SKKN LY9

một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp Một số cách giải bài toán cực trị trong Vật lý sơ cấp A. lý do chọn đề tài: Từ năm học 2005 - 2006 Bộ GD & ĐT quyết định chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ trong việc dạy và học của giáo viên cũng nh học sinh. Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trờng THPT chúng tôi tấy có một số vấn đề nh sau: 1.Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức TNKQ thì giáo viên cũng nh học sinh phải có sự thay đổi lớn về cách dạy và học. Dạy học theo phơng pháp TNKQ đòi hỏi ngời giáo viên không những phải đầu t theo chiều sâu mà còn phải đầu t kiến thức theo chiều rộng, ngời dạy phải nắm đợc tổng quan chơng trình của môn học. Điều này không phải tất cả đội ngủ giáo viên của ta hiện nay đều làm đợc, đặc biệt là các giáo viên trẻ mới ra trờng. 2. Một thực tế nữa là khi chúng ta chuyển sang dạy học và đánh giá thi cử theo phơng pháp TNKQ thì một số GV mãi mở rộng kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi trắc nghiệm thì vấn đề đầu t cho việc giải bài toán theo phơng pháp tự luận có thể bị mờ nhạt đi. Điều này ảnh hởng khá lớn đến chất lợng, mức độ hiểu sâu kiến thức về vật lý của học sinh, đặc biệt là đội ngủ học sinh giỏi của trờng. 3. Để góp phần cải tiến thực trạng trên chúng tôi quyết định thực hiện đề tài Một số cách giải bài toán vật lý sơ cấp. Trong Vật lý sơ cấp THPT có nhiều bài toán đợc giải theo phơng pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu các đại lợng Vật lý. Mỗi loại bài tập đó đều có một số cách giải nhất định, song để chọn cách giải phù hợp là điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên bởi lẽ các bài toán này mang tính đơn lẻ, cha có tài liệu nào viết có tính chất hệ thống. Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 1 một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp Qua nhiều năm bồi dỡng học sinh giỏi, dạy bồi dỡng cho học sinh thi đại học chúng tôi đã tổng hợp và áp dụng thì thấy kết quả của học sinh tiến bộ vợt bậc. Hy vọng rằng đề tài này sẽ góp phần vào giải quyết những khó khăn trên. Với trình độ còn hạn chế, kiến thức thì mênh mông nên bài viết này chắc còn có sai sót. Kính mong đợc sự góp ý và trao đổi chân tình của quý đồng nghiệp để đề tài đợc hoàn thiện hơn và có tác dụng hữu ích hơn. Xin chân thành cảm ơn. B. Nội dung I. Cơ sở lý thuyết: Thực tế khi giải các Bài tập Vật lý để tính giá trị cực đại hoặc cực tiểu của các đại lợng Vật lý thì chúng ta thờng dùng một số công thức, kiến thức của toán học. Do đó để giải đợc các bài tập đó cần phải nắm vững một số kiến thức toán học sau đây: Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 2 một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp 1. Bất đẳng thức Côsi: a + b 2 ab (a, b dơng) a + b + c 3 3 abc (a, b, c dơng) + Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau. + Khi Tích 2 số không đổi tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau. Khi Tổng 2 số không đổi, Tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau. * Phạm vi áp dụng: Thờng áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán va chạm trong cơ học. 2. Bất đẳng thức Bunhia côpxki (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 (a 1 + a 2 ) 2 . (b 1 + b 2 ) 2 . Dấu bằng xảy ra khi 1 1 2 2 a b a b = * Phạm vi áp dụng: Thờng dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học. 3. Tam thức bậc 2. y = f(x) = ax 2 + bx + c. + a > 0 thì y min tại đỉnh Parabol. + a < 0 thì y max tại đỉnh Parabol. + Toạ độ đỉnh: x = - b ; y 2a 4a = ( = b 2 - 4ac) + Nếu = 0 thì phơng trình y = ax 2 = bx + c = 0 có nghiệm kép. + Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. * Phạm vi áp dụng: Thờng dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và bài tập phần điện. 4. Giá trị cực đại, Hàm số sin hoặc côsin (cos) max = 1 = 0 0 (sin) max = 1 = 90 0 * Thờng dùng trong các bài toán cơ học - Điện xoay chiều. 5. Khảo sát hàm số. - Dùng đạo hàm Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 3 một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu. Thờng áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều (vì lúc đó học sinh đã đợc học đạo hàm). * Ngoài ra trong quá trình giải bài tập chúng ta thờng sử dụng một số tính chất của phân thức a c a c a c b d b d b d + = = = + II. Các ví dụ áp dụng 1. á p dụng Bất đẳng thức Côsi * Ví dụ 1: Cho mạch điện nh hình vẽ E = 12V; r = 4; R là biến trở. Hãy tìm x R để công suất mạch ngoài cực đại. HDG: - Dòng điện: I = E r R+ - Công suất:P = I 2 R = 2 2 2 2 2 2 E E E r y r R 2r R R R = = + + + ữ - P max y min . Theo BĐT Côsi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau. Y min r R R = . Vậy khi R = r = 4 thì P max = 2 E 9(W) 4r = * Ví dụ 2: Cho mạch điện nh hình vẽ U AB = 200 2 sin(100nt)(v) L = 4 1 10 (H); c (F). n 2n = R thay đổi Hình vẽ 2.2 a) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0 b) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 5 HDG: a) + Cảm kháng: Z L = L = 100; Dung kháng: Z C = 1 200 C = + Tổng trở: Z = 2 2 L C R (Z Z )+ Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 4 E,r R R L,r C A B một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp + Công suất: P = I 2 R = 2 2 L C U (Z Z ) Rx R + Đặt y = R + 2 L C (Z Z ) R . + áp dụng BĐT Côsi: y min R = Z L - Z C = 100. Lúc đó P R(Max) = 2 L C U 200(W) 2 Z Z = b) Tơng tự ta có: Z = 2 2 L C (R r) (Z Z )+ + P Rx = I 2 Rx = 2 2 2 L C U u r (Z Z ) y R 2r R = + + + + áp dụng BĐT côsi y min R = 2 2 L C r (Z Z ) + Max 2 R 2 2 L C U P 124(W) 2(r r (Z Z ) = + + ; * Mở rộng: Khi tính P của mạch: + Nếu Z L - Z C > r thì P Max khi R = Z L - Z C - r + Nếu Z L - Z C r thì P Max khi R = 0. Ví dụ 3: Có hai điện tích điểm q 1 = q 2 = q > 0 đặt tại hai điểm A, B trong không khí ( = 1). Cho biết AB = 2d. Hãy xác định cờng độ điện trờng tại M trên đ- ờng trung trực AB cách đờng thẳng AB một khoảng x. Tìm x để E M đạt cực đại. HDG: * Xác định M E ur : + M 1M 2M E E E= + ur ur ur Với E 1M = E 2M = k 2 2 q d x+ Hình vẽ 2.3 + Dùng quy tắc tổng hợp vectơ M E ur AB hớng ra xa AB. + E M = 2E 1M cos = 3 2 2 2 2 2 2 2 2kq x x . 2kq. d x d x (d x ) = + + + (*) * Tìm vị trí M: - Theo BĐT Côsi ta có: Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 5 B A H 2 M E ur M E ur 1M E ur M q 1 d d x một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp Ta có d 2 + x 2 = ( ) 2 2 4 2 3 2 2 2 2 2 3 d d d x 3 3 x 3 d x .d .x 2 2 4 2 + + + (**) + Từ (*) và (**) E M 2 4kq 3 3 d . Vậy E M(Max) = 2 4kq 3 3 d khi x = d 2 . Ví dụ 4: Vật m 1 chuyển động với vận tốc 1 V uur tại A và đồng thời va chạm với vật m 2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm m 1 có vận tốc 1 V ' uur ; hãy xác định tỷ số ' 1 1 V V của m 1 để góc lệch giữa 1 V uur và 1 V ' uur lớn nhất. ( Max ). Cho m 1 > m 2 . HDG: + Động lợng hệ trớc va chạm: T 1 1 1 P P m V= = uur uur uur . + Động lợng hệ sau va chạm: ' ' ' ' s 1 2 1 1 2 2 P P P m V m V= + = + uur uur uur uur uur . Hìnhvẽ 2.4 + Hệ kín nên Động lợng hệ bảo toàn: S T 1 P P P= = uur uur uur + Gọi = ' 1 1 1 S (V V ) (P P )ì = ì uur uur uur uur Ta có: ' 2 '2 2 ' 2 2 1 1 1 1 P P P 2P P cos= + (1) Vì va chạm đàn hồi nên động năng bảo toàn: 2 ' 2 ' 2 1 1 1 1 2 2 m v m v m V 2 2 2 = + 2 '2 ' 2 2 '2 ' 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 P P P m P P P 2m 2m 2m m = + = (2) + Từ (1) và (2) ' 2 1 2 1 ' 1 1 1 1 m P m P 1 1 2cos . m P m P + + = ữ ữ ' 2 1 2 1 ' 1 1 1 1 m V m V 1 1 2cos . m V m V + + = ữ ữ Đặt x = ' 1 1 V 0. V > 2 2 1 1 m m 1 1 x 1 2cos m m x + + = ữ ữ Để Max thì (cos) min . Theo BĐT cosi: (cos) min khi: 2 2 1 2 1 1 1 2 m m 1 m m 1 x 1 x m m x m m + = = ữ ữ + Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 6 S 1 P P= uur ur 2 P ' uur 1 P ' uur một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp Vậy khi ' 1 1 2 1 1 2 V m m V m m = + thì góc lệch giữa 1 V uur và ' 1 V uur cực đại. Với cos Max = 2 2 1 2 1 m m m . Ví dụ 5: Một thấu kính hội tụ đợc đặt song song với màn ảnh E .Trên trục chính có điểm sáng A và màn E đợc giữ cố định. Khoảng cách từ A đến màn E là a = 100 cm. Khi tịnh tiến thấu kính trong khoảng giữa màn E và A, ngời ta thấy vệt sáng trên màn không bao giờ thu lại một điểm. Nhng khi L cách màn E một đoạn b = 40cm thì vệt sáng trên màn có kích thớc nhỏ nhất. Tính tiêu cự của thấu kính. HDG: Theo đề bài thì điểm hội tụ của chùm tia ló phải nằm sau màn ảnh E, đờng đi của tia sáng nh hình vẽ 2.5: Theo tính chất đồng dạng của tam giác ta có: ' ' 1 1 1 ' ' ' ' ' r d b b a d a d r d b d d d = = = = + ' 1 1 1 . 1 r d a d a a r f d f d f f = + = + ữ ữ Mặt khác theo định lý Côsi ta có: 2. a d a d f f + vậy r/r đạt min khi . a d d a f d f = = do đó ( ) 2 . a b a f a b f a = = thay số ta có f = 36 cm. a b r r A O A Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 7 một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp d d Hình vẽ 2.5 2. áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Côpxki: Ví dụ 6: Hai chuyển động trên AO và BO cùng hớng về 0. Với V 2 = 0 1 V ; 30 3 = . Khi khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là d min thì khoảng cách vật 1 đến 0 là ' 1 d 30 3(m)= . Hãy tìm khoảng cách vật 2 đến 0 lúc này? HDG: Hình vẽ 2.6 Gọi d 1 , d 2 là khoảng cách các vật 1 và vật 2 đến 0 lúc đầu ta xét (t = 0) ta có: 1 1 2 2 d d v t d v t . sin sin sin = = Vì 1 2 v v 3 = 1 1 2 1 2 1 d d v t 3d v t d 3d d . sin sin sin 3sin 3 sin sin = = = sin = sin(180 0 - ) = sin ( + ) = sin (30 0 + ) 2 1 2 1 2 1 0 d 3d d 3d d 3d d d sin30 y 3 1 3cos sin cos sin 2 2 = = = + + ; d min khi y max áp dụng BĐT Bunhia côpxki y 2 2 (3 1) (sin cos ) 2. + + + = Y Max = 2 0 sin 1 tg 30 cos 3 = = = và 0 120= Lúc đó ' ' 0 ' ' ' 1 2 2 1 1 0 0 0 d d sin120 d .d 3d 90(m) sin30 sin120 sin30 = = = = Ví dụ7: Hai tàu thuỷ chuyển động trên hai đờng OA và OB biết AB = 40km; V A = 40km/h; V B = 40 3 km. Chiều chuyển động các tàu đợc biểu diễn nh hình vẽ. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa 2 tàu, biết = 30 0 ; = 60 0 . HDG: Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 8 A A' d 1 ' d 2 ' 0 B' B A A' B' B ' 0 A V uur B V uur ' một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp + + = 30 0 Ta có: AO = d 1 ; BO = d 2 1 2 d d AB sin sin sin = = Hình vẽ 2.7 1 1 2 0 0 0 2 d AB 3 40 3 (km) d d AB sin60 sin30 sin30 d AB 40(km) = = = = = = * Khi tàu A đến A' thì ' 1 d = d 1 - v 1 t = 40 3 - 40t d 2 = d 2 + v 2 t = 40 + 40 3 t. Khoảng cách giữa 2 tàu d' = A'B'. Có ' ' 1 2 d' d d sin sin ' sin ' = = 0 min max d' 120 40 3t 40 40 3t 160 ( ' ' 150 ) sin sin ' 3sin ' 3sin ' sin ' 80 d' d' khiy 3 sin ' sin ' y 3 sin ' sin ' + = = = + = + = = + = + áp dụng BĐT Bunhia côpxki a 1 b 1 + a 2 b 2 2 2 2 2 1 2 1 2 (a a ).(b b ) + + 0 Max min 3 3' 1 y 3 sin ' sin(150 ') sin ' cos ' 7 2 2 80 y 7 d' 30,2(km) 7 = + = + = = = Ví dụ 8: Cho cơ hệ nh hình vẽ 2.8.1 Hệ số ma sát giữa M và sàn là K 2 Hình 2.8.1 Hệ số ma sát giữa M và m là K 1 Tác dụng lực F ur lên M theo phơng hợp với phơng ngang 1 góc ( thay đổi). Hãy tìm F min để m thoát khỏi M. Tính tơng ứng. HDG: * Vật m: ms21 1 1 1 P N F ma+ + = uur uur ur uur (1) Hình vẽ 2.8.2 Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 9 M m F ur P 1 F r N 1 ms12 F uuuur ms21 F uuuur ms F uuur một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp ms21 1 1 1 Chiếu lên Ox: E ma Chiếu lên Oy: N P 0 = = a 1 = ms21 F m a 1 K 1 g (*) Khi m bắt đầu trợt a 1 = k 1 g * Xét vật M: ms12 2 1 2 ms 2 F P P N F F Ma+ + + + + = ur uur uur uur ur uuur uur (2) Chiếu lên Ox: F cos - F ms12 - F ms = Ma 2 a 2 = ms12 ms F cos F F M Oy: F sin - (P 1 + P 2 ) + N 2 = 0 N 2 = P 1 + P 2 - Fsin. Mà F ms = K 2 N 2 a 2 = 1 2 1 2 Fcos K mg K (P P Fsin ) M + (**) Ta có a 1 a 2 K 1 g 1 2 1 2 Fcos K mg K (P P Fsin ) M + 1 2 1 2 2 (m M)(K K )g (m M)(K K )g F cos K sin y + + + + = + F min khi y Max . Theo Bất đẳng thức Bunhia côpxki Y 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 Max 2 (a a )(b b ) 1 K y 1 K+ + = + = + Vậy F min = 1 2 2 2 (m M)(K K )g 1 K + + + lúc đó 2 2 cos 1 tg K sin K = = Ví dụ 9: Ngời ta quấn một sợi chỉ không giản vào một khối trụ. Kéo trụ bằng một lực F. Tìm lực cực tiểu F min để trụ lăn không trợt tại chỗ. Xác định góc lúc đó, biết hệ số ma sát là K. HDG: Khi trụ lăn tại chỗ không trợt thì khối tâm G của trụ đứng yên. (Lúc đó vật chỉ quay, không chuyển động tịnh tiến). + Ta có ms F N P F 0+ + + = ur ur ur uuur Hình vẽ 2.9 Chiếu lên trục x, y: ms F cos F 0 Fsin N P 0 + = + + = Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3 10 G N r P r F r y x ms F