Một số bài toán th ờng gặp Bài 1. Chứng minh rằng: a = b = c nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ) 3 ) 3 a a b c ab ac bc b a b c a b c c a b c ab ac bc + + = + + + + = + + + + = + + Hớng dẫn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 a a b c ab ac bc a ab b a ac c b bc c a b a c b c a b a c a b c b c + + = + + + + + + + = + + = = = = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 b a b c ab ac bc a b c a b c ab ac bc a b a c b c a b a c a b c b c + + + + + = + + + + = + + = = = = = = 2 2 2 2 2 2 ) 2 2 2 3 3 3c a b c ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc + + + + + = + + + + = + + Theo câu (a) a b c = = Bài 2. Tính giá trị biểu thức : 4 4 4 a b c+ + biết rằng a + b + c = 0 và: 2 2 2 ) 1a a b c+ + = 2 2 2 ) 2b a b c+ + = Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b a c b c a b c a b c a b a c b c + + = + + + + + + + = + + + + Mà ta có: ( ) 2 2 2 0 2 0a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + = ( ) 2 2 2 1 : 2 2 ab ac bc a b c + + = + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 2 4 ab ac bc a b a c b c ab c abc a bc + + = + + + + + = 2 2 2 2 2 2 1 4 a b a c b c + + = ( ) 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 2. 4 2 a b c a b c+ + = + + = = Câu b) làm tơng tự : ta có kết quả = 2 Bài 3. Cho a + b + c = 0 Chứng minh 4 4 4 a b c+ + bằng mỗi biểu thức sau: ( ) 2 2 2 2 2 2 ) 2a a b b c a c+ + Giải: a) Bình phơng hai vế của a + b + c = 0 ta đợc ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 2 (1) a b c ab ac bc a b c ab ac bc + + + + + = + + = + + Bình phơng hai vế của (1) ta đợc ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2a b c a b a c b c+ + + + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2a b a c b c abc a b c+ + + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 4 a b a c b c= + + Suy ra : ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2a b c a b a c b c+ + = + + Bài 4. Cho x + y = a và x.y = b Tính giá trị của các biểu thức sau theo a, b 2 2 3 3 4 4 5 5 ) ; ) ; ) ; )a x y b x y c x y c x y+ + + + Giải. ( ) 2 2 2 2 ) 2 2a x y x y xy a b+ = + = ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3 ) ( ) 2 3b x y x y x y xy x y a a b ab a ab+ = + + + = = ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 ) 2 2 2 4 4 2 4 2c x y x y x y a b b a a b b b a a b b+ = + = = + = + ( ) ( ) 5 5 2 2 3 3 2 2 5 3 2 ) ( ) 5 5d x y x y x y x y x y a a b ab+ = + + + = + Bài 5.a) Cho x + y =1 Tính giá trị biểu thức: 3 3 3x y xy+ + b) Cho x y = 1 Tinh giá trị biểu thức: 3 3 3x y xy Giải. ( ) 3 3 3 3 3 ) 1 3 ( ) 1 3 1 a x y x y xy x y x y xy + = + + + = + + = c) Câu b làm tơng tự (ĐS = 1) Bài 6. Cho 1 a b c b c a c a b + + = + + + chứng minh rằng: 2 2 2 0 a b c b c a c a b + + = + + + Giải Nhân cả hai vế của 1 a b c b c a c a b + + = + + + với a + b + c ta đợc ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a a b c b b c a c c a b a b c b c a c a b + + + + + + + + = + + + + + Nên 2 2 2 a b c a b c a b c b c a c a b + + + + + = + + + + + 2 2 2 0 a b c b c a c a b + + = + + + Bài 8.Cho 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Chứng minh: 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Giải. Từ 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + ta có: 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 a b c a b c + + = + + ( ) 0 a b a b ab c a b c + + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c a b c a b ab a b c a b c ab a b ac bc c ab a b a b c c b c a b a b b c a c b c a c + + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + = + + + = + = + = Nếu a + b =0 2009 2009 a b a b = = Ta có: 2009 2009 2009 1 1 1 a b c + + = 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c c + + = Và 2009 2009 2009 1 a b c = + + 2009 2009 2009 2009 1 1 b b c c = + + Suy ra điều phải chứng minh. Nếu b + c = 0; a + c = 0 ta chứng minh tơng tự Bài 9. Chứng minh nếu ba số a, b, c thoả mãn : a + b + c = 2010 và 1 1 1 1 2010a b c + + = Thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2010 Giải Theo bài ra ta có: 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + biến đổi tơng tự bài 8 ta có 0 0 0 a b a c b c + = + = + = Nếu a + b = 0 mà a + b + c = 2010 suy ra c = 2010 Nêu a + c = 0 mà a + b + c = 2010 suy ra b = 2010 Nêu b + c = 0 mà a + b + c = 2010 suy ra a = 2010 Bài 10. Cho x, y, z thoả mãn : x.y.z =1; 1 1 1 x y z x y z + + = + + Tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) ( ) 19 5 2010 1 1 1P x y z= Giải: Từ 1 1 1 x y z x y z + + = + + 0 1 0 xy xz yz x y z x y z xy xz yz xyz x y z xy xz yz x y z xy xz yz xyz + + + + = + + = + + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 ( 1) 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 x xyz yz xy y xz z x yz x y x z x x yz y z x y z x y x y z z + = + = + = = = = = = = = Do đó P = 0 . b c a b c a b c b c a c a b + + + + + = + + + + + 2 2 2 0 a b c b c a c a b + + = + + + Bài 8. Cho 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Chứng minh: 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a. một số bằng 2010 Giải Theo bài ra ta có: 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + biến đổi tơng tự bài 8 ta có 0 0 0 a b a c b c + = + = + = Nếu a + b = 0 mà a + b + c = 2010 suy ra c = 2010