Tài liệu hướng dẫn ôn tập và đề cương ôn tập toán 9 học kì 2

v Nếu phương trình ax +bx+c = 0a ¹ 0 có a+b+c= 0 thì phương trình có 1 nghiệm là x 1 = 1 , còn nghiệm kia bằng cCâu 1 : Góc ở tâm : - Định nghĩa : Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm

ÔN TẬP TOÁN 9 HỌC KỲ II

PHẦN I : LÝ THUYẾT :A) ĐẠI SỐ :

Câu 1 : Hàm số y = ax2 ( a ¹ 0) : tính chất , đồ thị hàm số

a) Tính chất :

- Hàm số xác định với mọi gía trị của x Ỵ R

- Tính chất biến thiên :

+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x >0 , nghịch biến khi x < 0

+ Nếu a < 0 Thì hàm số đồng biến khi x < 0 , nghịch biến khi x > 0

- Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x ¹ 0 ; y = 0 khi x = 0 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0

- Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x ¹ 0 ; y= 0 khi x = 0 Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0

b) đồ thị hàm số y = ax2 ( a ¹ 0)

- Đồ thị của Hàm số y = ax2 ( a ¹ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trụcđối xứng Đường cong được gọi là một Parabol với đỉnh O

- Nếu a > 0 thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thị hàm số

- Nếu a < 0 thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành , O là điểmcao nhất của đồ thị hàm số Câu 2 : Phương trình bậc hai một ẩn : Định nghĩa , công thức nghiệm (tổng quát , thu gọn ) , cách nhẩm nghiệm :

a) Định nghĩa : phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)

trong đó x : ẩn , a,b,c các số đã cho , a ¹ 0

b) Công thức nghiệm tổng quát :

   ; x2 = 2 4

2

b b ac a

v D= 0 phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =–

2

b a

v D < 0 phương trình vô nghiệm

c) Công thức nghiệm thu gọn

v D’<0 phương trình vô nghiệm

v D = 0 phương trình có nghiệm kép phương trình có nghiệm kép x1=x2 b'

a





Câu 3 : Hệ thức Vi-Et , cách nhẩm nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0(a ¹ 0)

a) Hệ thức Vi-Eùt : Định lý nếu x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0(a ¹ 0) thì

v Nếu phương trình ax +bx+c = 0(a ¹ 0) có a+b+c= 0 thì phương trình có 1 nghiệm là x 1 = 1 , còn nghiệm kia bằng c

Câu 1 : Góc ở tâm :

- Định nghĩa : Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

- Số đo của cung nhỏ lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ ( có chung hai mút với cung lớn )

- Số đo của nửa đường tròn bằng 1800

- Nếu C là một điểm trên cung AB thì sd AB  =sdAC   sdCB 

Câu 2 : Các định lý liên hệ giữa cung và dây :

a) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn , hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại

b) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn , cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại c) Trong một đường tròn , hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

d) Trong một đường tròn , đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy

e) Trong một đường tròn , đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không qua tâm) thì chia cung dây ấy thành hai cung bằng nhau )

f) Trong một đường tròn , đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì ^ với dây căng cung ấy và ngược lại

Câu 3: Góc nội tiếp :

a) Định nghĩa : Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của nó chứa hai dây cung của đường tròn đó

b) Định lý : Trong một đường tròn , số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

c) Hệ quả : Trong một đường tròn :

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

- Góc nội tiếp nửa chắn đường tròn là góc vuông và ngược lại , góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn

Câu 4 : Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung :

a) Khái niệm : Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm , một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung

b) Định lý : Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn c) Hệ quả : Trong một đường tròn , góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Câu 5 : Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

a) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

Câu 6 : Quỹ tích cung chứa góc : Quỹ tích cacù điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc không đổi là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng đó ( 00 <  < 1800 )

Câu 7 : Tứ giác nội tiếp :

a) Định nghĩa : Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp

+ Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn

+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn

b) Tính chất : Trong tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 1800

c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp :

+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

+ Tứ giác có các góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định ).Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 

v Hình thang nội tiếp được đường tròn là hình thang cân và ngược lại

v Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp

Câu 8: Độ dài đường tròn , độ dài cung , diện tích hình tròn , diện tích hình quạt

BỘ ĐỀ ÔN TẬP HK II TOÁN 9

ĐỀ 1Câu 1 :

Giải các phương trình và hệ phương trình sau :

Cho phương trình 2x2 + 3x - 14 = 0 có hai nghiệm là x1 , x2

Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức

A =

2 1

1 1

a) Chứng minh : AD.AC = AE AB

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE , gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh AH vuông góc vớiBC

c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm

Chứng minh ANM = AKN

3 3

5 ) 2 1 ( ) 2 1 (

y x

y x

Bài 2:

b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị hàm số y=2x+1 và hàm số vừa xác định ở câu a)

13 3y

2x

1 9

x

6 3x

Bài 2 : Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình :

Một đội xe tải dự định chuyển 105 tấn gạo từ kho dự trữ Quốc gia về cứu trợ đồng bào bị bão lũ, vớiđiều kiện mỗi xe đều chuyển số tấn gạo như nhau Đến khi vận chuyển có hai xe được điều động làm côngviệc khác , vì vậy mỗi xe phải chuyển thêm sáu tấn nữa mới hết số gạo cần chuyển Hỏi số xe tải ban đầu củađội là bao nhiêu xe ?

Bài 4 : Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB Gọi C,D là hai điểm thuộc nửa đường tròn.

Các tia AC, AD cắt tia tiếp tuyến Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B, E )

a) Chứng minh : EB2 = EC EA

b) Chứng minh : Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn

c) Tính phần diện tích nửa hình tròn (O;R) nằm bên ngoài tứ giác ACDB theo R trong trường hợpCÔD = 300 ; DÔB = 600

a) Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm A(1; 1) Vẽ (P) với a tìm được

b) Một đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O và song song đường thẳng y = x  2 Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Bài 3 :

Cho đường tròn tâm O bán kính R = 3 cm và một điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn sao cho SO

= 5cm Vẽ tiếp tuyến SA với A là tiếp điểm và cát tuyến SCB không qua tâm sao cho O nằm trong góc ASB

;C nằm giữa S và B Gọi H là trung điểm của CB

a) Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn

b) Tính độ dài của đường tròn ngoại tiếp tứ giác SAOH

ĐỀ 5Học sinh chọn một trong 2 câu sau:

Câu 1: Phát biểu định lý Vi-et

Áp dụng: Cho phương trình bậc hai: x 2  x120

Có 2 nghiệm x 1 , x 2 Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức

2

1 x

1 x

1



Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lý về số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

B Bài toán bắt buộc :

Bài 1 : a) Giải hệ phương trình: 

1 y

2 x 3

b) Giải phương trình: 3

1 x

4 2 x

Bài 2 Cho phương trình x 2 xm 10

a) Giải phuơng trình khi m = -2

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện x  1 x 2

a) Chứng minh AD là tia phân giác của gócC A ˆ B

b) Chứng minh tứ giác ECDF là tứ giác nội tiếp

c) Cho CD = R Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung C DB với dây CB

ĐỀ 6 Học sinh chọn một trong 2 câu sau:

Câu 1: Phát biểu định lý Vi-et

Áp dụng: Cho phương trình bậc hai: x 2  x120

Có 2 nghiệm x 1 , x 2 Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức

2

1 x

1 x

1



Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lý về số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

B Bài toán bắt buộc :

Bài 1 : a) Giải hệ phương trình: 

1 y

2 x 3

b) Giải phương trình: 3

1 x

4 2 x

Bài 2 Cho phương trình x 2 xm 10

c) Giải phuơng trình khi m = -2

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện x  1 x 2

d) Chứng minh AD là tia phân giác của gócC A ˆ B

e) Chứng minh tứ giác ECDF là tứ giác nội tiếp

f) Cho CD = R Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung C DB với dây CB

2

5 2

a Giải hệ pt khi m = 8;

b Tìm m để hệ pt trên có nghiệm (x, y) sao cho x > 0; y > 0

Bài 2: Cho pt: x2 – 2mx – 5 = 0 (1)

a Giải pt khi m = 2;

b Chứng minh pt luôn có nghiệm với mọi giá trị của m;

1

2 2

x

và kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) sao cho A và B cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OH Gọi E là giao điểm của BH với (O); đặt OA = a (a > R)

a Chứng minh: OBAH nội tiếp;

b Chứng minh: BÔC = 2AÔH;

nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm ?

Câu 2/ Cho phương trình 3x2 + 4(m - 1)x - m2 = 0

a/ Giải hệ khi m = 2

b/ Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt ? Tìm

hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m ?

Câu 3/ Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109

Tìm hai số đó ?

Câu 4/ Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có bán kính

đáy là r = 3,1 cm và chiều cao h = 2,4 cm ?

Câu 5/ Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M là

một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đó Tiếp tuyến tại M

của (O) cắt các tiếp tuyến Ax tại A và tiếp tuyến By tại B của (O)

b) Giải hệ phương trình khi a = - 2

Bài 2: Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P)

a) Chứng tỏ (P) đi qua điểm M(1;2)

b) Vẽ (P)

c) Tim toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng y=2007x+2009

Bài 3: Một đám đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 15m và có diện tích 2700m2 Tính chu vi

đám đất

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D và

cắt đường tròn tại E

a) Chứng minh OE vuông góc với BC

b) Gọi S là giao điểm của BC với tiếp tuyến của đường tròn tại A Chứng minh tam giác SAD cân.c) Chứng minh SB.SC = SD2

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A quay quanh cạnh BC Tính thể tích hình sinh ra bởi tam giác , biết

3 2

y x

y x

Câu 2 : Vẽ đồ thị hàm số y =

4

1

x2

Câu 3): Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0 (ẩn x, tham số m)

a) Giải phương trình khi m = 3

b) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

c) Đặt A = 2 1 2

2

2

1 x 6 x x

x   Chứng minh A = m2 – 8m + 8 Tính giá trị nhỏ nhất của A

Câu 4 : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3cm, đường chéo 15cm Tính các kính thước của

hình chữ nhật đó

Câu 5 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm thuộc nửa đường tròn Trên đường kính AB

lấy điểm C sao cho AC<CB Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Đường thẳng qua M vuông gócvới MC cắt Ax ở P, đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By ở Q Gọi D là giao điểm của CQ và BM; E

là giao điểm của CP và AM Chứng minh:

a/ Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp

1.Khái niệm

x là căn bậc hai của số không âm a  x2 = a Kí hiệu: x  a

2.Điều kiện xác định của biểu thức A

Biểu thức A xác định  A 0 

3.Hằng đẳng thức căn bậc hai

§2.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đặt  ACB   ; ABC  khi đó:

Kết quả suy ra:

1) sin   cos ;  cos   sin ;  tg   cotg ;  cot g    tg

VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.

a) Chứng minh AC vuông góc với BD

3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; BAC = 2;   450 Kẻ các đường cao AE, BF

a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc 

b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc  và 2, các cạnh của tam giác ABF, BFC

c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:

2

1) sin 2 2sin cos ;

2tg 3) tg2

-Giải phương trình vừa tìm được

-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận

3.Phương trình tích

Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó Chẳng hạn: Với phươngtrình A(x).B(x).C(x) = 0

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)

Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0 Song giá trị cụ thể của a, b ta khôngbiết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình

-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất b

x a



-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức

A khi A 0 A

d) Lập bảng xét dấu

x 3 7

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.

VD2.Giải và biện luận phương trình sau

Vậy:

-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a)

-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

VD3.Giải các hệ phương trình sau

 

2

2 2

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương

§4.CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Tam giác bằng nhau

c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn

d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau

2.Chứng minh hai góc bằng nhau

-Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, …

-Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh

-Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh

-Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặchai cung bằng nhau của một đường tròn, …)

3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

-Dùng đoạn thẳng trung gian

-Dùng hai tam giác bằng nhau

-Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tamgiác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, …

-Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một đường tròn, …

-Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, …

4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song

-Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, …-Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba.

-Áp dụng định lý đảo của định lý Talet

-Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác

-Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn

5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

-Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác

-Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại

-Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác

-Đường kính đi qua trung điểm của dây

-Phân giác của hai góc kề bù nhau

6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng

-Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng

-Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp,

-Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B

7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy

-Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác

-Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó

-Dùng định lý đảo của định lý Talet

B.MỘT SỐ VÍ DỤ

VD1.Cho một nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn (O; R) Hai tiếp tuyến tại B và D cắt

nhau ở T

a) Chứng minh rằng OT//AB.(góc BAD = góc TOD)

b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.(phân giác BOD; song song với AB)

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác TBD theo R.(P = 3 3R; S =

VD2.Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm AO Các đường vuông góc với AB tại M

và O cắt nửa đường tròn tại D và C

a) Tính AD, AC, BD và DM theo R.(AD = R; AC = R 2; BD = R 3; DM = R 3

4 )b) Tính các góc của tứ giác ABCD.(ABD = 300; ABC = 450; BCD = 1200; ADC = 1350)

c) Gọi H là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC Chứng minh rằng IH vuông góc với AB.(AC, BD là các đường cao của tam giác IAB)

VD3.Cho tam giác ABC đều cạnh a Kéo dài BC một đoạn CM = a.

a) Tính các góc của tam giác ACM.(ACM = 1020; CAM = CMA = 300)

b) Chứng minh Am vuông góc với AB.(MAB = 900)

c) Kéo dài CA một đoạn AN = a và kéo dài AB một đoạn BP = a Chứng tỏ tam giác MNP đều.(tgMCN = tgNAP = tgPBM)

C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M trên đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB

và AD