 = 0 b. (x 2 + x + 2) (x 2 + x. y(y+1)= 12 ⇔ y 2 +y - 12 =0 ⇔ (y+4)(y-3) = 0 ⇔ 3 4 y y =   = −  0 .25 Với y=3 ta được 1 2 1; 2x x= = − Với y= -4 ,vô nghiệm 0 .25 C 05 ® ĐK: 5; 8x x≠ ≠ 0 .25 Kết quả: x=0 x = 5 (loại) 0 .25 C©u2 (2. 0®) 3giờ