PHÒNG GD&ĐT TAM NÔNG TRƯỜNG THCS DỊ NẬU KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ SỐ 3 Ngày thi: 09/04/2010 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x - 11x + 30x b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z Bài 2. Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 z 1 y 1 x 1 =++ . Tính giá trị của biểu thức: xy2z xy xz2y xz yz2x yz A 222 + + + + + = Bài 3. Cho hai số thực x, y thoả mãn 3 2 3 10x xy− = và 3 2 3 30y x y− = . Tính giá trị biểu thức P = 2 2 x y+ . Bài 4. a) Chøng minh r»ng: 2009 2008 + 2011 2010 chia hÕt cho 2010 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10 Bài 5. Giải phương trình: a) 4 1004 1x 1986 21x 1990 17x = + + − + − b) 120102009 =−+− xx Bài 6. Cho hình vuông ABCD và một điểm E tùy ý trên BC qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt tia CB và tia CD lần lượt tại Q và F, AE cắt CD tại Q a) Chứng minh: AE = AF b) Trung tuyến AI của ∆AEF cắt CD tại K. Chứng minh: ∆AKF ∆CAF c) Chứng minh rằng: 2 2 1 1 AE AQ + không phụ thuộc vào điểm E Bài 7. T×m x, y biÕt : ( 2x - 5) 2008 + ( 3y + 4) 2010 ≤ 0 Họ và tên thí sinh: SBD: (Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm). Giáo viên: Phan Duy Thanh ĐÁP ÁN Baì 1. b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z =4xy - ( x + 2yx + y ) + (2xz + 2yz ) - z =(2xy) - [( x + y) - 2z(x + y )+ (z)] =(2xy) - (x + y - z ) =(2xy - x - y + z)( 2xy + x + y - z) =(x + y + z)( x +y - z)(x + z - y)(z - x + y) Bài 3. Ta có: 3 2 3 10x xy− = => ( ) 2 3 2 3 100x xy− = => 6 4 2 2 4 6 9 100x x y x y− + = v 3 2 3 30y x y− = .=> ( ) 2 3 2 3 900y x y− = => 6 2 4 4 2 6 9 900y x y x y− + = Suy ra: 6 4 2 2 4 6 3 3 1000x x y x y y+ + + = => ( ) 3 2 2 2 2 1000 10x y x y+ = ⇒ + = Bài 4. b) Với mọi số nguyên dương n ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 3 3 2 2 n n n n+ + + − − (0,5đ) = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n + − + (0,75đ) = 1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n− × − × = × − × (1,0đ) = 10( 3 n -2 n ) (0,5đ) Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − M 10 với mọi n là số nguyên dương.(0,25) Bài 5. b) 120102009 =−+− xx => 120102009 =−+− xx Ta l¹i cã 12010200920102009 =−+−≥−+− xxxx 120102009 =−+− xx (x - 2009).(2010 - x) ≥ 0 2009 ≤ x ≤ 2010 VËy 120102009 =−+− xx 2009 ≤ x ≤ 2010 a) Dễ thấy ∆ABE = ∆ADF (g.c.g) ⇒ AE = AF (1) b) Từ (1) ⇒ ∆AEF là tam giác vuông cân ⇒ trung tuyến AI đồng thời là phân giác ⇒ · · 0 1 FAK FAE 45 2 = = Do ABCD là hình vuông ⇒ · 0 FCA 45= Xét hai tam giác AKF và CAF có: · KFA (chung) · · FCA FAK= ( = 45 0 ) Vậy: ∆AKF ∆CAF c) hai tam giác vuông DAF và AQF có · QFA chung ⇒ ∆DAF ∆AQF (g.g) Suy ra: AF AD QF AQ = ⇒ AF.AQ = AD.QF Bình phương hai vế: AF 2 .AQ 2 = AD 2 .QF ⇔ 2 2 2 2 AF .AQ AD QF = ⇔ 2 2 2 2 1 QF AD AF .AQ = ∆AFQ vuông tại A, Theo định lí Pitago: QF 2 = AF 2 + AQ 2 Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 1 AF AQ 1 1 AD AF .AQ AF AQ + = = + Giáo viên: Phan Duy Thanh Q K I G F D C A B E Mà theo a) ta có: AE = AF ⇒ 2 2 2 1 1 1 AE AQ AD + = (không đổi) Vậy: 2 2 1 1 AE AQ + không phụ thuộc vào điểm E Bài 7. * Theo tÝnh chÊt luü thõa bËc 2 ta cã: ( 2x – 5) 2008 ≥0 ( 0,25 ®iÓm) (3y + 2x ) 2010 ≥ 0 ( 0,25 ®iÓm) => ( 2x - 5) 2008 + ( 3y + 4) 2010 ≥ 0 (1) ( 0,25 ®iÓm) * Mµ ta cã (2x -5) 2008 +(3y+4) 2010 ≤ 0 (2) ( 0,25 ®iÓm) * Tõ (1) vµ (2) ta cã : (2x -5) 2008 +(3y+4) 2010 = 0 ( 0,25 ®iÓm) 2x-5 = 0 x = 5/2 ( 0,25 ®iÓm) 3y +4 = 0 y = - 4/3 ( 0,25 ®iÓm) * VËy x= 5/2 vµ y = -4/3 ( 0,25 ®iÓm) Giáo viên: Phan Duy Thanh . thõa bËc 2 ta cã: ( 2x – 5) 20 08 ≥0 ( 0,25 ®iÓm) (3y + 2x ) 2010 ≥ 0 ( 0,25 ®iÓm) => ( 2x - 5) 20 08 + ( 3y + 4) 2010 ≥ 0 (1) ( 0,25 ®iÓm) * Mµ ta cã (2x -5) 20 08 +(3y+4) 2010 ≤ 0 (2) (. 2009 20 08 + 2011 2010 chia hÕt cho 2010 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10 Bài 5. Giải phương trình: a) 4 1004 1x 1 986 21x 1990 17x = + + − + − . không phụ thuộc vào điểm E Bài 7. T×m x, y biÕt : ( 2x - 5) 20 08 + ( 3y + 4) 2010 ≤ 0 Họ và tên thí sinh: SBD: (Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm). Giáo viên: Phan Duy Thanh ĐÁP