Cây khung bài toán Pascal
Cây khungBùi Thị Thuỳ DungKhái niệm về cây khung được CayLey đưa ra năm 1857. Cây là đồ thị vô hướng,liên thông, không có chu trình.Trong tin học, cây được dùng để xây dựng các thuật toán, tổ chức các thư mục, các thuật toán tìm kiếm, lưu trữ và nén dữ liệu, Có rất nhiều dạng bài tập về cây như: sửa chữa đường, định chiều các đường đi trong thành phố, tìm cây khung có nhiều lá nhất, .Và một bài toán quan trọng trong cấu trúc dữ liệu cây chính là tìm Cây khung nhỏ nhất.I. Phát biểu bài toán:Có n máy tính được đánh số từ 1 đến n, chi phí nối máy i với máy j là c[i,j] (i,j = 1 n). Hãy tìm cách nối mạng đảm bảo hai máy tính bất kì có thể truyền dữ liệu cho nhau và chi phí nối mạng là nhỏ nhất.Dữ liệu vào từ file văn bản mintree.inp: - dòng 1: ghi số n là số máy tínhtrong các dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi 3 số i, j , c[i,j] cách nhau một dấu cách thể hiện nối máy i và máy j mất chi phí c[i,j].Xuất ra file mintree.out :- Dòng 1: ghi tổng chi phí nối mạng- N - 1 dòng tiếp theo mỗi dòng 2 số i,j thể hiện nối máy i với máy j.II. Thuật giải: Trên đây là mô hình thực tế của cây khung nhỏ nhất, chúng ta có thể giải quyết bài toán bằng cách liệt kê tất cả các cây khung của đồ thị và chọn ra cây khung nhỏ nhất. Phương pháp đó đòi hỏi thời gian cỡ nn - 2. Như vậy, ngay cả với đồ thị cỡ hàng chục cũng không mấy khả thi, song hãy để ý đến tính chất 'nhỏ nhất' của cây khung cần tìm chúng ta sẽ tìm ra những giải pháp khả quan hơn, đó chính là thuật toán KRUSKAL và PRIM.1. Phương pháp Kruskal (1857): Thuật toán bắt đầu với một rừng n cây: trong n - 1 bước, nó kết hợp hai cây với nhau (sử dụng cạnh ngắn nhất có thể) cho đến khi còn lại một cây. Như vậy có hai vấn đề quan trọng khi cài đặt: - Thứ nhất: làm thế nào để có thể sử dụng cạnh ngắn nhất một cách nhanh nhất: ta có thể sắp xếp danh sách cạnh theo thứ tự tăng dần của trọng số và duyệt từ đầu tới cuối danh sách. Trong trường hợp tổng quát thì HeapSort tỏ ra hiệu quả hơn cả. - Thứ hai: làm thế nào để kiểm tra xem cạnh (u,v) có thuộc hai cây khác nhau hay không? Nếu ta cho mỗi đỉnh v trên cây một nhãn Lab[v] là số hiệu đỉnh cha của đỉnh v trong cây, trong trường hợp v là gốc của một cây thì Lap[v] được gán một giá trị âm. Khi đó ta có thể xác định được gốc cây chứa v bằng hàm sau: function GetRoot(v : integer): integer;beginwhile lab[v] > 0 do v: = lab[v];GetRoot: = v;end;{Vì mỗi cây chỉ có một gốc nên v và u ở khác cây r1 = GetRoot(u) # GeetRoot(v) = r2 ;Để hợp nhất hai cây gốc r1 và r2 ta chỉ cần đặt Lab[r2] : = r1;Cụ thể, thuật toán có thể mô t như sau: {$A+,B-,D+,E+,F-,G+,I+,L+,N+,O-,P-,Q+,R+,S+,T-,V+,X+}{$M 16384,0,655360}program KrusKal;constfi = 'mintree.inp';fo = 'mintree.out';max = 100;maxe = max * (max - 1) div 2;typeTEdge = recordu,v,c : integer;mark : boolean;end;vara : array [1 maxe] of Tedge;lab : array [1 max] of integer;{Lab[v] là đỉnh cha của v, nếu v là gốc thì lab[v] = - số con cây gốc v} n,m : integer;procedure readfile;varf : text;i : integer;beginassign(f,fi); reset(f);readln(f,n);m := 0;while not SeekEof(f) dobegininc(m);with a[m] do readln(f,u,v,c);end;close(f);end;procedure init;vari : integer;beginfor i := 1 to n do lab[i] := -1;{ban đầu, mỗi cây đều chỉ có một nút}for i := 1 to n do a[i].mark := false;end;procedure adjust(r,last : integer);varkey : TEdge; i : integer;beginkey := a[r];i := 2 * r;while i < a[i + 1].c) do inc(i);if key.c > 0 then v := lab[v];GetRoot := v;end;procedure union(r1,r2 : integer);{hợp nhất hai cây thành một cây}varx : integer;beginx := lab[r1] + lab[r2];{-x là số nút của cả hai cây}if lab[r1] > lab[r2] then {cây gốc r1 ít hút hơn cây gốc r2, hợp nhất thành cây gốc r2}beginlab[r1] := r2;lab[r2] := x;endelsebeginlab[r2] := r1;lab[r1] := x;end;end;procedure solve;vari : integer;r1,r2 : integer;count : integer;tmp : TEdge;begincount := 0;for i := m div 2 downto 1 do adjust(i,m);for i := m - 1 downto 1 dobegintmp := a[1]; a[1] := a[i + 1]; a[i + 1] := tmp;adjust(1,i);r1 := GetRoot(a[i + 1].u); r2 := GetRoot(a[i+1].v);if r1<> r2 then {cạnh a[i + 1] nối hai cây khác nhau}begina[i +1].mark := true;inc(count);if count = n - 1 then exit;union(r1,r2);end;end; end;procedure result;varf : text;w : integer;i : integer;beginw := 0;for i := 1 to m dowith a[i] doif a[i].mark then w := w + c;assign(f,fo); rewrite(f);writeln(f,w);for i := 1 to m dowith a[i] doif a[i].mark then writeln(f,u,' ',v);close(f);end;beginreadfile;init;solve;result;end.Vì thuật toán Kruskal luôn lấy những cạnh nhỏ nhất có thể tại mỗi bước nên trong cáccây khung nhỏ nhất, cây Kruskal có trọng số cạnh lớn nhất là nhỏ nhất.2. Phương pháp PRIM: Thuật toán Kruskal hoạt động chậm khi đồ thị dày (có số cạnh lớn m > n(n -1)/ 2).Trong trường hợp đó, người ta thường sử dụng phương pháp lân cận của Prim.Thuật toán có thể phát biểu như sau: Bắt đầu từ một đỉnh u bất kì của đồ thị, gọi v là đỉnh gần u nhất (nghĩa là trong số các cạnh kề của u thì cạnh (u,v) có độ dài nhỏ nhất). Tiếp theo, trong số những cạnh kề với u hoặc v ta tìm cạnh có độ dài nhỏ nhất, cạnh này dẫn đến đỉnh thứ ba t, ta thu được cây gồm 3 đỉnh 2 cạnh. Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi ta tìm được cây khung gồm n đỉnh và n - 1 cạnh sẽ chính là cây khung nhỏ nhất cần tìm. Thuật toán được mô tả trong chương trình sau: {$A+,B-,D+,E+,F-,G+,I+,L+,N+,O-,P-,Q+,R+,S+,T-,V+,X+}{$M 16384,0,655360}program Prim;constfi = 'mintree.inp';fo = 'mintree.out';max = 100;typeTa1 = array [1 max,1 max] of integer;Ta2 = array [1 max] of integer;Ta3 = array [1 max] of boolean; varc : Ta1;{c[u,v] là trọng số của cạnh (u,v) }d : Ta2;{d[v] = khoảng cách nhỏ nhất từ v tới cây T đang xét}free : Ta3;{free[v] = true nếu v chưa bị kết nạp vào cây T} trace : Ta2;{ trace[v] = đỉnh cha tương ứng của v trong cây T}n : integer;procedur readfile;varf : text;i,j : integer;beginfor i := 1 to max dofor j := 1 to max do c[i,j] := maxint;assign(f,fi); reset(f);readln(f,n);while not SeekEof(f) dobeginreadln(f,i,j,c[i,j]);c[j,i] := c[i,j];end;close(f);end;procedure init;vari : integer;beginfor i := 1 to n do d[i] := maxint;fillchar(free,sizeof(free),true);fillchar(trace,sizeof(trace),0);end;procedure solve;varmin : integer;imin : integer;i,j : integer;k : integer;begind[1] := 0;for k := 1 to n dobeginmin := maxint;for i := 1 to n doif free[i] and (d[i] >c[imin,i]) thenbegind[i] := c[imin,i];trace[i] := imin;end; end;end;procedure result;varf : text;s : longint;i : integer;beginassign(f,fo);rewrite(f);s := 0;for i := 1 to n doif trace[i] > 0 then s := s + c[trace[i],i];writeln(f,s);for i := 1 to n doif trace[i] >0 then writeln(f,trace[i],' ',i);close(f);end;beginreadfile;init;solve;result;end.III. Bài tập: 1. Bài toán cây bao trùm Euclid tối thiểu Cho n điểm trên mặt phẳng, hãy tìm tập hợp các đoạn thẳng nối tất cả các điểm với nhau sao cho tổng độ dài của chúng ngắn nhất có thể được. (Hướng dẫn: Có thể xây dựng đồ thị đầy đủ n đỉnh và n(n -1)/ 2 cạnh rồi dùng Prim hay Kruskal. Song dựa vào tính chất hình học ta có thể làm tốt hơn: chia mặt phẳng thành các ô vuông sao cho mỗi ô có thể chứa khoảng lg(N/2) điểm. Sau đó chỉ chọn các cạnh nối mỗi điểm tới các điểm trong các ô vuông lân cận và tìm cây khung nhỏ nhất)2. Nối mạng Cho n máy tính, chi phí nối máy i với máy j là c[i,j], ban đầu đã có sẵn một số cặp máy. Hãy tìm cách nối thêm dây cáp sao cho máy tính trong mạng là liên thông và chi phí nối mạng là nhỏ nhất. . phố, tìm cây khung có nhiều lá nhất,...Và một bài toán quan trọng trong cấu trúc dữ liệu cây chính là tìm Cây khung nhỏ nhất.I. Phát biểu bài toán: Có n. hình thực tế của cây khung nhỏ nhất, chúng ta có thể giải quyết bài toán bằng cách liệt kê tất cả các cây khung của đồ thị và chọn ra cây khung nhỏ nhất.