Phßng gi¸o dơc vµ ®µo t¹o hun ®oan hïng §Ị thi chän häc sinh n¨ng khiÕu to¸n líp 6 N¨m häc 2008-2009 Ngµy thi: 28 th¸ng 04 n¨m 2009 (Thêi gian lµm bµi:90 phót Kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị)– Bµi 1: ( 3 ®iĨm ) a) Khơng quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: 101 100 99 98 3 2 1 101 100 99 98 3 2 1 A + + + + + + + = − + − + + − + 4.15 13 15.2 1 2.11 3 11.1 4 1.2 5 B ++++= b) T×m x ∈ N; biÕt: 20 20 20 20 3 11.13 13.15 15.17 53.55 11 x − − − − − = Bµi 2: ( 2 ®iĨm ) Cho A = 3n 2n + − .Tìm giá trị của n để: a) A là một phân số. b) A là một số ngun. Bµi 3: ( 2 ®iĨm ) a)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 18 1 y 3 9 x =− b) Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và n 2 – n chia hết cho 5 hãy tìm chữ số tận cùng của n. Bµi 4: ( 3 ®iĨm ) Cho ®iĨm O; h·y vÏ n tia chung gèc O. a) Hái cã bao nhiªu gãc ®ỵc t¹o thµnh ? b) NÕu sè gãc ®ỵc t¹o thµnh lµ 28 th× ph¶i vÏ bao nhiªu tia chung gèc O ®ã ? Hä vµ tªn thÝ sinh: ………………………………………… SBD:…………………… C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Phßng gi¸o dơc vµ ®µo t¹o hun ®oan hïng Híng dÉn chÊm häc sinh n¨ng khiÕu to¸n líp 6 N¨m häc 2008-2009 A. Mét sè chó ý khi chÊm bµi: Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hớng dẫn chấm. Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. B. Đáp án và biểu điểm Bài 1: ( 3 điểm ) a) Khụng quy ng hóy tớnh hp lý cỏc tng sau: 101 100 99 98 3 2 1 101 100 99 98 3 2 1 A + + + + + + + = + + + + 4.15 13 15.2 1 2.11 3 11.1 4 1.2 5 B ++++= b) Tìm x N; biết: 20 20 20 20 3 11.13 13.15 15.17 53.55 11 x = Đáp án Thang điểm Ta có: a) 101 100 99 98 3 2 1 101 100 99 98 3 2 1 A + + + + + + + = + + + + = 101 (100 1) (99 2) (50 51) (101 100) (99 98) (3 2) 1 + + + + + + + + + + + = 51.101 101 51 = 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 7.( ) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 7.( ) 7.( ) 3 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 4 4 B = + + + + = + + + + = + + + + = = = 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 20 20 20 20 3 11.13 13.15 15.17 53.55 11 x = 2 2 2 3 10 11.13 13.15 53.55 11 x + + + = ữ 1 1 1 1 1 1 3 10 11 13 13 15 53 55 11 x + + + = ữ 1 1 3 10 11 55 11 x = ữ x=1 0,25 0.25 0.25 0.25 Bài 2: ( 2 điểm ) Cho A = 3n 2n + − .Tìm giá trị của n để: a) A là một phân số. b) A là một số ngun. §¸p ¸n Thang ®iĨm 3n 2n A)a + − = l phà ©n sè khi: n-2 ∈ Z , n+3 ∈ Z ⇔ n ∈ Z v n+3à ≠ 0 ⇔ n ≠ -3 VËy A lµ ph©n sè khi ⇔ n ∈ Z v nà ≠ -3 0.5 0.5 3n 5 1 3n 5)3n( 3n 2n A)b + −= + −+ = + − = A lµ sè nguyªn khi n+3 ∈ Ư(5) ⇔ n+3 ∈ { } 5;5;1;1 −− ⇔ n ∈ { } 2;8;2;4 −−− 0.5 0.25 0.25 Bµi 3: ( 2 ®iĨm ) a)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 18 1 y 3 9 x =− b) Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và n 2 – n chia hết cho 5 hãy tìm chữ số tận cùng của n §¸p ¸n Thang ®iĨm b) Từ 18 1 y 3 9 x =− ta có: 18 1x2 18 1 9 x y 3 − =−= (x,y ∈ N) Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y ∈ Ư(54) = { } 54;27;18;9;6;3;2;1 , vì 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. Vậy y ∈ { } 541862 ;;; Ta có bảng sau: VË y (x;y) ∈ { } )54;1();18;2();6;5();2;14( 0.25 0.25 0.25 0.25 b) Vì n chia hết cho 2 và n 2 – n = n(n – 1) chia hết cho 5 nên n(n – 1) là số chẵn và có chữ số tận cùng bằng 0 do đó n 2 và n phải có chữ số tận cùng giống nhau Vậy chỉ có thể xảy ra các trường hợp là: n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc n – 1 có chữ số tận cùng bằng 5 ( vì n chẵn) Vì n chẵn nên n – 1 không thể bằng 0 vậy n – 1 có chữ số tận cùng bằng 5 Vậy n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 6. 0.5 0.25 0.25 y 2 6 18 54 2x-1 27 9 3 1 x 14 5 2 1 Bài 4: ( 3 điểm ) Cho điểm O; hãy vẽ n tia chung gốc O. a) Hỏi có bao nhiêu góc đợc tạo thành ? b) Nếu số góc đợc tạo thành là 28 thì phải vẽ bao nhiêu tia chung gốc O đó ? Đáp án Thang điểm a) Vẽ n tia chung gốc O thì mỗi tia tạo với n - 1 tia còn lại thành n - 1 góc. -Vì có n tia nên tạo thành n(n - 1) góc -Do mỗi góc đợc tính hai lần nên có tất cả ( 1) 2 n n góc 0.75 0.75 b) Biết số góc tạo thành là 28 nên ta có: ( 1) 2 n n =28 n (n - 1) = 56 Suy ra n = 8 Vậy phải vẽ 8 tia chung gốc O 0.5 1.0 Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 7 Năm học 2008-2009 Ngày thi: 28 tháng 04 năm 2009 (Thời gian làm bài:90 phút Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 3 điểm ) 1) Tìm x biết a) (3x-2) 5 + 243 = 0; b) 3 5 2x x = + 2) Biết 25333109 4321 444444 =++++++ Tính 44444 2018 642 +++++= S Bài 2 (2.5 điểm) Cho các số a; b; c; d 0 thoả mãn d cbad c dbac b dcab a dcba +++ = +++ = +++ = +++ 3333 Tính giá trị của biểu thức cb ad ba dc da cb dc ba M + + + + + + + + + + + = Bài 3 (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng ta có: n 3 + 5n M 6 Bài 4 (2.5 điểm) Cho ABC cân tại A và góc A = 80 0 . Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc BAI = 50 0 ; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho góc ABK = 30 0 . Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng HIK cân. Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Hớng dẫn chấm học sinh năng khiếu toán lớp 7 Năm học 2008-2009 A. Một số chú ý khi chấm bài: Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hớng dẫn chấm. Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. B. Đáp án và biểu điểm Bài 1: ( 3 điểm ) 1) Tìm x biết a) (3x-2) 5 + 243 = 0; b) 3 5 2x x = + 2) Biết 25333109 4321 444444 =++++++ Tính 44444 2018 642 +++++= S Đáp án Thang điểm a) (3x-2) 5 + 243 = 0 (3x-2) 5 = -243 (3x-2) 5 = (-3) 5 3x-2 = -3 => 3x = -1 => x = 3 1 1.0 b) 3 5 2x x = + Lý luận suy ra 3x 5 = x + 2 (1) hoặc 3x 5 = - (x + 2) (2) Giải ra tìm nghiệm x = 7 2 và x= 3 4 1.0 2) Có ( ) ( ) ( ) ( ) 4444 10.2 3.22.22.1 ++++=S 44444444 10.2 3.22.21.2 ++++= ( ) 44444 10 321.2 ++++= 25333.2 4 = 405328= 1.0 Bài 2 (2.5 điểm) Cho các số a; b; c; d 0 thoả mãn d cbad c dbac b dcab a dcba +++ = +++ = +++ = +++ 3333 Tính giá trị của biểu thức cb ad ba dc da cb dc ba M + + + + + + + + + + + = Đáp án Thang điểm Có d cbad c dbac b dcab a dcba +++ = +++ = +++ = +++ 3333 d dcba c dcba b dcba a dcba +++ += +++ += +++ += +++ + 2222 ( ) 1 d dcba c dcba b dcba a dcba +++ = +++ = +++ = +++ - Nếu 0+++ dcba từ (1) 41111 =+++==== Mdcba - Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 411110 =+++==+++ Mdcba 0.5 1.0 0.5 0.5 Bài 3 (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng ta có: n 3 + 5n M 6 Đáp án Thang điểm Xét: n 3 + 5n = n 3 n + 6n = n(n 2 1) + 6n = ( n-1)n(n+1) + 6n Vì n nguyên dơng nên ta có: ( n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 mà ( 2,3 ) =1 => ( n-1)n(n+1) M 6 Vậy n 3 + 5n M 6 n nguyên dơng ( ĐPCM ) 1.0 0.5 0.5 Bài 4 (2.5 điểm) Cho ABC cân tại A và góc A = 80 0 . Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc BAI = 50 0 ; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho góc ABK = 30 0 . Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng HIK cân. Đáp án Thang điểm Ta có : Góc B = C = 50 0 A B C H M I K N Vẽ tam giác đều ABM ( M, C cùng năm trên nửa mặt phẳng bờ AB ) => CBM = 60 0 50 0 = 10 0 AIM = BIM ( c.c.c) Góc MIC = MAI = 10 0 Góc AMI = BMI = 60 0 : 2 = 30 0 Trên BK lấy điểm BN sao cho BN = MI => ABN = BMI ( c.g.c) => Góc BAN= MBI = 10 0 và AN = BI mà AI = BI ( IAB cân tại I ) => AN = AI (1) NAK cân vì góc NAK = NKA = 70 0 AN = NK (2) Từ (1) và (2) có: NK = AI (3) HAN cân vì góc HAN = HNA = 40 0 HN = HA (4) Từ (3) và (4) HK = HI hay HIK cân tại H ( ĐPCM ) 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 8 Năm học 2008-2009 Ngày thi: 28 tháng 04 năm 2009 (Thời gian làm bài:120 phút Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2.0 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: a) 2 7 6x x+ + b) 4 2 2008 2007 2008x x x+ + + Bài 2: ( 2.0 điểm ) Chứng minh rằng: Cho x > 0 thoả mãn 2 2 1 7x x + = . Tính 5 5 1 ?x x + = Bài 3: ( 3.0 điểm ) a) Cho a b = 1. Chứng minh a 2 + b 2 2 1 b) Cho 6a 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a 2 + 25b 2 Bài 4: ( 3.0 điểm ) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN. b) 1 AB NB AN NC += Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 8 Năm học 2008-2009 C. Một số chú ý khi chấm bài: Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hớng dẫn chấm. Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. D.Đáp án và biểu điểm Bài 1: (2.0 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: a) 2 7 6x x+ + b) 4 2 2008 2007 2008x x x+ + + Đáp án Thang điểm a) ( ) ( ) 2 2 7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + + ( ) ( ) 1 6x x= + + 1.0 b) 4 2 4 2 2 2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x+ + + = + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x= + + + + + + = + + + 1.0 Bài 2: ( 2.0 điểm ) Chứng minh rằng: Cho x > 0 thoả mãn 2 2 1 7x x + = . Tính 5 5 1 ?x x + = Đáp án Thang điểm Ta có: 2 2 2 1 1 7 ( ) 2 7x x x x + = + = 1 3x x + = Vậy ta có: 5 5 1 x x + = 1 ( )(x x + 4 2 4 2 1 1 1)x x x x + + =3[ 2 2 2 1 ( ) 2 7 1x x + + ] = 3.(49-8) = 123 0.25 Bài 3: ( 3.0 điểm ) a) Cho a b = 1. Chứng minh a 2 + b 2 2 1 b) Cho 6a 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a 2 + 25b 2 Đáp án Thang điểm a) Từ a b =1 a =1 + b a 2 =1 + 2b + b 2 Ta có : a 2 + b 2 2 1 1 + 2b + 2b 2 2 1 4b 2 + 4b +1 0 (2b + 1) 2 0. BĐT này luôn đúng. Vậy a 2 + b 2 2 1 ( ĐPCM) Dấu = xẩy ra b =- 2 1 và a = 2 1 ; 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b) Cho 6a 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a 2 + 25b 2 Đặt x = 2a; y = - 5b. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 0.25 (3x + y) 2 (x 2 + y 2 )(9 + 1) => x 2 + y 2 10 1 Hay 4a 2 + 25b 2 10 1 . Dấu bằng xẩy ra <=> y 1 x 3 = <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b <=> 20 3 a; 50 1 b == 0.5 0.5 0.25 Bài 4: ( 3.0 điểm ) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN. b) 1 AB NB AN NC += Đáp án Thang điểm a) ANC vuông tại N (vì AM = MC = MN) CNM + MNA = 1v BAN + NAC = 1v Mà MNA = NAC => CNM = BAN Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN => BNE : BAN 0.5 0.25 0.5 0.25 b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN. Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng) => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) => BAN : BFA => 1 AB NB AN NC AB NBAB AN NC AB NBFN AN NC BA BF AN FA +==> + ==> + ==>= (Đpcm) 0.5 0.5 0.5 C F M N A E B