Đường thẳng vuông góc mặt phẳng Bài 1: Cho tứ diện ABCD có ( )AB BCD⊥ , tam giác BCD vuông tại C. a. Chứng minh ( )CD ABC⊥ b. Gọi BH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh ( )BH ACD⊥ Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a. ( )SO ABCD⊥ b. ( )IJ SBD⊥ Bài 3: Cho tứ diện SABC có ( )SA ABC⊥ . Gọi H và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: a. AH, SK và BC đồng quy b. ( )SC BHK⊥ c. ( )HK SBC⊥ Bài 4: Cho hình lập phương 1 1 1 1 ABCDA B C D . Gọi P là trung điểm AB. Q là giao điểm của 1 BC và 1 CB . Chứng minh rằng 1 1 ( )D Q PB C⊥ . Bài 5: Cho tứ diện ABCD có ( )DA ABC⊥ . Dựng đường cao AE của tam giác ABC. a. Chứng minh DE BC⊥ b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên DE. Chứng minh rằng AH DC ⊥ . Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông ( )SA ABCD⊥ . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. b. Chứng minh ;AH SC AK SC⊥ ⊥ c. Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I. Chứng minh HK AI⊥ Bài 7: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc với nhau. Gọi CH và FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. a. Chứng minh rằng tam giác ACH và BFK là hai tam giác vuông. b. Chứng minh ;AH BF BK AC⊥ ⊥ Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a. H là trực tâm tam giác ABC b. 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + c. Các góc của tam giác ABC đều nhọn Bài 9: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B; , ( )AB a SA ABC= ⊥ và 3SA a= . M là điểm tùy ý trên cạnh AB sao cho ;(0 )AM x x a= < < . Gọi ( ) α là mặt phẳng đi qua M và vuông góc AB a. Tìm thiết diện tạo bởi ( ) α và tứ diện SABC b. Tìm diện tích thiết diện theo a và x . Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất. Bài 10: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh a . ( )DA ABC⊥ và 2DA a= . Gọi ( ) α là mặt phẳng qua B và vuông góc DC. Tìm thiết diện tạo bởi ( ) α và tứ diện và tìm diện tích thiết diện đó. Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với ; 2 ; ( ); 2AB BC a AD a SA ABCD SA a= = = ⊥ = . Gọi M là điểm trên cạnh AB. ( ) α là mặt phẳng qua M và vuông góc AB. a. Tìm thiết diện tạo bởi ( ) α và hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì? b. Đặt ;(0 )AM x x a= ≤ ≤ . Tính diện tích thiết diện theo a và x . Đường thẳng vuông góc mặt phẳng Bài 12: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC. a. Chứng minh rằng ( )BC AID⊥ b. Gọi AH là đường cao của tam giác AID. Chứng minh rằng ( )AH BCD⊥ Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và 2SC a= . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. a. Chứng minh rằng ( )SH ABCD⊥ b. Chứng minh rằng ;AC SK CK SD⊥ ⊥ Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. ( )SA ABCD⊥ a. Chứng minh rằng ( )BD SAC⊥ b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SC và SD. Chứng minh rằng ( )MN SAD⊥ Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có ( )SA ABCD⊥ và ABCD là hình thang vuông tại A và D, với 2 AB AD DC= = . Gọi I là trung điểm AB. a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b. Chứng minh ;CI SB DI SC⊥ ⊥ Bài 16: Cho hình lập phương 1 1 1 1 ABCDA B C D . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và 1 BB . P là giao điểm của 1 DC và 1 CD . a. Chứng minh rằng 1 MN AC⊥ b. Chứng minh rằng 1 1 ( )B P PD C⊥ Bài 17: Cho tứ diện ABCD có ( )AD ABC⊥ , tam giác ABC vuông tại C. a. Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện đều là các tam giác vuông. b. Kẻ đường cao CH và AK của các tam giác ABC và DAC ( , )H AB K DC∈ ∈ . Chứng minh rằng các tam giác CHD và AKB là các tam giác vuông. Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có , 3AB a BC a= = . Mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có 5SC a= . a. Chứng minh ( )SA ABCD⊥ . Tính SA b. Đường thẳng qua A vuông góc AC cắt đường thẳng CB, CD lần lượt tại I và J. Gọi H là hình chiếu của A lên SC. Hãy xác định giao điểm M và N của SB, SD với mặt phẳng (HIJ). Chứng minh rằng ( ); ( )AM SBC AN SCD⊥ ⊥ c. Tính diện tích AMHN Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều có ; ( ); 3AB BC DC a SA ABCD SA a= = = ⊥ = . Gọi M và I là các điểm trên cạnh SB, SD sao cho 3 3 ; 4 7 SM SB SI SD= = . Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N a. Chứng minh rằng ( )SD AMI⊥ b. Chứng minh N là trung điểm SC c. Chứng minh ;AN NI AM MI⊥ ⊥ d. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (AMI) và hình chóp. Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . ( )SA ABCD⊥ và 2SA a= . Dựng đường cao AH của tam giác SAB. a. Chứng minh 2 3 SH SB = b. Gọi ( ) α là mặt phẳng qua A và vuông góc SB. ( ) α cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng Bài 21: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a . ( )SA ABC⊥ và SA a = . Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh AC, ;(0 )CM x x a= < < . ( ) α là mặt phẳng qua M và vuông góc AC a. Tùy theo vị trí điểm M, có nhận xét gì về thiết diện tạo bởi ( ) α và hình chóp. b. Tính diện tích thiết diện theo ,a x . Xác định x để diện tích đạt giá trị lớn nhất. tính giá trị lớn nhất đó.