Bài toán chia nhóm trong Pascal
Thuật toán chia kẹo và ứng dụng giải lớp bài toán chia nhómLã Thành CôngXét một bài toán chianhóm tổng quát như sau:Chon số a1, a2, .,an (n 'NI*) và m số b1, b2, ., bm (m < n,m ' NI*).Yêucầu: Hãy chia n số a1, a2, ., an thành m nhómsao chotổng các phần tử của nhóm i bằng bi (i = 1,m).Trướckhi đưa ra phương pháp giải bài toán trên ta xét bài toán đơn giản nhưng thú vịđó là bài "chia kẹo":Có n gói kẹo mỗi góicóai cái kẹo (i= 1,n). Hãytìm cách chia n gói kẹo thành 2 nhóm sao cho chênh lệch giữa 2 nhóm là ít nhất.Bài toán có thể giảitheo thuật toán sau:Tađi xây dựng các tổng có thể có được từ gói kẹo. Ta thấy nếu tổng nào gồm (n div2) nhất thì đó là giá trị của nhóm 1. Phần còn lại sẽ thuộc vào nhóm 2. Để xâydựng được ta làm như sau:Tadùng 3 mảng làm các công việc sau:Mảng A dùng để ghi lại các giá trị của tổngMảng B dùng để ghi lại các phần tử cuối cùng cho vàođể đạt giá trị ở A.Mảng C dùng để ghi lại các vị trí của tổng mà khôngcó phần tử ở B. Mảng này dùng để lần lại các phần tử có để đạt giá trị ở A.Thựchiện như sau:A[0]:=0; Max := 0; B [0]:= 0; C [0]:= 0;Fori:= 1 to n doFor j:= 0 to max doBeginD:= True; m:= max; For k:= 0 to max do if (A[j] +ai)= A[k] then D:= false;If D thenBegininc (m);A[m] := A[j] + ai;B[m] := i;C[m] := j;end;Thuậtgiải trên đã xây dựng được các tổng có thể có từ n gói kẹo. Khi chọn được A[i]gần với ( n div 2) nhất thì ta thực hiện thủ tục lần ngược như sau:Fillchar(Logic, size of (logic), false);WhileA[i] > 0 doBeginLogic [B[i]] := true; (cho phần tửB[i] vào nghiệm)i:= c[i];End;Khiđó các phần tửmang giá trị Logic làtrue sẽ tạo thành một nhóm có tổng A[i] ban đầu.Xéttiếp một bài toán ở mức độ cao hơn như sau:Cho n số a1, a2, ., an(n ' NI*).Tìmcách chia số trên thành m nhóm sao chomỗi nhóm đều có tổng bằng nhau và m tìm được là lớn nhất.Cách giải : Bài toán trên ta có thể duyệtmọi m là ước số của T = Σ ai. Mà ở đó m chạytừ T về 1.Vớimỗi m có được ta có tổng các nhóm sẽ là D =T/m. Với mỗi dự tuyển (m,D):Khiđó ta sẽ dùng thuật toán trên để tìm m nhóm có tổng là D. +Lưu ý một điều đó là:Taphải sắp xếp ai (i=1,n) theo thứ tự giảm dần để khi duyệt ta đượckết quả tối ưu.Tasẽ dùng thuật toán trên tìm lần lượt m nhóm tổng là D. Mỗi lần tìm được mộtnhóm ta sẽ nhấc các phần tử thuộc nhóm đó ra và thực hiện lại với các phần tửcòn lại.Khi tìm được một dựtuyển (m,D) thoả mãn thìđó sẽ là tốiưu của lời giải.Nếu ta không sắp xếp ai(i=1, n) theo thứ tự giảm dần thì ta sẽ thấy trường hợp sau bị vướng mắc:VD:dãy n số là: n = 78 2 1 3 9 10 11Tathấy mmax không sắp xếp thì lần đầu máy sẽ cho (8,2,1)vào một nhóm và như vậy không làm tiếp được.Qua2 ví dụ ta đã phần nào hiểu được ưu thế của thuật toán trên trong một lớp cácbài toán chia nhóm, một lớp bài toán mà nếu không có thuật toán và nắm bắt bảnchất ta sẽ rất khó giải.Tuynhiên có thể còn nhiều thuật toán khác hay hơn mà tôi chưa biết. Tôi hy vọngcác bạn có thểtìm ra nhiều nhiều thuậttoán hay hơn. Đểluyện tập, tôi xin đưa ra một bài toán sau (Thi chọn đội tuyển quốc gia năm1995):Mộtquầy trả tiền có n loại tiền với mệnh giá (giá trị tiền ghi trên tờ tiền)làA[1], A[2], . A[n] (các A[i]lànguyên dương và khác nhau từng đôi).Giả thiết loại tiền mệnh giá A[i] có B[i] tờ (i := 1, n). Có M khách (đánh sốhiệu tử 1 -> m) cần lấy tiền. Số tiền khách i cần lấy là K[j], K[j] nguyêndương, 1 <= j <= một. Quy định rằng với mỗi khách hoặc quầy từ chối trảtiền hoặcphải trả đúng số tiền màkhách cần lấy.Dữliệu vào file INP.TXT dòng đầu ghi giá trị N (N <= 10), dòng tiếp theoghi các giá trị A[1], A[2], ., A[n] dòngtiếp theo ghi các giá trị B[1], B[2], ., B[n]. Sau đó là dòng ghi giá trị Mvà dòng ghi các giá trị K[1], K[2], K[3] ., K[M]. Tất cả đều nguyên dương. Yêucầu:Tìm cách trả sao cho trảđược nhiều khách nhất. Thông báo ra file OU1.TXT, trong dòngđầu ghi số khách được trả tiền, trong cácdòng tiếp theo mỗi dòng ghi thông tin về một khách, số tiền phải trả và dãy cácsố X[1], X[2], ., X[n] trong đó X[i] là số tờ của loại tiền mệnh giá A[i] (1<=i <= n) được trả cho khách. Tìm cách trả sao cho trảđược nhiều tiền nhất. Thông báo ra file OU2.TXT số tiền dòng đầu tiếp theo làthông tin về các khách được trả tiền theo quy ước giống câu 1. . Thuật toán chia kẹo và ứng dụng giải lớp bài toán chia nhómLã Thành CôngXét một bài toán chianhóm tổng quát như sau:Chon số a1,. một nhóm và như vậy không làm tiếp được.Qua2 ví dụ ta đã phần nào hiểu được ưu thế của thuật toán trên trong một lớp cácbài toán chia nhóm, một lớp bài toán