Bài toán tối ưu rời rạc và Lượng cực đại

Bài toán tối ưu rời rạc và Lượng cực đại

ứng dụng luồng cực đại trong bài toán tối ưu rời rạc

Đức Trọng

I Bài toán

Xétbài toán:

i = 1,2,…,m;

j = 1,2,…,n

Bài toán trên là mô hình toán học của nhiều bàitoán tối ưu tổ hợp trong thực tế Ví dụ:

II Vídụ

1 Bài toán phânnhóm sinh hoạt:

Cóm sinh viên và n nhóm sinh hoạt chuyên đề.Với mỗi sinh viên i biết:

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Trong số các cách phân các sinh viên vào nhóm chuyênđề mà họ có nguyện vọng tham

người trong nhómcó nhiều sinh viên tham gia nhất là nhỏ nhất có thể được

Đưa vào các biến số:

i=1,2, ,m ; j=1, 2, ,n, khi đó dễ thấy mô hình toán học cho bài toánđặt ra chính là bài toán (1)-(2)

2 Bài toán lậplịch cho hội nghị:

Mộthội nghị có m tiểu ban, mỗi tiểu ban cần sinh hoạt trong một ngày tạiphòng họp phù

hợp với nó Có n phòng họp dành cho việc sinh hoạt củacác tiểu ban Biết:

i=1,2, ,m, j=1, 2, ,n Hãy bố trí các phòng họp cho các tiểu bansao cho hội nghị kết thúc sau ít ngày làm việc nhất

Đưa vào các biến số :

xij = 0, nếu ngược lại

i=1, 2, ,m ; j=1, 2, ,n, khi đó dễ thấy mô hình toán học cho bài toánđặt ra chính là bài toán (1)-(2), trong đó pi =1, i=1, 2, ,m

III Cơ sở thuật toán

Bổ đề 1:

Bài toán (1)-(2) có nghiệm tối ưu khi và chỉ khi:

Chứng minh:

Điều kiện cần là hiển nhiên vì sự tồn tại phương án của bàitoán suy ra bất đẳng thức

trong (3) được thực hiện ít nhất dưới dạng dấu đẳngthức

Điều kiện đủ: Chỉ cần chỉ ra rằng nếu có (3) thì luôn có phươngán

Giả sử (3) đúng, gọi:

Do(3) là điều kiện để (1)-(2) có nghiệm nên trong phần tiếp theo ta luôngiả thiết rằng điều kiệnđược thực hiên

Bâygiờ ta chỉ ra rằng bài toán (1)-(2) có thể chuyển về giải một số hữuhạn bài toán luồng

e thuộc E:khả năng thông qua c(e)

c(s,ui) = pi

c(ui,vj) = aij

c(vj,t) = k

Bổđề 2: Giả sử vớik nào đó luồng cực đại trong mạng G(k) có giá trị Δ thì x* với x*ij = Φ

Chứngminh: Thật vậy, do luồng cực đại trong mạng có giá trị Δ và là nguyên nên Φ (s,ui)

Vậy x* là phương án của bài toán (1)-(2) (đpcm)

Bổđề 3:

Giả sử x*là phương án tối ưu và k* là giá trị tối ưu của bài toán(1)-(2) thì luồng cực đại

Chứng minh: Do giá trị của luồng cực đại trong mạng G(k*)không vượt qu Δ, nên để

Ta xây dựng luồng Φ như sau:

Bổđề 4:

Chứng minh:

Thậtvậy, giả sử x* là nghiệm bài toán (1)-(2) được xây dựngtheo công thức như bổ đề 1, xây dựng Φ theo bổ đề 3 ta có luồng giá trị Δ.(đpcm)

IV Thuậttoán:

Từ nhận xét 2 và 3 suy ra việc giải bài toán (1)-(2) là tìm k*nguyên dương nhỏ nhất sao

Từ đây rút ra thuật toán: áp dụng phương pháp chia nhị phântrên đoạn [1,m] tìm k* trong

mỗi bước giải bài toán tìm luồngcực đại trong

V Chương trình

Input: file văn bảnINPUT.TXT

- Dòng 1: Chứa 2 sốm,n (m,n ≤ 100)

- Trong m dòng tiếptheo mô tả mảng a

Output: file văn bản OUTPUT.TXT

- Dòng 1 chứa giátrị tối ưu tìm được

- Các dòng sau mô tả mảng x

Chươngtrình:

UsesCrt;

Const

InputFile=’Input.Txt’;

OutputFile=’Output.Txt’;

Var

a,x:Array[1 100,1 100]of Integer; TraceX,TraceY:Array[1 100]of Integer; p:Array[1 100]of Integer;

Start,Finish,n,m,s,t,Delta,No:Integer; fi,fo:Text;

ProcedureInput;

Vari,j:Integer;

Begin

Assign(fi,InputFile);

Reset(fi);

Readln(fi,m,n);

Delta:=0;

For i:=1 to m do begin

read(fi,p[i]);

Delta:=Delta+p[i];

End;

For i:=1 to m do

For j:=1 to n do read(fi,a[i,j]);

Close(fi);

s:=m+1;t:=n+1;

For i:=1 to m do a[s,i]:=p[i];

End;

FunctionFindPath:Boolean;

Var

Queue:Array[1 100]of Integer;

i,j,First,Last,v:Integer;

Begin

Fillchar(TraceX,Sizeof(TraceX),0); Fillchar(TraceY,Sizeof(TraceY),0); First:=1;Last:=0;

For i:=1 to m do

If x[s,i]

inc(last);

Queue[last]:=i;

traceX[i]:=-1;

end;

While First<=Last do Begin

i:=Queue[First];Inc(first);

For j:=1 to n do

If (traceY[j]=0)and(x[i,j]

traceY[j]:=i;

If x[j,t]

Finish:=j;

FindPath:=True;

Exit;

end;

For v:=1 to m do

if (TraceX[v]=0)and(x[v,j]>0) then begin Inc(Last);

Queue[Last]:=v;

TraceX[v]:=j;

end;

end;

End;

FindPath:=False;

End;

FunctionMin(x,y:Integer):Integer;

Begin

If x

End;

ProcedureIncFlow;

VarIncValue,i,j:Integer;

Begin

IncValue:=a[finish,t]-x[Finish,t];

j:=Finish;

While j>0 do begin

i:=TraceY[j];

IncValue:=Min(IncValue,a[i,j]-x[i,j]);

j:=TraceX[i];

If j>0 then IncValue:=Min(IncValue,x[i,j]); End;

Start:=i;

IncValue:=Min(IncValue,a[s,start]-x[s,start]); j:=Finish;

While j>0 do begin

i:=TraceY[j];

x[i,j]:=x[i,j]+IncValue;

j:=TraceX[i];

If j>0 then x[i,j]:=x[i,j]-IncValue;

End;

x[s,start]:=x[s,start]+IncValue;

x[finish,t]:=x[finish,t]+IncValue;

End;

FunctionMaxFlow(k:Integer):Integer;

Vari,mf:Integer;

Begin

Fillchar(x,Sizeof(x),0);

For i:=1 to n do a[i,t]:=k;

Repeat

If not FindPath then break;

IncFlow;

Until False;

mf:=0;

For i:=1 to m do mf:=mf+x[s,i];

MaxFlow:=mf;

End;

ProcedureProcess;

varl,r,k:Integer;

Begin

l:=0;r:=m;

While l

k:=(l+r)div 2;

If MaxFlow(k)=Delta then r:=k

else l:=k+1;

End;

No:=r;

r:=MaxFlow(No);

End;

ProcedureOutput;

Vari,j:Integer;

Begin

Assign(fo,OutputFile);

Rewrite(fo);

writeln(fo,No);

For i:=1 to m do begin

For j:=1 to n do write(fo,x[i,j],’ ’);

writeln(fo);

end;

Close(fo);

End;

BEGIN

Input;

Process;

Output;

END

VI.Độ phức tạp tính toán

Bài toán (1)-(2) giải được nhờ thuật toán đa thức có độ phứctạp tính toán là

O(log 2 m.OFN) trong đó OFN là độ phức tạptính toán tìm luồng cực đại