Trờng THPT Nguyễn TrãI Đề thi chọn học sinh giỏi Khối 11 Thành phố THANH HOá Môn:Toán Năm học 2009-2010 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài1: ( 6đ) a) Giải phơng trình: ) cos 2sin sin 2cos (3cot3 2 x x x x x +=+ b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: zyx zyx zyxf 222 222 coscoscos sinsinsin ),,( ++ ++ = Trong đó x,y,z là số đo ba góc của tam giác. Bài 2: (4đ) a) Tìm ba số biết chúng lập thành một cấp số cộng và tổng của chúng bằng 21 Nếu lần lợt thêm các số 2;3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì đợc ba số lập thành một cấp số nhân. b) Tìm giới hạn: I= x xx Lim 3 812 + khi x 0 Bài3:( 4đ) a) Cho hàm số 32)( 2 += xxxf . Giải bất phơng trình : 1)( , xf b) Chứng minh rằng: 02010 32 2010 2010 3 2010 2 2010 1 2010 =+ CCCC Bài4:( 6đ) Trong không gian cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc Gọi H là trực tâm tam giác ABC. a) Chứng minh : )(ABCSH b) Chứng minh : )(6)( 2222 SCSBSACABCAB ++++ dấu bằng xảy ra khi nào? c) Gỉa sử tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a Kéo dài HS một đoạn về phía S và lấy điểm D sao cho SD=SH. Điểm M di động trên AD .Xác định vị trí điểm M để tam giác MBC có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích ấy theo a. .Hết Họ và tên SBD Trờng THPT Nguyễn Trãi Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi k11 Môn Toán năm học 2009-2010 Bài ý Nội dung Điểm I a) (3đ) ) Điều kiện: Zk k x . 2 ) Phơng trình đã cho ) cossin sin2sincos2cos (3 sin 1 2 2 xx xxxx x + =+ 0,5đ 0,5đ 0,5đ x x sin 3 sin 1 2 2 =+ 01sin3sin2 2 =+ xx sinx = 1 (loại) sinx= 2 62 1 kx += ; x= 2 6 5 k+ 0,5đ 1,0đ b) (3đ) Ta có: 1 coscoscos 3 coscoscos sinsinsin ),,( 222222 222 ++ = ++ ++ = zyxzyx zyx zyxf Do đó ),,( zyxf lớn nhất zyxzyxg 222 coscoscos),,( ++= nhỏ nhất Lại có: 1)cos()cos(cos 2 2cos1 2 2cos1 cos),,( 22 +++= + + + += zyzyx zy xzyxg = 4 3 4 1 cos)cos(cos 2 ++ xxyx Xét tam thức: F(cosx)= 4 1 cos)cos(cos 2 + xzyx có 01)(cos 2 = xy Với mọi y,z suy ra F(cosx) 0 từ đó g(x,y,z) 4 3 nên g(x,y,z) nhỏ nhất bằng 4 3 Khi = = 2 )cos( cos 01)(cos 2 zy x zy 0 60=== zyx Vậy ),,( zyxf nhỏ nhất bằng 3 khi x=y=z 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ II a) (2đ) Gọi ba số lập thành cấp số cộng là a-d; a; a+d Theo giả thiết ta có: a-d+a+a+d=21 suy ra a=7 suy ra ba số đó là 7-d;7;7+d Theo giả thiết thì ba số: 9-d;10;16+d là một cấp số nhân Suy ra: 100=(9-d)(16+d) d=-11 hoặc d=4 Với d=-11 ba số cần tìm là: 18;7;-4 Với d=4 ba số càn tìm là 3;7;11 1,0đ 0,5đ 0,5đ b) (2đ) Ta có: Lim 0x ( + + = + x x x x Lim x xx x 3 0 3 8211(2812 = Lim 3 2 3 0 )8(824 1 11 2 ( xx x x ++ + ++ ) =1 + 12 13 12 1 = 1,0đ 1,0đ III a) (2đ) Điều kiện: + 3 1 032 2 x x xx Ta có: 32 1 )( 2 , + + = xx x xf Theo yêu cầu bài toán : 1 32 1 1)( 2 , + + xx x xf 132 2 ++ xxx ++ + + <+ 22 2 )1(32 01 032 01 xxx x xx x x 3 Vậy nghiệm của bất phơng trình là x 3 0,5đ 0,5đ b) (2đ) Xét khai triển: nn nnnn n xCxCxCCx ++++=+ )1( 2210 với n N Lấy đạo hàm hai vế theo x ta đợc: 1,0đ n(1+x) n-1 = 12321 32 ++++ nn nnnn xnCxCxCC Thay x=-1 và n=2010 ta đợc điều phảI chứng minh. 1,0đ IV a) (2đ) Ta có: AHBC (gt) SABC vì )(SBCSA Suy ra )(SAHBC SHBC (1) C/m tơng tự : SHAB (2) Từ (1) và (2) suy ra: )(ABCSH 1,0đ 1,0đ b) (2đ) Từ giả thiết ta có: 222 SBSAAB += , 222 SCSBBC += , 222 SCSAAC += Suy ra: )(2 222222 SCSBSACABCAB ++=++ Mặt khác: ( CABCCAABBCABCABCABCABCAB .2.2.2) 2222 +++++=++ )()()( 222222222 CABCCAABBCABCABCAB ++++++++ = 3( ) 222 CABCAB ++ Từ đó: )(6)( 2222 SCSBSACABCAB ++++ Dờu bằng xảy ra SCSBSA == 0,5đ 1,0đ 0,5đ c) (2đ) Khi tam giác ABC đều thì I là trung điểm BC ta có BCMI nên diện tích tam giác MBC bằng BCMI, 2 1 Diện tích này nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I xuống AD. Do tam giác AID cân tại I nên M là trung điểm AD. Có AD 2 =AH 2 +DH 2 = AH 2 +4SH 2 Mà tam giác SAB vuông cân tại S nên SA= 22 aAB = , AH= 3 a suy ra SH 2 =SA 2 -AH 2 = 6 2 a Từ đó : AD 2 =a 2 suy ra MA= 2 a nên MI= 2 22 a AMMI = Vậy diện tích nhỏ nhất bằng : 4 2 2 2 . 2 1 2 a a a = 0,5đ 0,5đ 1,0đ ( Mọi cách giải khác đúng đều đợc điểm tối đa)