đề thi Học sinh giỏi toán 8 Năm học 2009 - 2010 Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. 2 7 6x x + + 2. 4 2 2010 2009 2010x x x + + + Bài 2: (4điểm) Giải phơng trình: 1. 2 3 2 1 0x x x + + = 2. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ Bài 3: (4điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a + b + c)( 9) 111 ++ cba 2. Tìm d của phép chia đa thức ( 2)( 4)( 6)( 8) 2010x x x x + + + + + cho đa thức 2 10 21x x + + . Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB. 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD BC AH HC = + . Bài 5:(2 điểm) Cho tứ giác ABCD có diện tích bằng 1và O là một điểm nằm trong tứ giác.Chứng minh rằng tổng 2 2 2 2 OA OB OC OD+ + + nhỏ nhất khi và chỉ khi ABCD là hình vuông và O là giao điểm hai đờng chéo. Đáp án và thang điểm Đề 1: Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 4,0 1.1 (1,5 điểm) ( ) ( ) 2 2 7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + + ( ) ( ) 1 6x x= + + 1,0 0,5 1.2 (2,5 điểm) 4 2 4 2 2 2010 2009 2010 2009 2009 2009 1x x x x x x x+ + + = + + + + + 0,5 = 4 2 2 2 2 2 2 1 2009( 1) ( 1) 2009( 1)x x x x x x x x+ + + + + = + + + + 1,0 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 2009( 1) ( 1)( 2010)x x x x x x x x x x= + + + + + + = + + + 1,0 2. 4,0 2.1 2 3 2 1 0x x x + + = (1) + Nếu 1x : (1) ( ) 2 1 0 1x x = = (thỏa mãn điều kiện 1x ). + Nếu 1x < : (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x + = = = 1; 3x x = = (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là 1x = . 1,0 1,0 2.2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ (2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 0x (2) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 8 8 4 4 16x x x x x x + + = + + = ữ ữ 0 8x hay x = = và 0x . Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm 8x = 0,75 0,75 0,5 3 4.0 3.1 Ta có: A= 111) 111 )(( ++++++++=++++ b c a c c b a b c a b a cba cba = )()()(3 c b b c a c c a a b b a ++++++ Mà: 2+ x y y x (BĐT Cô-Si) Do đó A .92223 =+++ Vậy A 9 0,5 0,5 0,5 0,5 3.2 Ta có: 2 2 ( ) ( 2)( 4)( 6)( 8) 2010 ( ) ( 10 16)( 10 24) 2010 P x x x x x P x x x x x = + + + + + = + + + + + Đặt 2 10 21 ( 3; 7)t x x t t = + + , biểu thức P(x) đợc viết lại: ( ) ( 5)( 3) 2010P x t t= + + = 2 2 1995t t + Do đó khi chia 2 2 1995t t + cho t ta có số d là 1995 1,0 1,0 4 6,0 4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. CD CA CE CB = (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: ã ã 0 135BEC ADC= = (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên ã 0 45AEB = do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 2 2BE AB m= = 1,0 1,0 0,5 4.2 Ta có: 1 1 2 2 BM BE AD BC BC AC = ì = ì (do BEC ADC : ) mà 2AD AH= (tam giác AHD vuông vân tại H) nên 1 1 2 2 2 2 BM AD AH BH BH BC AC AC BE AB = ì = ì = = (do ABH CBA : ) Do đó BHM BEC : (c.g.c), suy ra: ã ã ã 0 0 135 45BHM BEC AHM= = = 1,0 1,0 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. Suy ra: GB AB GC AC = , mà ( ) ( ) // AB ED AH HD ABC DEC ED AH AC DC HC HC = = =: 0,5 Do đó: GB HD GB HD GB HD GC HC GB GC HD HC BC AH HC = = = + + + 0,5 Câu5 2,0 Đặt OA= a; OB = b ; OC = c; OD = d.Ta có: 2 2 2 4 AOB a b ab S + Tơng tự : 2 2 4 BOC b c S + 2 2 4 COD c d S + 2 2 4 DOA d a S + Suy ra: 2 2 2 2 2( ) 4 4 ABCD a b c d S + + + = Giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 a b c d + + + bằng 2khi và chỉ khi a = b =c =d và ã AOB = ã BOC = ã COD = ã DOA = 0 90 tức là ABCD là hình vuông và O là giao điểm hai đờng chéo. 1,0 1,0 A B C D O . đề thi Học sinh giỏi toán 8 Năm học 2009 - 2010 Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. 2 7 6x x + + 2. 4 2 2010 2009 2010x x x + + + Bài 2: (4điểm) Giải. 4 2 2 2010 2009 2010 2009 2009 2009 1x x x x x x x+ + + = + + + + + 0,5 = 4 2 2 2 2 2 2 1 2009( 1) ( 1) 2009( 1)x x x x x x x x+ + + + + = + + + + 1,0 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 2009( 1) ( 1)( 2010) x. 2)( 4)( 6)( 8) 2010 ( ) ( 10 16)( 10 24) 2010 P x x x x x P x x x x x = + + + + + = + + + + + Đặt 2 10 21 ( 3; 7)t x x t t = + + , biểu thức P(x) đợc viết lại: ( ) ( 5)( 3) 2010P x t t=