dạo chơi bất đẳng thức

DẠO CHƠI BẤT ĐẲNG THỨC * 1. Cho x,y là 2 số dương thỏa x+y =1. Tìm GTNN của A=x 2 +y 2 HD:  x 2 +m 2 ≥2mx và y 2 +m 2 ≥2ym (m>0)  Suy ra x 2 +y 2 +2m 2 ≥2m(x+y)=2m  Suy ra A=x 2 +y 2 ≥2m−2m 2  Dấu “=” xảy ra khi x=y=m tức là x=y=m=1/2  Vậy GTNN củaA là ½ khi x=y=1/2 2. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm GTNN của A=x 2 +y 2 +z 2 HD:  x 2 +m 2 ≥2mx , y 2 +m 2 ≥2ym , z 2 +m 2 ≥2mz (m>0)  Suy ra x 2 +y 2 +z 2 +3m 2 ≥2m(x+y+z)=2m  Suy ra A=x 2 +y 2 +z 2 ≥2m−3m 2  Dấu “=” xảy ra khi x=y=m tức là x=y=z=m=1/3  Vậy GTNN củaA là 1/3 khi x=y=1/3 3. Cho x,y là 2 số dương thỏa x+y =1. Tìm GTNN của A=4x 2 +y 2 HD:  4x 2 +m 2 ≥4mx và y 2 +n 2 ≥2yn (m>0,n>0)  Suy ra 4x 2 +y 2 +m 2 +n 2 ≥4mx+2ny  Ta chọn m,n sao cho 4m=2n (n=2m)  Suy ra A=4x 2 +y 2 ≥4m(x+y)−m 2 −n 2 =4m−5m 2  Dấu “=” xảy ra khi 2x=m và y=n=2m tức là 5 1 2 2 2 m m x y m= + = + = 2 4 , 5 5 m n⇒ = =  Vậy GTNN của A là : 2 8 4 4 4 5 5. 5 25 5 m m− = − = khi 1 4 , 5 5 x y= = 4. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm GTNN của A=4x 2 +y 2 +z 2 HD:  4x 2 +m 2 ≥4mx, y 2 +n 2 ≥2yn, z 2 +p 2 ≥2pz (m>0,n>0,p>0)  Suy ra 4x 2 +y 2 +z 2 +m 2 +n 2 +p 2 ≥4mx+2ny+2pz  Ta chọn m,n,p sao cho 4m=2n=2p (n=p=2m)  Suy ra A=4x 2 +y 2 +z 2 ≥4m(x+y+z)−m 2 −n 2 −p 2 =4m−9m 2  Dấu “=” xảy ra khi 2x=m và y=z=2m tức là 9 1 4 2 2 m m x y z m= + + = + = 2 4 , 9 9 m n p⇒ = = =  Vậy GTNN của A là : 2 8 4 4 4 9 9. 9 81 9 m m− = − = khi 1 4 , 9 9 x y z= = = 5. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Cho 3 số dương a,b,c. Tìm GTNN của A=a 2 x 2 +b 2 y 2 +c 2 z 2 HD:  2 2 2 a x m 2amx+ ≥ , 2 2 2 b y n 2bny+ ≥ , 2 2 2 c z p 2cpz+ ≥ ( ) m 0,n 0,p 0> > >  Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x b y c z m n p 2amx 2bny 2cpz + + + + + ≥ + +  Ta chọn m,n,p sao cho am bn cp= =  Suy ra 2 2 2 2 2 2 A a x b y c z= + + ( ) 2 2 2 2am x y z m n p≥ + + − − − 2 2 2 2 2 1 1 1 2am a m a b c   = − + +  ÷    Đặt 2 2 2 1 1 1 M a b c = + + 2 2 2A am Ma m⇒ ≥ − Dấu “=” xảy ra khi 2 2 , , 1 1 m n p x y z a b c m n p x y z a b c m am am amM a b c = = = = + + = + + ⇒ = + + =  Vậy : 2 1 1 ,m x aM a M = = 2 1 1 ,n y bM b M = = 2 1 1 ,p z cM c M = =  Vậy GTNN của A là : 2 2 1 1 A M M M M = − = 6. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm GTNN của A=x 3 +y 3 +z 3 . HD:  m>0  3 3 3 3 3 3 3 2 3 3x m m m m x m x+ + ≥ = 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3y m m m m y m y+ + ≥ = 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3z m m m m z m z+ + ≥ = Suy ra 3 3 3 3 2 2 x y z 6m 3m (x ) 3y z m + + + ≥ + + + =  Suy ra 2 3 A 3m 6m≥ −  Dấu “=” xảy ra khi 1 3 x y z m= = = =  Vậy GTNN của A là : 3 1 1 3 3 9 A   = =  ÷   7. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Cho 3 số dương a,b,c. Tìm GTNN của A=a 3 x 3 +b 3 y 3 +c 3 z 3 . HD:  m>0, n>0, p>0  3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3a x m m m m a x m ax+ + ≥ = 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3b y n n n n b y n by+ + ≥ = 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3c z p p p p c z p cz+ + ≥ = Suy ra 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a x y z 2m 2 2 3m 3 3 b c n p ax n by p cz + + + + + ≥ + +  Chọn m,n,p sao cho m 2 a=n 2 b=p 2 c  Suy ra 2 3 3 3 A 3m ( ) 2( )a x y z m n p≥ + + − + + 2 3 3 3 A 3m 2( )a m n p⇒ ≥ − + +  Dấu “=” xảy ra khi , , m n p x y z a b c = = = 1 m n p x y z a b c ⇒ = + + = + + 1 m m a m a a b b c c ⇒ = + + 1 1 1 1 m a a a b b c c   ⇒ = + +  ÷    Đặt 1 1 1 M a a b b c c = + + ta được: 1 m aM= 1 1 ,m x M a Ma a ⇒ = = 1 1 , 1 1 , n y M b Mb b p z M c Mc c = = = =  Vậy GTNN của A là : 3 3 3 1 1 1 A M a a M b b M c c = + + 3 2 1 1 1 1 1 A M M a a b b c c   = + + =  ÷   8. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là BC=a, CA=b, AB=c. Điểm M ở miền trong hoặc trên cạnh của tam giác ABC. Gọi x=d(M,BC), y=d(M,CA), z=d(M,AB). Chứng minh ax+by+cz không thay đổi. Tìm GTNN, GTLN của f=x+y+z. HD:  Diện tích ABC bằng tổng diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB suy ra ax by cz 2 2 ( )( )( )S p p a p b p c+ + = = − − −  Đặt 1 1 1 1 1 1 min , , , max , ,t T a b c a b c     = =  ÷  ÷      Ta có : 1 1 1 f x y z ax by cz a b c = + + = + + ( ) 2f tax tby tcz t ax by cz St≥ + + = + + = Xét dấu “=” xảy ra : • Nếu t=1/a thì chọn y=z=0 và x=2S/a (M trùng với điểm A) • Nếu t=1/b thì chọn x=z=0 và y=2S/b (M trùng với điểm B) • Nếu t=1/c thì chọn x=y=0 và z=2S/c (M trùng với điểm C) Giá trị nhỏ nhất của f là 2St  Tương tự, giá trị lớn nhất của f là 2ST. 9. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Tìm GTLN của A=x n +y n +z n (n>1) HD:  Do 0≤x≤1 và n>1 nên x n ≤x  Tương tự với x,y,z.  A≤x+y+z=1  Dấu “=” xảy ra khi x=1 hoặc y=1 hoặc z=1  A lớn nhất là 1. 10. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTLN của A=ax n +by n +cz n (n>1) HD:  Gọi T là max(a,b,c)  Do 0≤x≤1 và n>1 nên ax n ≤ax≤Tx  Tương tự với x,y,z.  A≤T(x+y+z)=T  Dấu “=” xảy ra khi (T=a,x=1,y=z=0), (T=b,y=1,x=z=0), (T=c,z=1,x=y=0) Tóm tắt kết quả 10 bài BĐT 1-10  Xét GTNN và GTLN của: q q q f ax by cz= + + (q nguyên dương và n>1) trong đó x,y,z là các số dương thay đổi thỏa x y z 1+ + = a,b,c là các hằng số dương.  Với GTNN ta chặn f≥g(a,b,c) bằng cách xét từng phần và áp dụng BĐT Côsi: q 1 1 ax (q 1)m q q q q q q ax m qx am − − + − ≥ = q 1 1 by (q 1) q q q q q n q by n qy bn − − + − ≥ = q 1 1 cz (q 1)p q q q q q q cz p qz cp − − + − ≥ = Ta chọn m,n,p dương sao cho: 1 1 1q q n am bn cp t − − − = = = Suy ra các giá trị m,n,p là 1 1 1 1 1 1 , , q q q t t t m n p a b c − − −       = = =  ÷  ÷  ÷       Cộng vế các BĐT trên để có: ( 1)( )f qt q m n p≥ − − + + Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 1 ( 1) 1 1 1 q q q q q t t ax m x a a − − −   = = ⇒ =  ÷   1 1 ( 1) 1 1 1 q q q q q t t by n y b b − − −   = = ⇒ =  ÷   1 1 ( 1) 1 1 1 q q q q q t t cz p z c c − − −   = = ⇒ =  ÷   1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q q q q q x y z t a b c − − − −    ÷ = + + = + +  ÷   1 1 1 1 1 1 1 1 1 q q q M a b c − − − = + + ( 1) 1 q q t M −   =  ÷   1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , q q q x y z Ma Mb Mc − − − = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q q q q q f M M a b c − − − −    ÷ = + + =  ÷    Trường hợp riêng n 1, f ax by cz= = + + thì ( , , )f Max a b c≤ và ( , , )f Min a b c≥  Với GTLN ta có: ( , , )f ax by cz Max a b c≤ + + ≤ Bây giờ chúng ta mở rộng từng bước khi 0<q<1 11. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN, GTLN của f a x b y c z= + + HD:  ( , , ) f a x b y c z ax by cz Min a b c = + + ≥ + + ≥  Suy ra GTNN của f là Min(a,b,c) (xem lại các bài trước).  Dùng BĐT Bunhiacopski: 2 2 2 2 2 2 f a b c x y z a b c≤ + + + + = + + Dấu đẳng thức xảy ra khi y x z a b c = = GTLN của f là 2 2 2 a b c+ + Nếu không dùng BĐT Bunhiacopski thì giải thế nào? 12. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN, GTLN của f a x b y c z= + + (chúng ta thử giải bằng phương pháp chọn tham số) HD:  ( , , ) f a x b y c z ax by cz Min a b c = + + ≥ + + ≥  Suy ra GTNN của f là Min(a,b,c) (xem lại các bài trước).  ( ) 2 a a a x xm x m m m = ≤ +  ( ) 2 b b b y yn y n n n = ≤ +  ( ) 2 c c c z zp z p p p = ≤ +  2 2 2 2 2 2 c p ax by cz a m b n f m n p ≤ + + + + +  Ta chọn: 2 2 2 a b c t m n p = = = 2 a b c t m n p ⇒ = = = 2 2 2 2 4 a b c t m n p ⇒ = = =  Khi đó : 2 a m b n c p f t + + ≤ +  Dấu đẳng thức xảy ra khi , , 1x m y n z p m n p= = = ⇒ = + +  Mà 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a b c a b c t a b c m n p m n p + + = = = = = + + + + 2 2 2 2t a b c⇒ = + +  Tính m,n,p: 2 2 2 2 2 2 4 a a x m t a b c = = = + + 2 2 2 2 2 2 4 b b y n t a b c = = = + + 2 2 2 2 2 2 4 c c z p t a b c = = = + +  GTLN của f là: 2 2 2 f a x b y c z a b c= + + = + + 13. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN, GTLN của 3 3 3 f a x b y c z= + + . HD:  GTNN của f vẫn là Min(a,b,c)  Với GTLN, chúng ta giải như bài trước với chú ý ban đầu là: 3 3 3 2 3 2 ( 2 ) . . 3 a a x m a x x m m m m + = ≤  Kết quả : GTLN của f là 2 3 ( )a a b b c c+ + Ở bài 11 chúng ta có nói đến BĐT Bunhiacopski, nhân đây, sử dụng kiến thức THPT ta nêu một cách chứng minh “ngắn gọn” của nó: 14. Cho 2 dãy số (a n ) và (b n ) bất kỳ. Chứng minh 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . n n n n a b a b a b a a a b b b + + + ≤ + + + + + + HD:  Chứng minh cho n=3, mở rộng cho n≥2  Đặt 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; )a a a a a b b b= = r r  ( ) . . . cos , .a b a b a b a b= ≤ urr r r r r r r 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . a b a b a b a a a b b b + + ≤ + + + +  Dấu đẳng thức xảy ra khi ( ) cos , 1a b = ± r r tức là 1 2 3 1 2 3 : : : :a a a b b b= 15. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN, GTLN của 3 3 2 2 2 3 f a x b y c z= + + . HD:  3 2 3 2 3 3 (2 ) 3 a a x m a x x m m m + = ≤  2 2 3 3 3 3 (2 ) 3 b b y n b y y n n n + = ≤  3 2 2 3 3 3 (2 ) 3 c c z p c z z p p p + = ≤  Suy ra : 3 3 3 (2 ) (2 ) (2 ) 3 3 3 a x m b y n c z p f m n p + + + ≤ + +  Ta chọn: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 a b c t m n p = = = 3 3 3 3 2 t a b c m n p ⇒ = = = 3 3 3 3 3 3 3 27 8 t a b c a b c m n p m n p + + ⇒ = = = = + +  Khi đó: 3 3 3 ( ) 3 3 3 am bn cp f t x y z m n p ≤ + + + + + 3 2 3 2 2 3 3 a m b n c p f t + + ⇒ ≤ +  Dấu đẳng thức xảy ra khi: , , 1x m y n z p m n p= = = ⇒ + + = 3 3 3 3 3 3 3 27 8 t a b c a b c m n p + + ⇒ = = + + + + 3 3 3 3 3 2 t a b c⇒ = + +  Suy ra: 3 3 3 3 3 2 3 a a x m t a b c   = = =  ÷ + +   3 3 3 3 b y n a b c = = + + 3 3 3 3 c z p a b c = = + + 3 3 3 3 f a b c= + + Chúng ta thử nhìn lại một số BĐT đã ra thi TSĐH 16. (B-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 2 S 4x 3y 4y 3x 25xy= + + + HD:  Nhận xét: vai trò giống nhau (đối xứng) của x và y. S có dạng f(xy).  3 3 2 2 12( ) 16 34S x y x y xy= + + + 2 2 2 2 12( )( ) 16 34S x y x y xy x y xy⇒ = + + − + + 2 2 2 12( )(( ) 3 ) 16 34S x y x y xy x y xy⇒ = + + − + + 2 1 191 4 4 16 S xy   ⇒ = − +  ÷    Với x≥0, y≥0 và x+y=1 suy ra 2 1 0 2 4 x y xy +   ≤ ≤ =  ÷    Suy ra 1 1 3 4 4 4 4 xy− ≤ − ≤ 2 1 191 25 0 4 4 16 2 xy   ⇒ ≤ − + ≤  ÷    GTLN của S là 25 2 (khi 1 2 x y= = ) và GTNN của S là 0 (khi x=0, y=1) 17. (A-2007) Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z y z x z x y P y y z z z z x x x x y y + + + = + + + + + HD: 2 2 2 2 2 2 x x xyz y y xyz z z xyz P y y z z z z x x x x y y ≥ + + + + + 2 2 2 2 2 2 y y x x z z P y y z z z z x x x x y y ≥ + + + + + Đặt: 1 ( 2 4 ) 9 2 1 2 ( 2 4 ) 9 2 1 (4 2 ) 9 x x a b c a y y z z b z z x x y y a b c c x x y y z z a b c  = − + +   = +     = + ⇒ = − +     = +    = + −   Suy ra: 2 2 4 2 4 4 2 9 a b c a b c a b c P a b c − + + − + + −   ≥ + +  ÷   2 6 4 9 b a c c a b P a c b a b c       ≥ − + + + + + +  ÷           ( ) 2 6 4.3 3 2 9 P ≥ − + + = Dầu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 Đây là một bài toán hay nhưng chưa hẳn là khó! 18. (B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn 3 ( ) 4 2x y xy+ + ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 A 3 x y x y – 2 x y 1= + + + + HD:  3 ( ) 4 2x y xy+ + ≥ mà 2 ( ) 4x y xy+ >= suy ra 3 2 ( ) ( ) 2 1x y x y x y+ + + ≥ ⇒ + ≥  ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 A 3 x y x y – 2 x y 1= + + + + ( ) ( ) 4 4 4 4 2 2 2 2 3 A x y x y 2x y – 2 x y 1 2 = + + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 2 2 2 3 3 A x y x y – 2 x y 1 2 2 = + + + + + Mà: ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 ( )x y x y x y x y x y + = + − ≥ + − + ⇒ ( ) 2 4 4 2 2 1 2 x y x y+ ≥ + ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 A x y x y – 2 x y 1 4 2 = + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 9 A x y – 2 x y 1 4 = + + + Đặt ( ) 2 2 2 2 ( ) 1 , 2 2 x y t x y t + = + ≥ ≥ 2 9 A f(t)= – 2 1 4 t t= + . 9 9 f (t)= – 2 1 0 2 2 t ′ ≥ − > 1 9 ( ) 2 16 Min A f   = =  ÷   Bài toán trên sử dụng “tinh vi” các kỹ thuật biến đổi: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4 a b ab a b a b a b ab + ≥ + + ≥ + ≥ 19. (B-2007) Cho x,y,z là 3 số thực dương hay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +  ÷  ÷  ÷       HD: 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +  ÷  ÷  ÷       2 2 2 2 2 2 x y z x y z P yz zx xy = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z P xyz + + + + = + ( ) 2 2 2 1 1 2 P x y z xyz   = + + +  ÷   ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 P x y z xyz xyz   = + + + +  ÷   2 2 2 3 3 2 2 2 1 1 9 9 2 2 P x y z x y z ≥ = Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 GTNN của P là 9 2 20. (D-2007) Cho a≥b> 0. Chứng minh rằng : 1 1 2 2 2 2 b a a b a b     + ≤ +  ÷  ÷     HD: 1 1 2 2 2 2 b a a b a b     + ≤ +  ÷  ÷     ⇔ 1 1 ln 2 ln 2 2 2 b a a b a b     + ≤ +  ÷  ÷     ⇔ ln(4 1) ln2 ln(4 1) ln 2 a b a b a b + − + − ≤ ⇔ ln(4 1) ln(4 1) a b a b + + ≤ Đặt ln(4 1) ( ) x f x x + = , 2 4 ln4 ln(4 1) 4 1 ( ) x x x x f x x − + + ′ = 2 4 (ln4 ln(4 1)) ln(4 1) ( ) 0 (4 1) x x x x x f x x − + − + ′ = < + Vậy f nghịch biến trên R + 0<b≤a ⇒ f(a)≤f(b) . Bài toán được chứng minh Bài luyện tập thêm: Chứng minh 1) sin ( 0)x x x< > 2) 1 ( 0) x e x x> + > 3) ln( 1) ( 0)x x x+ < > sin 1 0 x x x e x< < − ∀ > ln( 1) 1 0 x x x e x+ < < − ∀ > 21. (A-2006) Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi và thoả mãn điều kiện ( ) 2 2 x y xy x y xy+ = + − Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 A x y = + HD: Xét ( ) 2 2 x y xy x y xy+ = + − Đặt 1 1 ,u v x y = = Ta được 2 2 1 1 1 1 1 x y y x xy + = + − 2 2 u v u v uv⇒ + = + − ( ) 2 2 3( ) ( ) 3 4 u v u v u v uv + ⇒ + − + = ≤ ( ) 2 4( ) 0 0 4u v u v u v⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤  3 3 2 2 3 3 3 3 ( )( )x y x y x y xy A x y x y + + + − = = 2 2 3 3 2 2 ( )( ) 2x y x y xy x y xy A x y x y + + + + ⇒ = = 2 2 2 1 1 2 ( ) 16A u v xy x y ⇒ = + + = + ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi u=v=2 tức là 1 2 x y= = 22. (B-2006) Cho x , y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 .A x y x y y= − + + + + + − HD: ( 1; ), ( 1; ), (2;2 )u x y v x y u v y= + = − + + = r r r r 2 2A u v y u v y= + + − ≥ + + − r r r r 2 2 1 2A y y≥ + + − (dấu đẳng thức xảy ra khi 2 véc tơ cùng hướng, x=0) Đặt 2 2 2 1 2 ( 2) ( ) 2 1 2 ( 2) y y y h y y y y  + + − ≥  =  + − + ≤   Khảo sát 2 ( ) 2 1 2 ( 2)f y y y y= + + − ≥ f đồng biến nên ( ) (2) 2 5f y f≥ = Khảo sát 2 ( ) 2 1 2 ( 2)g y y y y= + − + ≤ 2 2 2 1 ( ) 1 y y g y y − + ′ = + 2 0, 2 3 ( ) 0 2 3 1 2 y y g y y y y ≥ ≤   ′ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤  + ≤   3 ( ) 0 3 g y y ′ < ⇔ < Suy ra 3 ( ) 2 3 3 g y g   ≥ = +  ÷  ÷   ( ( )) (2 5;2 3) 2 3Min h y Min= + = + ( ) 2 3Min A = + khi x=0, 3 3 y = 23. (A-2005) Cho x,y,z là các số dương thoả mãn 1 1 1 4. x y z + + = Chứng minh rằng 1 1 1 1. 2x y z x 2y z x y 2z + + ≤ + + + + + + HD: Với a>0 và b>0 4 1 1 ( )( ) 4 a b a b a b ab a b ab a b + + + ≥ ⇒ ≤ = + + 1 1 1 1 1 1 2 8 4( ) 8 16 16x y z x y z x y z ≤ + ≤ + + + + + 1 1 1 1 2 16 8 16x y z x y z ≤ + + + + 1 1 1 1 2 16 16 8x y z x y z ≤ + + + + Cộng vế các BĐT suy ra: + + + + + + + + ≤ + + = 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z 1 1 1 1 4x 4y 4z 24. (B-2005) Chứng minh rằng với mọi x ∈ ¡ , ta có: 12 15 20 3 4 5 . 5 4 3 x x x x x x       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       Khi nào đẳng thức xảy ra?. HD: 12 15 12 15 2 . 2.3 5 4 5 4 x x x x       + ≥ =  ÷  ÷  ÷       15 20 15 20 2 . 2.5 4 3 4 3 x x x x       + ≥ =  ÷  ÷  ÷       20 12 20 12 2 . 2.4 3 5 3 5 x x x x       + ≥ =  ÷  ÷  ÷       Cộng vế rồi chia 2 vế cho 2: 12 15 20 3 4 5 . 5 4 3 x x x x x x       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       Dấu đẳng thức xảy ra khi x=0 25. (D-2005) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng : 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3. xy yz zx + + + + + + + + ≥ Khi nào đẳng thức xảy ra? HD: 3 3 2 1 3 3 3 x y xy xyz z xy xy xyz + + ≥ = = 3 3 1 3 y z x yz + + ≥ 3 3 1 3 z x y zx + + ≥ + + + + + + + + ≥ + + ≥ = 3 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x xy yz zx 3x 3y 3z 3 27xyz 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 26. (A-2003) Cho x,y,z là ba số dương và x+y+z 1≤ . Chứng minh rằng .82 111 2 2 2 2 2 2 ≥+++++ z z y y x x HD: 1 1 1 ; , ; , ;u x v y t z x y z       = = =  ÷  ÷  ÷       r r r u v t u v t+ + ≥ + + r r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) A x y z x y z x y z x y z = + + + + +   ≥ + + + + +  ÷   ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 81( ) 80( ) B x y z x y z x y z x y z x y z   = + + + + +  ÷     = + + + + + − + +  ÷   2 1 1 1 18( ) 80( )B x y z x y z x y z   >= + + + + − + +  ÷   2 3 3 1 18.9 80( )B xyz x y z xyz >= − + + 2 162 80( ) 162 80 82B x y z>= − + + ≥ − = 82A ≥ 27. Cho x,y.z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 p x y y z x y z z x y z x = + + + +   + + + +  ÷   HD: 3 3 3 3 3 3 4( ) 8 2x y x y xy+ ≥ = 3 3 3 4( ) 2y z yz+ ≥ 3 3 3 4( ) 2z x zx+ ≥ 2 2 2 2 2 2 2 x y z p xy yz zx y z x   ≥ + + + + +  ÷   3 3 1 6 12p xyz xyz   ≥ + ≥  ÷  ÷   Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 PHẦN NÀY CHÚNG TA NGHIÊN CỨU MỘT VÀI PHÁN ĐOÁN KHI GIẢI TOÁN BĐT * (tài liệu biên soạn có tham khảo sách Những viên kim cương trong BĐT Toán học, của thầy Trần Phương) A. Sự đối xứng các biến tham gia trong BĐT giúp ta dự đoán cực trị thường đạt khi các biến bằng nhau. 28. Cho x>0. Tìm GTNN của 1 f x x = + (xem x và 1/x là 2 biến của f) HD: 1 2 . 2, 2 1f x f x x ≥ = = ⇔ = Vậy GTNN của f là 2 29. Cho x>0. Tìm GTNN của 2 1 f x x = + HD: 3 2 2 3 1 1 3 3 . . 2 2 2 2 4 x x x x f x x = + + ≥ = 3 2 3 3 1 2 2 4 x f x x = ⇔ = ⇔ = Vậy GTNN của f là 3 3 4 30. Cho n nguyên và n≥2. Cho biến x>0. Tìm GTNN của 1 n f x x = + HD: 1 n x x x f n n n x = + + + + (n lần x n ) 1 1 1 1 ( 1) n n n n n x n f n n x n + + +   ≥ + ≥  ÷   Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 1 n n x x n n x + = ⇔ = GTNN của f là 1 1 n n n n + + B. Khi cho các biến ban đầu bằng nhau mà không thỏa điều kiện bài toán hay xảy ra mâu thuẫn thì chúng ta phải dự đoán phương án khác, giá trị đặc biệt có thể là “biên”trong tập hợp điều kiện của biến. 31. Cho x≥2. Tìm GTNN của 1 f x x = + HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=2 Với x≥2 : 1 1 ( ) (2) 2 0 2 f x f x x ≥ ⇔ + − − ≥ 2 2 5 2 0x x⇔ − + ≥ ( 2)(2 1) 0x x⇔ − − ≥ (đúng với mọi x≥2) Vậy GTNN của f là 5 2 khi x=2 32. Cho x>3. Tìm GTNN của 2 1 f x x = + HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=3 Với x≥3: 2 1 1 ( ) (3) 3 0 9 f x f x x ≥ ⇔ + − − ≥ 3 2 9 28 9 0x x⇔ − + ≥ 2 ( 3)(9 3) 0x x x⇔ − − − ≥ (đúng với mọi x≥3) Vậy GTNN của f là 28 9 khi x=3 33. Cho sốnguyên n≥2. Cho 1n x k n + ≥ > . Tìm GTNN của 1 n f x x = + HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=k. Với x≥k: 1 1 ( ) ( ) 0 n n f x f k x k x k ≥ ⇔ + − − ≥ 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 n n n n x k x k x x k x k k − − − −    ⇔ − + − + + + + ≥  ÷ ÷    1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 0 n n n n x k xk x x k x k k − − − −     ⇔ − − + + + + ≥  ÷       1 2 3 2 1 ( ) 1 1 1 1 0 n n n n x k xk xk x x k x k k − − − −   −   ⇔ − + + + + ≥  ÷       Ta có: 1 2 3 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x k x k k n n n xk k n − − − − + − + − + + + + ≤ < = < Suy ra f(x)≥f(k) đúng với mọi 1n x k n + ≥ > GTNN của f là 1 n k k + khi x=k. C. Có thể chứng minh kết quả trên bằng BĐT Côsi? Với dự đoán “chọn tham số” hay “chọn điểm rơi” Dự đoán x=k và dùng Côsi cho n+1 số trong đó n số x m (với m>0) và số 1 n x như sau: 1 n x x nx f x m m x m = + + + + − (n số x m ) 1 1 ( 1) 1 n n n x n f n x m x m +     ≥ + + −  ÷  ÷     Ta chọn m sao cho: 1 1 1 n n n x k m x k x m x + + =   ⇒ = =  =   1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 n n n n n f n x k k + + +   ≥ + + −  ÷   Vì 1n x k n + ≥ > nên 1n n k + < suy ra: 1 ( 1) 1 1 ( ) n n n n n f k k f k k k k + +   ≥ + − = + =  ÷   34. Cho a>0, b>0 và a+b≤1. Tìm GTNN của 1 f ab ab = + HD: 2 1 2 4 a b ab +   ≤ ≤  ÷   . Đặt 1 x ab,0 4 x= < ≤ và 1 f x x = + Ta chọn m>0 sao cho: 2 1 1 4 1 16 x m x x m x  =   ⇒ = =   =   1 1 15 17 16 15 2 16 . 15 8 4 4 f x x x x x x = + − ≥ − = − = f đạt nhỏ nhất là 17 4 khi x= 1 4 35. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤ 3 2 . Tìm GTNN của 1 1 1 f a b c a b c = + + + + + HD: Ta có thể phạm sai lầm: 3 3 3 3 1 1 3 3 6 . 6f abc abc abc abc ≥ + ≥ = Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 nhưng khi đó a+b+c=3> 3 2 (vô lý với gt) Giải lại: 3 1 3 2 a b c x abc + + = ≤ ≤ Ta có: 3 3 1 1 3 3 3f abc x x abc   ≥ + = +  ÷   Dự đoán f đạt nhỏ nhất khi x= 1 2 (ứng với a=b=c= 1 2 ). Ta chọn m>0 sao cho: 2 1 1 2 1 4 x m x x m x  =   ⇒ = =   =   1 1 9 15 3 4 3 3.2 4 . 9 12 2 2 f x x x x x x   ≥ + − ≥ − = − =  ÷   Vậy GTNN của f là 15 2 khi a=b=c= 1 2 36. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤ 3 2 . Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2 1 1 1 f a b c a b c = + + + + + HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy ra tại a=b=c 1 2 3 3 1 3 2 a b c abc + +   ≤ ≤  ÷   . Xét 2 2 1 a a + , chọn m>0 sao cho: 4 2 2 1 1 2 16 1 a m a a ma  =   ⇒ = =   =   Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, trong đó 16 số là 2 1 16a và số a 2 : 16 2 2 2 17 2 2 2 1 1 1 16. 17 16 16 a a a a a a   + = + ≥  ÷   15 17 2 32 2 17 1 17 2 a a a − ⇒ + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1/2 15 17 2 32 2 17 1 17 2 b b b − + ≥ , 15 17 2 32 2 17 1 17 2 c c c − + ≥ Suy ra: 1 15 15 15 15 15 15 3 17 17 17 17 17 17 32 32 17 17 17 17 .3 2 2 f a b c a b c − − − − − −     ≥ + + ≥  ÷  ÷     ( ) 15 5 17 17 32 32 17 17 3 17 3 17 3 17 .2 2 2 2 f abc − ≥ ≥ = Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2 GTNN của f là 3 17 2 Chúng ta cũng có thể sử dụng BĐT véc tơ u v t u v t+ + ≥ + + r r r r r r Với 1 1 1 ; , ; , ;u a v b t c a b c       = = =  ÷  ÷  ÷       r r r [...]... a 2  2 2 ÷ b 16b  16b  2 1 17 −16 17 1 −16 1 17 a b ≥ 32 2 b 17 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1/2 ⇒ a2 + 1 17b17 c 17 ⇒ b2 + 2 ≥ 32 c 17 2 1 17 1 17c a ≥ 32 2 a 217 −16 17 Suy ra: 1 16 1 −16 1 −16  17  17 −17 17 17 17 17 f ≥ 32  a b + b c + c a ÷  217  −5 3 17 3 17 15 3 17 f ≥ 32 ( abc ) 17 ≥ 32 217 = 2 217 217 Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2 3 17 GTNN của f là 2 38 Cho a>0, b>0, c>0 và a... z 9 x y x y z + + + + ÷ z z t t t 8 8 8 32 40 f ≥ + 12 = + = 3 9 3 3 3 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=t y>0 Tìm GTNN của  x  y  f = 1 + ÷1 + ÷ 4 y   4x   HD: 1 + x x + 4 y 5 5 xy 4 = ≥ 4y 4y 4y y 4x + y 5 5 x4 y 1+ = ≥ 4x 4x 4x f ≥ 25 5 ( xy ) 5 = 16 xy 25 16 25 16 43 Cho x>0, y>0, z>0 Tìm GTNN của Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y, GTNN của f là  2 x   2 y  2 z  f = 1 + ÷1 + ÷ 1 +... = ≥ 3y 3y 3y 2 y 2 y + 3z 5 5 y 2 z 3 1+ = ≥ 3z 3z 3z 5 2 3 2 z 2 z + 3x 5 z x 1+ = ≥ 3x 3x 3x f ≥ 125 5 ( xyz ) 5 27 xy = 125 27 Dấu đẳng thức khi x=y=z, GTNN của f là 44 Cho x>0 Tìm GTNN của f = x + HD: f = x + 1 x 1 1 1 x 3 = x+ + ≥ 33 = 3 4x x 2 x 2 x 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = GTNN của f là 45 Cho 125 27 3 1 2 x ⇔x= 1 4 3 3 4 x>0, y>0 Tìm GTNN 2  x  3 x+ y f =3 ÷ + x  x+ y HD: Dự đoán... y + y + z z + x x + y 4x 4 y 4z 3 y+ z z+ x x+ y +  + + ÷ 4 x y z  3 y z z x x y  f ≥ 3+  + + + + + ÷ 4 x x y y z z  3 y z z x x y 9 15 f ≥ 3 + 6 6 = 3 + = 4 x x y y z z 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z 15 GTNN của f là 2 41 Cho 4 số dương x,y,z,t Tìm GTNN của f = x y z t + + + y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y+ z y+ z+t z+t + x t + x+ y x+ y+ z + + + + x y z t HD: x y z t f = +... 3 (abc) 2 Chúng ta giải tiếp như các bài trước với 2 2  a+b+c  1 3 x = abc ≤  ÷ ≤ 3   4 ( f ≥3 x+ ) 1 1 15 x 1 15 =3 x+ + ≥3 2 + x 16 x 16 x 16 x 16 x 1 15 1 15 3 17 + ≥3 + = 2 16 x 2 4 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2 3 17 GTNN của f là 2 f ≥3 3 Tìm GTNN 2 1 1 1 của f = a 2 + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 b c a 1 HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy ra tại a=b=c 2 3 1  a+b+c  abc ≤  ÷ ≤ 3 3   2 1... x− y x y x f ≥2 x +2 y − ( ( ) x+ y = x+ y Mặt khác 1− y 1− x 1 1 f = + = + −( x + y) y x x y (1) và (2) cho ta: 1 1 2 2 2f ≥ + ≥ ≥ 2 4 xy x y  x+ y 4  ÷  2  x+ y (1) (2) ) 2f ≥2 2 ⇒ f ≥ 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 1 2 GTNN của f là 40 3 42 Cho x>0, 40 Cho x>0, y>0, z>0 Tìm GTNN của f = HD: f = x y z y+z z+x x+ y + + + + + y+ z z+x x+ y x y z x y z y+z z+x x+ y + + + + + + y+z z+ x x+ y... =3 ÷ + x  x+ y HD: Dự đoán x=y Đặt t = 3 1 x+ y thì f = 2 + t t x của 1 t  2 = m ⇒ m = t3 = 2 Dự đoán  t t = 3 2  f = f ≤ GTLN của f là 2 3 khi a=b=1 1 1 t t 3 +t = 2 + + ≥ 3 t2 t 2 2 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi t= 3 2 , tức là x=y 3 GTNN của f là 3 4 46 Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTNN của f = 4 1  2+a+3 2+b+3 6 + =2 3  ÷= 2 2 3 3  a b c b+c c+a a +b +4 +4 + + + b+c c+a a +b a b c a b c HD:... 3 x 3 x + 1− =2 3 3 HD:  x x 3 1+ = 3 1 + ÷1.1 ≤  3 3 ÷   1+  3x x 3 1− = 3 1 − ÷1.1 ≤  3 3 ÷   1− 3 ≤ 1+ 3 3 ⇒ 3 1+ 3 3 3 x +2 3 x 3 = 1+ 3 9 x +2 3 x 3 = 1− 3 9 3 x 3 x + 1− ≤2 3 3 Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi x=0 53 Cho a≥2, b≥3, c≥4 Tìm GTLN của a−2 3 b−3 4 c −4 + + a b c f = HD: 2(a − 2) a−2 1 1  2+a−2 1 = ≤  ÷= a a 2 2  2a  2 2 3 4 b−3 3 4 = b 9 3 3 3 3  (b − 3) + +b−3÷ 42 . DẠO CHƠI BẤT ĐẲNG THỨC * 1. Cho x,y là 2 số dương thỏa x+y =1. Tìm GTNN của A=x 2 +y 2 HD:  x 2 +m 2 ≥2mx.    Dấu đẳng thức xảy ra khi x=0 25. (D-2005) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng : 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3. xy yz zx + + + + + + + + ≥ Khi nào đẳng thức xảy ra? HD: 3. 27 xyz f xy ≥ = Dấu đẳng thức khi x=y=z, GTNN của f là 125 27 44. Cho x>0. Tìm GTNN của 1 f x x = + HD: 3 3 1 1 1 3 3 4 2 2 4 x f x x x x x x = + = + + ≥ = Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 1