bồi dưỡng toán 6

®Çy ®ñ c¸c d¹ng bµi to¸n båi giái 6 ®· tæng hîp D·y c¸c sè viÕt theo qui luËt Bµi 1: TÝnh: A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bµi 2: TÝnh: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 HD: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) Bµi 3: TÝnh: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) Bµi 4: TÝnh: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101- 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 Bµi 5: TÝnh: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) Bµi 6: TÝnh: A = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 HD: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bµi 7: TÝnh: A = 1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 HD: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bµi 8: TÝnh: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + +99 2 -100 2 HD: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) Bµi 9: TÝnh: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Dãy các số viết theo qui luật Bài 1: Tính: A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bài 2: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Bài 3: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 HD: Bài 4: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Bài 5: Tính: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 Bài 6: Tính: A = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 Bài 7: Tính: A = 1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 Bài 8: Tính: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + +99 2 -100 2 Bài 9: Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 CHUYÊN Đ ề ƯC - BC Bài toán mẫu : Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan h c bit gia CLN, BCNN v tớch ca hai s nguyờn dng a, b, ú l : ab = (a, b).[a, b], trong ú (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b. Vic chng minh h thc ny khụng khú : Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1 (*) T (*) => ab = mnd 2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd 2 = ab => ab = (a, b).[a, b] . (**) Bi toỏn 2 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6. Bi toỏn 4 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = 5. Bài toán 5 : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) CHUY£N §Ò D·Y Sè VIÕT THEO QUY LUËT D ¹ng 1 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng b t u t b i toán tính t ng r t quen thu c sau : ắ đầ ừ à ổ ấ ộ B i toán A :à Tính t ng : ổ L i gi i :ờ ả Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có b i à toán khó h n chút xíuơ B i 1 :à Tính t ng : ổ V t t nhiên ta c ng ngh n b i toán ng c. à ấ ũ ĩ đế à ượ B i 2 :à Tìm x thu c N bi t : ộ ế H n n a ta có : ơ ữ ta có b i toán à B i 3 :à Ch ng minh r ng : ứ ằ Do v y, cho ta b i toán ậ à t ng nh khó“ ưở ư ” B i 4 :à Ch ng t r ng t ng : ứ ỏ ằ ổ không ph i l s nguyên. ả à ố Chúng ta c ng nh n ra r ng n u aũ ậ ằ ế 1 ; a 2 ; ; a 44 l các s t nhiên l n à ố ự ớ h n 1 v khác nhau thì ơ à Giúp ta n v i b i toán đế ớ à Hay v à Khó sau : B i 5 :à Tìm các s t nhiên khác nhau aố ự 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a 43 ; a 44 sao cho Ta còn có các b i toán “g n g i” v i b i toán 5 nh sau : à ầ ũ ớ à ư B i 6 :à Cho 44 s t nhiên aố ự 1 ; a 2 ; ; a 44 th a mãn ỏ Ch ng minh r ng, trong 44 s n y, t n t i hai s b ng nhau. ứ ằ ố à ồ ạ ố ằ B i 7 :à Tìm các s t nhiên aố ự 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a 44 ; a 45 th a mãn aỏ 1 < a 2 a 3 < < a 44 < a 45 v à Các b n còn phát hi n c i u gì thú v n a r i ch ng ?ạ ệ đượ đ ề ị ữ ồ ă D¹ng 2: so s¸nh Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2 L i gi i :ờ ả Có khá nhi u cách ch ng minh nh “ ánh giá” v trái b i ề ứ ờ đ ế ở các ki u khác nhau. Ta g i v trái c a b t ng th c l A. ể ọ ế ủ ấ đẳ ứ à Cách 1 : Ta có : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) T (1) v (2) => : ừ à A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 Cách 2 : Ta có : 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) T (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 ừ Cách 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5) 1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6) T (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 ừ Cách 4 : 1/6 + 1/7 + + 1/11 < 6.1/6 = 1 (7) 1/12 + 1/13 + + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8) T (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 ừ Cách 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11) T (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. ừ ĐỀ SỐ HỌC 6 NÂNG CAO 1. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó: a) Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3. b) Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 5. 2. * Ghi số nhỏ nhất có:a) chín chữ số b) n chữ số (n∈ N*) c) mười chữ số khác nhau ** Ghi số lớn nhất có: a) chín chữ số b) n chữ số (n∈ N*) c) mười chữ số khác nhau 3. Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy số sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Hỏi: a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy? b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gì? Chữ số đó của số tự nhiên nào? 4. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông: a) 2  {1; 2; 6} e) ∅  {a} b) 3  {1; 2; 6} f) 0  {0} c) {1}  {1; 2; 6} g) {3; 4}  N d) {2;1; 6}  {1; 2; 6} h) 0  N* 5. Trong đợt thi đua "Bông hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giáo Việt Nam - Lớp 6/1 có 45 bạn đạt từ 1 điểm 10 trở lên, 38 bạn đạt từ 2 điểm 10 trở lên, 15 bạn đạt từ 3 điểm 10 trở lên, 9 bạn đạt 4 điểm 10, không có ai đạt trên 4 điểm 10. Hỏi trong đợt thi đua đó, lớp 6/1 có tất cả bao nhiêu điểm 10? 6. Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phù Đổng", kết quả điều tra ở một lớp cho thấy; có 25 học sinh thích bóng đá, 22 học sinh thích điền kinh, 24 học sinh thích cầu lông, 14 học sinh thích bóng đá và điền kinh, 16 học sinh thích bóng đá và cầu lông, 15 học sinh thích cầu lông và điền kinh, 9 học sinh thích cả 3 môn, còn lại là 6 học sinh thích cờ vua. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh? 7. Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1000 phải dùng bao nhiêu chữ số 5? 8. Điền các chữ số thích hợp vào ô trống để tổng ba chữ số liền nhau bằng 23: 9. Tìm số có hai chữ số sao cho số đó lớn hơn 6 lần tổng các chữ số của nó là 2 đơn vị. 10. Tìm số bị chia và số chia nhỏ nhất để thương của phép chia là 15 và số dư là 36. 11. Em hãy đặt các dấu (+) và dấu (-) vào giữa các chữ số của số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (có thể ghép chúng lại với nhau) để kết quả của phép tính bằng 200. 12. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó là 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63 đơn vị. 13. Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia là 97. Biết rằng thương là 4 và số dư là 7. Tìm số bị chia và số chia. 14. So sánh: 2 1000 và 5 400 15. Tìm n ∈ N, biết: 6 8 a) 2 n . 8 = 512 b) (2n + 1) 3 = 729 16. Tính giá trị của biểu thức: a) 3 9 : 3 7 + 5 . 2 2 b) 2 3 . 3 2 - 5 16 : 5 14 17. Tìm x, y ∈ N, biết rằng: 2 x + 242 = 3 y 18. Tìm x ∈ N, biết: a) 1440 : [41 - (2x - 5)] = 2 4 . 3 b) 5.[225 - (x - 10)] -125 = 0 19. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 2 15 : 2 13 b) [504 - (25.8 + 70)] : 9 - 15 + 19 0 c) 5 . {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15} d) [1104 - (25.8 + 40)] : 9 + 3 16 : 3 12 20. Tìm x biết: a) (x - 15) : 5 + 22 = 24 b) 42 - (2x + 32) + 12 : 2 = 6 c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]}. x = 86 21. Xét xem: a) 2002 2003 + 2003 2004 có chia hết cho 2 không? b) 3 4n - 6 có chia hết cho 5 không? (n ∈ N*) c) 2001 2002 - 1 có chia hết cho 10 không? 22. Tìm x, y để số xy30 chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2. c) 4 7 . 3 4 . 9 6 6 13 d) 2 16 + 2 8 2 13 + 2 5 23. Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số, tận cùng bằng 6 và chia hết cho 9. NANG CAO B i toán 6 : Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t a + b = 128 v (a, b)à ố ươ ế à 3 CHUY£N §Ò D·Y Sè VIÕT THEO QUY LUËT 3 D¹ng 1 : T M T BÀI TOÁN T NH T NGỪ Ộ Í Ổ 3 B i 1 : Ch ng minh r ng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2à ứ ằ 4 S H C 6 NÂNG CAOĐỀ Ố Ọ 4 B i 1 à Cho số M = (1/16)2002. Tính tổng của 2002 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của số M khi viết dưới dạng số thập phân. B i già ải : Vì 1/16 < 1/10 nên M = (1/16)2002 < (1/10)2002 = (0,1)2002 = 0, 00 01 ( 2001 chữ số 0). Do đó M phải có ít nhất l 2002 chà ữ số 0 ngay sau dấu phẩy. Từ đó ta có tổng của 2002 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy khi viết M dưới dạng số thập phân l 0. à Nhận xét : + Nhiều bạn nêu ra mấy trường hợp : 1/16 = 0,0625 ; (1/16)2 = 0,00390625 ; (1/16)3 = 0,000244140625 V tà ừ đó => (1/16)2002. có 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy khi viết M ở dạng số thập phân. Từ mấy trường hợp riêng m => trà ường hợp chung thì điều đó chỉ l dà ự đoán (cần phi chứng minh). Trong toán học, người ta gọi phép suy diễn đó l phép qui nà ạp không ho n to n. à à + Bạn Ho ng Minh Hià ếu, 7C, THCS Lê Quý Đôn, Bỉm Sơn, Thanh Hóa đánh giá : M = (1/16)2002 = (1/2)8008 = (1/2)8.(1/2)8000 < ((1/2)10)8000 < (1/1024)800 < (1/1000)800 = (1/10)2400 = 0,00 01 (2399 chữ số 0). Từ đó có thể thấy tổng của 2400 chữ số đầu tiên ngay sau dấu phẩy của M viết dưới dạng số thập phân cũng bằng 0. + Bạn Phạm Huy Ho ng, 9B, trà ường THPTNK Trần Phú, Hi Phòng nhận xét : “Nếu M = (1/16)k với k N thì M = (1/16)k = (0,625/10 )k . Từ đó tổng của k chữ số đầu tiên ngay sau dấu phẩy ở dạng viết thập phân của M sẽ bằng 0. B i 4: Em hãy thay mà ật chữ cái bởi mật chữ số để phép tính dưới đây đúng (chữ cáI A D khác nhau thì thay chữ số khác nhau) TIME + TIME = MONEY Đẳng thức trên còn có ý nghĩa gì nữa không? B I già ải: Từ MONEY = TIME + TIME ≤ 9999 + 9999 = 19998. => M = 1, do đó E = 2 v Y = 4. à Lại vì : MONEY ≥ 10000 nên TIME ≥ 5000 => T ≥ 5 . 1) Nếu I = 0 thì N = 0 (loại vì I ≠ N ). 2) Nếu I = 3 thì N = 6. a) Với T = 5 thì có O = 0 ,vậy nghiệm b i toán l TIME = 5312 v MONEY = 10624 (1).à à à b) Với T = 7 có O = 4 (loại vì O = Y). c) Với T = 8 có O = 6 (loại vì O = N). d) Với T = 9 thì có O = 8 ta có nghiệm thứ hai của b i toán : à TIME = 9312 , MONEY = 18624 (2). 3) Nếu I = 5, thì N = 0. a) Với T = 6, có O = 3, nghiệm thứ ba của b i toán l TIME = 6512 v MONEY = 13024à à à (3). b) Với T = 7 => O = 5 (loại vì O = I), còn với T = 9 thì O = 9 ( loại) c) Với T = 8 có O = 7, nghiệm thứ tư của b i ra l : TIME = 8512 v MONEY = 17024 à à à (4). 4) Nếu I = 6 thì N = 2 (loại vì N = E) 5) Nếu I = 7 thì n = 4 (loại vì N = Y) 6) Nếu I = 8 thì N = 6, ta thấy các khả năng T = 5 v t = 9 không thoà ả mãn điều kiện b ià toán. Với T = 7 thì O = 5, ta có nghiệm thư năm của b i toán l : à à TIME = 7812 v MONEY = 15624 (5). à 7) Nếu I = 9 thì N = 8, dễ thấy trường hợp T = 5 bị loại. Với T = 6 thì O = 3, còn với T = 7 có O = 5. Nghiệm thứ sáu v thà ứ bẩy của b i toán l :à à TIME = 6912 v MONEY = 13824 (6) à TIME = 7912 v MONEY = 15824 (7) Và ậy bái toán có bẩy nghiệm như đã khẳng định ở trên. Đẳng thức TIME + TIME = MONEY còn có ý nghĩa l : Chúng ta phà ải qíy trọng thời gianvì rằng " Thời gian l v ng bà à ạc" TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng b t u t b i toán tính t ng r t quen thu c sau : ắ đầ ừ à ổ ấ ộ B i toán A :à Tính t ng : ổ L i gi i :ờ ả Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có b i toán khó h n à ơ chút xíu. B i 1 :à Tính t ng : ổ V t t nhiên ta c ng ngh n b i toán ng c. à ấ ũ ĩ đế à ượ B i 2 :à Tìm x thu c N bi t : ộ ế H n n a ta có : ơ ữ ta có b i toán à B i 3 :à Ch ng minh r ng : ứ ằ Do v y, cho ta b i toán ậ à t ng nh khó“ ưở ư ” B i 4 :à Ch ng t r ng t ng : ứ ỏ ằ ổ không ph i l s nguyên. ả à ố Chúng ta c ng nh n ra r ng n u aũ ậ ằ ế 1 ; a 2 ; ; a 44 l các s t nhiên l n h n 1 v khác à ố ự ớ ơ à nhau thì Giúp ta n v i b i toán đế ớ à Hay v à Khó sau : B i 5 :à Tìm các s t nhiên khác nhau aố ự 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a 43 ; a 44 sao cho Ta còn có các b i toán “g n g i” v i b i toán 5 nh sau : à ầ ũ ớ à ư B i 6 :à Cho 44 s t nhiên aố ự 1 ; a 2 ; ; a 44 th a mãn ỏ Ch ng minh r ng, trong 44 s n y, t n t i hai s b ng nhau. ứ ằ ố à ồ ạ ố ằ B i 7 :à Tìm các s t nhiên aố ự 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a 44 ; a 45 th a mãn aỏ 1 < a 2 a 3 < < a 44 < a 45 v à [...]... nào thỏa mãn điều kiện đề bài +) Nếu a = 6 thì : 244 < < 265 (p = 4 hoặc p = 6) Chỉ có một số thỏa mãn trường hợp này là : 264 2 = 69 6 96 +) Nếu a = 9 thì : 300 < < 317 (p = 3 hoặc p = 7) Trường hợp này cũng chỉ có một số thỏa mãn là : 3072 = 94249 Tóm lại có 7 số thỏa mãn điều kiện bài ra : 10201, 12321, 40804, 1 464 1, 44844, 69 6 96, 94249 Nhận xét : - Nếu bài toán có thêm điều kiện a, b, c đôi một khác... toán có thể phát biểu dưói dạng : Giải phương trình : Do vai trò của x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z và từ (1) ta => : 1/x ≤ 1/y ≤ 1/z < 1/2 => x ≥ y ≥ z ≥ 3 (2) Từ (1), (2) => 1/2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3/z => z ≤ 6 => 3 ≤ z ≤ 6 => z thuộc {3 ; 4 ; 5 ; 6} * Với z = 3, ta có : 1/x + 1/y + 1/3 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/3 = 1 /6 => 6x + 6y = xy => xy - 6x - 6y + 36 = 36. .. + 1 /6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 Cách 3 :1/5 + 1 /6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5) 1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6) Từ (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 Cách 4 : 1 /6 + 1/7 + + 1/11 < 6. 1 /6 = 1 (7) 1/12 + 1/13 + + 1/17 < 6. 1/12 = 1/2 (8) Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 Cách 5 : 1/5 + 1 /6 +... (25 - 31) + = ( -6) + ( -6) + ( -6) + Vì A có 40 số hạng nên sẽ có 20 cặp số có giá trị bằng -6 Do đó A = ( -6) 20 = -120 b) Ta xét 2 trường hợp : Trường hợp 1 : Với n chẵn Tương tự câu a, vì A có n số hạng nên sẽ có cặp số n/2 cặp số Do đó A = ( -6) .n/2 = - 3n Trường hợp 2 : Với n lẻ, khi đó n - 1 chẵn Ta có A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + = 1 + (- 7 + 13) + (- 19 + 25) + = 1 + 6 + 6 + Vì A có (n... + a5, a2 + a6, a3 + a4, a3 + a5, a3 + a6, a4 + a5, a4 + a6, a5 + a6 Vậy có tất cả : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 tổng 2) Phản chứng a6 ≤ 2011, => a5 ≤ 2010 Tổng nhỏ nhất là : a1 + a2 ≥ 2003 + 2004 = 4007 Tổng lớn nhất là : a5 + a6 ≤ 2010 + 2011 = 4021 Nhưng ta chú ý rằng có tất cả 15 số tự nhiên ≥ 4007 và ≤ 4021 Do 15 tổng trên khác nhau, => a1 + a2 = 4007 và a5 + a6 = 4021, tức là a2 = 2004, a6 = 2011, a1... bằng 6 nên A = 1 + 6 (n - 1)/2 = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2 Vậy A = -3n (với n chẵn) ; A = 3n - 2 (với n lẻ) Bài 4(1) : Cho 6 số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả mãn : 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 1) Nếu tính tổng hai số bất kì thì được bao nhiêu tổng? 2) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau Chứng minh a6 ≥ 2012 Lời giải : 1) Các tổng đó là a1 + a2, a1 + a3, a1 + a4, a1 + a5, a1 + a6, a2... z, ta có bảng : * Với z = 6, ta có : 1/x + 1/y + 1 /6 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1 /6 = 1/3 => : 3x + 3y = xy => => (x - 3)(y - 3) = 9 Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : * Vậy phương trình (1) có các nghiệm là : (42 ; 7 ; 3), (24 ; 8 ; 3), (18 ; 9 ; 3), (15 ; 10 ; 3), (12 ; 12 ; 3), (20 ; 5 ; 4), (12 ; 6 ; 4), (8 ; 8 ; 4), (10 ; 5 ; 5), (6 ; 6 ; 6) , cùng các hoán vị Từ đây, dễ dàng => phân số có... là S = a + (a + 2) + + (a + 40 06) = [ a + (a + 40 06) ] : 2 x 2004 = (a + 2003) x 2004 Do đó S = 8030028 tương đương với (a + 2003) x 2004 = 8030028 hay a = 2004 Vậy 8030028 = 2004 + 20 06 + 2008 + + 60 10 Nhận xét : Hầu hết các bạn giải đúng Một số bạn tính S hơi khác một chút : S = 2004a + (2 + 4 + + 40 06) Bài 2(11) : Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho số T = 427 + 410 16 + 4a là số chính phương Lời giải... (x - 6) (y - 6) = 36 Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : * Với z = 4, ta có : 1/x + 1/y + 1/4 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/4 = 1/4 => : 4x + 4y = xy => => (x - 4)(y - 4) = 16 Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : * Với z = 5, ta có : 1/x + 1/y + 1/5 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/5 = 3/10 => 10x + 10y = 3xy => (3x - 10)(3y - 10) = 100 Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : * Với z = 6, ta... rằng : 1/5 + 1 /6 + 1/7 + + 1/17 < 2 Lời giải : Có khá nhiều cách chứng minh nhờ “đánh giá” vế trái bởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A Cách 1 : Ta có : 1/5 + 1 /6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/ 5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/ 16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) Từ (1) và (2) => : A < 6/ 5 + 7/11 = 101/55 . ≤ => z 6 => 3 z 6 => z thu c {3 ; 4 ; 5 ; 6} . ≤ ≤ ≤ ộ * V i z = 3, ta có : ớ 1/x + 1/y + 1/3 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/3 = 1 /6 => 6x + 6y = xy => xy - 6x - 6y + 36 = 36 =>. à Nhận xét : + Nhiều bạn nêu ra mấy trường hợp : 1/ 16 = 0, 062 5 ; (1/ 16) 2 = 0,0039 062 5 ; (1/ 16) 3 = 0,00024414 062 5 V tà ừ đó => (1/ 16) 2002. có 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy khi viết M ở. ki n b i. ố à ỏ đề ệ đề à +) N u a = 6 thì : 244 < ế < 265 (p = 4 ho c p = 6) . Ch có m t s th a mãn ặ ỉ ộ ố ỏ tr ng h p n y l : 264 ườ ợ à à 2 = 69 6 96. +) N u a = 9 thì : 300 < ế <