SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 MÔN TOÁN - THPT. NĂM HỌC 2009 − 2010 (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: Câu 1: 3.0 điểm 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 3 3 2y x x= − + . 2) Dựa vào đồ thị ( ) C biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 3 3 0x x m− + − = . 3) Gọi ( ) d là đường thẳng đi qua điểm ( ) 2;4M có hệ số góc là k . Tìm k để đường thẳng ( ) d cắt đồ thị ( ) C tại ba điểm phân biệt. Câu 2: 3.0 điểm 1) Giải phương trình sau trên tập số thực 5 1 5 1 1 2 2 x x + − = + ÷ ÷ ÷ ÷ . 2) Tính tích phân ( ) 2 1 2ln . e I x x x dx= + ∫ 3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 ( ) 3 9 2f x x x x= + − + trên đoạn [ ] 3;2− Câu 3: 1.0 điểm Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có tất cả các cạnh bằng nhau và cùng bằng a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng ( ) ' ' 'A B C trùng với trung điểm của ' 'B C . Tính thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C theo a . II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) Thí sinh chọn một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình nâng cao: Câu 4a: 2.0 điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng có phương trình ( ) : 3 2 0x y z α + − + = ( ) ( ) ( ) : 2 3 1 0, : 1 0x y P mx m n y nz β − + = − + + − = với ,m n∈R và 2 2 0.m n+ ≠ 1) Viết phương trình mặt cầu tâm ( ) 2;0;0I − và tiếp xúc với ( ) β . 2) Tìm ,m n để ba mặt phẳng ( ) ( ) ( ) , , P α β cùng đi qua một đường thẳng. Câu 5a: 1.0 điểm Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực ( ) 2 4 1 2 1 1.x m x x− + + + = − 2. Theo chương trình chuẩn: Câu 4b: 2.0 điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) :3 4 1 0P x y+ − = và ba điểm ( ) 1; 1;3 ,A − ( ) 2;3;6B , ( ) 1; 9; 3C − − − . 1) Viết phương trình mặt cầu tâm C và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) .P 2) Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua hai điểm ,A B và vuông góc với mặt phẳng ( ) .P Câu 5b: 1.0 điểm Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực ( ) 2 4 2 2 2 4 3 2 2x x m x+ + − + = + − Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC: 2009 – 2010. MÔN TOÁN - THPT Lưu ý khi chấm bài: -Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. -Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. -Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. -Trong lời giải câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm. -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. CÂU PHẦN NỘI DUNG CHÍNH ĐIỂM Câu 1 3.0 điểm 1) 1.5 đ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 3 3 2y x x= − + . * TXĐ: R * SBT: - Giới hạn tại vô cực lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ - Bảng biến thiên: 2 ' 3 3y x= − ; 1 ' 0 1 x y x = = ⇔ = − 0.5 Hàm số ĐB trên ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;+∞ , NB trên ( ) 1;1− Hàm số đạt cực đại khi 1, 4 CD x y= − = ; đạt cực tiểu khi 1, 0 CT x y= = 0.5 * Đồ thị: - Tìm được điểm uốn của đồ thị là ( ) 0;2 ( Không bắt buộc) - Đồ thị cắt trục hoành tại ( ) ( ) 2;0 , 1;0− - Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x ( ) = x 3 -3 ⋅ x ( ) +2 0.5 x '( )f x ( )f x −∞ +∞ 1− 1 0 0 − + + 4 0 −∞ +∞ x y 1 2− 4 2) 1.0đ PT 3 3 2 1x x m⇔ − + = − Số nghiệm của PT đã cho là số giao điểm của đường thẳng 1y m= − và đồ thị (C) 0.25 Từ đồ thị ta có: Nếu 1 0 1 1 4 5 m m m m − < < ⇔ − > > thì PT có một nghiệm 0.25 Nếu 1 0 1 1 4 5 m m m m − = = ⇔ − = = thì PT có hai nghiệm 0.25 Nếu 0 1 4 1 5m m< − < ⇔ < < thì PT có ba nghiệm 0.25 3) 0.5 PT của đường thẳng ( ) d là: ( ) 2 4y k x= − + PT hoành độ giao điểm của đường thẳng ( ) d và đồ thị ( ) C là: ( ) 3 3 2 2 4x x k x− + = − + ( ) ( ) 2 2 2 1 0x x x k⇔ − + + − = 0.25 2 ( ) 2 1ycbt f x x x k⇔ = + + − có hai nghiệm phân biệt khác 2 ( ) ' 0 2 9 0 k f k ∆ = > ⇔ = − ≠ 0 9k⇔ < ≠ 0.25 Câu 2 3.0 điểm 1) 1.0 đ Đặt t = 5 1 2 x + ÷ ÷ ĐK 0t > ta có phương trình: 2 1 0t t− − = 0.5 1 5 2 1 5 2 t t + = ⇔ − = 0.25 Kết hợp ĐK ta có 1 5 2 t + = nên phương trình đã cho có nghiệm 1x = 0.25 2) 1.0 đ Ta có 3 1 1 2 .ln e e I x dx x xdx= + ∫ ∫ 0.25 4 4 3 1 1 1 4 4 e e x e x dx − = = ∫ 0.25 Tính 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 .ln ln ln 2 2 e e e e e x e J x xdx x x xdx x x + = = − = − = ∫ ∫ 0.25 Vậy I = 4 1 4 e − + 2 1 2 e + = 2 2 1 2 e + ÷ 0.25 3) 1.0 đ Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 ( ) 3 9 2f x x x x= + − + trên đoạn [ ] 3;2− Ta có 2 '( ) 3 6 9f x x x= + − 1 '( ) 0 3 x f x x = = ⇔ = − 0.5 Ta có (1) 3; (2) 4; ( 3) 29f f f= − = − = 0.25 Vậy [ ] { } 3;2 max ( ) max (1); (2); ( 3) ( 3) 29 x f x f f f f ∈ − = − = − = [ ] { } 3;2 min ( ) min (1); (2); ( 3) (1) 3 x f x f f f f ∈ − = − = = − 0.25 Câu 3 (1.0 điểm) Dựng ( ) ' ' 'AH A B C H⊥ = Theo giả thiết H là trung điểm của ' 'B C và AH là đường cao của lăng trụ 0.25 Ta có: 3 ' 2 a A H = ; 2 2 2 2 3 ' ' 4 2 a a AH AA A H a= − = − = 0.25 Diện tích tam giác ABC là 2 3 4 ABC a S = 0.25 Thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C là: 3 3 . . 8 ABC a V S AH= = 0.25 Câu 4a 2.0 điểm 1) 1.0 đ Bán kính của mặt cầu là ( ) ( ) 4 1 3 ; 4 9 13 R d I β − + = = = + 0.5 PT của mặt cầu là: ( ) 2 2 2 9 2 . 13 x y z+ + + = 0.5 2) 1.0 đ Ta thấy ( ) α cắt ( ) β theo giao tuyến là đường thẳng ( ) d 0.25 Lấy hai điểm ( ) ( ) 1 1;1;6 , 0; ;3 3 A B d ∈ ÷ 0.25 Để ba mặt phẳng đã cho đồng phẳng thì ( ) ( ) ( ) 6 1 0 , 1 3 1 0 3 m m n n A B P m n n − + + − = ∈ ⇒ − + + − = 0.25 7 5 1 5 m n = − ⇔ = Khi đó phương trình của mp ( ) P là: 7 6 5 0.x y z− − + = 0.25 Câu 5a 1.0 điểm ĐKXĐ: 1x ≥ Chia hai vế PT cho 1x + ta có: 4 1 1 2 1 1 x x m x x − − + + = + + 0.25 Đặt t = 4 1 1 x x − + ĐK: [ ) 0;1t ∈ . Khi đó PT đã cho có dạng: 2 2m t t= − + − 0.25 Xét hàm số ( )f t = 2 2t t− + − với [ ) 0;1t ∈ , ta có ( ) '( ) 2 1, 0;1f t t t= − + ∀ ∈ BBT: 0.25 t '( )f t ( )f t 0 1 2 1 0 − + 7 4 − 2− 2− A B C 'A 'B 'C H Từ BBT hàm số ( )f t ta có ycbt ⇔ 7 2 . 4 m− ≤ ≤ − 0.25 Câu 4b 2.0 điểm 1) 1.0 đ Bán kính của mặt cầu là ( ) ( ) 3 36 1 ; 8 5 R d C P − − − = = = 0.5 Vậy PT của mặt cầu là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 9 3 64x y z+ + + + + = . 0.5 2) 1.0 đ Mặt phẳng ( ) P có VTPT là ( ) 3;4;0n = r VTPT của ( ) α là ( ) ' , 12; 9;8n n AB = = − ur r uuur 0.5 PT của mp ( ) α là ( ) ( ) ( ) 12 1 9 1 8 3 0x y z− − + + − = 0.25 12 9 8 45 0x y z⇔ − + − = 0.25 Câu 5b 1.0 điểm Đặt 2 2 2 2t x x= + − − ĐK 0 2t ≤ ≤ 0.25 Ta có PT 2 2 2 1m t t= − − 0.25 Xét hàm số 2 ( ) 2 1f t t t= − − với [ ] 0;2t ∈ ( ) '( ) 2 2, 0;2f t t t= − ∀ ∈ BBT: 0.25 Từ BBT ta có ycbt ⇔ 1 2 2 1 1 . 2 m m− ≤ ≤ − ⇔ − ≤ ≤ − 0.25 HẾT t '( )f t ( )f t 0 1 2 0 + − 1− 2− 1− . SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 MÔN TOÁN - THPT. NĂM HỌC 2009 − 2010 (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ. ( ) 2 4 2 2 2 4 3 2 2x x m x+ + − + = + − Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC: 2009 – 2010. MÔN. 1.5 đ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 3 3 2y x x= − + . * TXĐ: R * SBT: - Giới hạn tại vô cực lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ - Bảng biến thi n: 2 ' 3 3y