SKKN-phân tích ĐTTNT

đề TàI SKKN PHòNG GIáO DụC EAHLEO cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trờng thcs lê lợi Độc lập - Tự do - Hạnh phúc **** Đề tài sáng kiến kinh nghiệm T ê n đ ề t à i Bồi dỡng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 9 trong trờng thcs Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 1 đề TàI SKKN Phần I: mở đầu 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dỡng học sinh trung bình yếu kém là một công tác thờng xuyên của ngành giáo dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, tình trạng học sinh ở các vùng có điều kiện còn khó khăn bị mất gốc cũng nh học yếu môn toán tơng đối phổ biến. Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc chống học sinh ngồi sai lớp diễn ra tích cực cho nên công tác cập nhật bổ trợ kiến thức cho học sinh luôn đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng. 1.2. Cơ sở lý luận Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chơng trình, nội dung của SGK, nắm vững phơng pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thờng xuyên phải làm. Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc kịp thời bổ trợ kiến thức cho các học sinh trung bình, yếu kém tạo điều kiện cho các em có cơ hội học tiếp lên các lớp trên. Hàng năm nhà trờng luôn tổ chức bồi dỡng học sinh vào các thời điểm trong năm đặc biệt vào cuối năm đã chứng tỏ tầm quan trọng của nó. Chơng trình Toán bậc THCS có rất nhiều phần kiến thức cơ bản, trong đó chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phơng trình sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học kì, thi vào lớp 10, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm. 1.3. Cơ sở thực tiễn Năm học này, bản thân tôi đợc Nhà trờng và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh môn toán 9. Đây là cơ hội để tôi đa đề tài này áp dụng vào công tác bồi dỡng học sinh. Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này. 2. Nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử. - Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phơng pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài với mức độ từ thấp đén cao. - Thực nghiệm việc sử dụng các phơng pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy. - Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu. 3. Giới hạn của đề tài Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 2 đề TàI SKKN Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại trờng: Trờng THCS Lê Lợi, huyện EaHleo, tỉnh Đăk Lăk và dành cho đối tợng là học sinh bộ môn Toán lớp 9. 4. Đối tợng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 9 của Trờng THCS Lê Lợi, huyện EaHleo, tỉnh Đăk Lăk. 5. Phơng pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phơng pháp sau đây: a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận. b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn. c) Phơng pháp quan sát. d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. e) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm. Phần II : Nội dung nghiên cứu 1. Nội dung thực hiện 1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1 + Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử. + Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy: a n x n + a n-1 x n-1 + + a 0 = c( c a n x n + c a n 1 x n 1 + + c a 0 ) ( với c 0, c 1 ). b) Định nghĩa 2 Giả sử P(x) P [ ] x là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên trờng P nếu nó không thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phân tích đợc trên P. 1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1 Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0. b) Định lý 2 Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức < 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích đ- ợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0. c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Giả sử f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n , n > 1, a n 0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của a n nhng p là ớc của các hệ số còn lại và p 2 không phải là ớc của các số hạng tự do a 0 . Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q. 1.2. Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 3 đề TàI SKKN Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thành tích các đa thức trên trờng số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những kĩ thuật , những thói quen và kĩ năng sơ cấp. Dới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. 1.2.1. Phơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngợc).Sau đây là một số ví dụ : Chuự yự a > 0, 2 )( aa = Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Các bài này đơn giản nên chỉ giải tóm tắt hoặc ghi kết quả) 1) 5x 5y = 5(x y) ; 2) 2x 2 y + xy 2 = xy(2x + y) ; 3) 12x 2 y 2 18xy 2 + 30y = 6y(2x 2 y 3xy + 5) ; 4) x(y 1) + 2(1 y) = (x-2)(y-1) 5) 3 + 3 = 3 ( 3 + 1) ; 6) x - 3 x = x ( x - 3) ; 7) 714 = 7( 2 1) ; 8) 615 = 3( 5 2) ; 9) aab = ( 1)a b ; 10) 2233 + ; 11) 10 2 5 ; 12) 22 baba + ; 13) aybxbyax + vụựi a,b,x,y dửụng. 14) 3x - x3 + 6 - 2 3 ; 15) a + aba ; 16) 8 x + 4x ; 17) xyyx ; 18) x m+2 - x m = x m (x 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (các bài này khó hơn nên giải chi tiết) Bài 19:A = 2ax 3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax 3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax by) = 2x 2 (ax + 2by + ax by) =2x 2 (2ax + by) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (2a 2 3ax)(5y + 2b) (6a 2 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: P = (2a 2 3ax)(5y +2b) (6a 2 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a 2 3ax) (6a 2 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a 2 + ax) = (5y + 2b)(x 4a)a Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x 2 (y 2z ) 15x(y 2z) 2 Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y 2z Do đó : B = 3x 2 (y 2z) 15x(y 2z) 2 = 3x(y 2z)((x 5(y 2z)) =3x(y 2z)(x 5y + 10z) Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 4 đề TàI SKKN Bài 22 : phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a 2 3ax)(5c + 2d) (6a 2 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: C = (2a 2 3ax)(5c + 2d) (6a 2 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a 2 3ax 6a 2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax 4a 2 ) = a(5c + 2d)(x 4a) Bài 23: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6xy 2 z xyz 2 + 3xy Giải: Ta có: Q = 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6xy 2 z xyz 2 + 3xy = 3xy(x 2 2x y 2 2yz z 2 + 1) = 3xy((x 2 2x + 1) (y 2 + 2yz + z 2 )) = 3xy((x 1) 2 (y + z) 2 ) = 3xy((x 1) (y + z))((x 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y z 1)(x + y + z 1) Bài 24 : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x 2 (y 2z) 10y( y 2z) Giải: Ta có : A = 16x 2 (y 2z) 10y( y 2z) = (y 2z)(16x 2 10y) Bài 25 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 3 + 3x 2 + 2x + 6 Giải: Ta có : B = x 3 + 3x 2 + 2x + 6 = x 2 (x + 3) + 2( x + 3) = (x 2 + 2)(x + 3) Bài 26 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z 3 + 3z 2 + 2z +1 Giải: Ta có : A = 6z 3 + 3z 2 + 2z +1 = 3z 2 (2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z 2 + 1) 1.2.2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử Phơng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x (x y) + x y = (x y)(x + 1) ; 2) 2x + 2y x (x + y) = (x + y)(2 x) ; 3) 5x 2 5xy 10x + 10y = 5(x y)(x 2) 4) 4x 2 + 8xy 3x 6y ; 5) 2x 2 + 2y 2 x 2 z + z y 2 z 2 ; Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 5 đề TàI SKKN 6) ab + b 1++ aa 7) 2233 xyyxyx + ; 8) 233 )( baabba +++ ; 9) bc(b + c) + ca( c a) ab(a + b) 10) 2a 2 b + 4ab 2 a 2 c + ac 2 4b 2 c + 2bc 2 4abc. Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy 2 xz 2 + yz 2 yx 2 + zx 2 zy 2 Giải: Ta có : B = xy 2 xz 2 + yz 2 yx 2 + zx 2 zy 2 = (xy 2 xz 2 ) + (yz 2 - zy 2 ) + (zx 2 yx 2 ) = x(y 2 z 2 ) + yz(z y) + x 2 (z y) = x(y z)(y + z) yz(y z) x 2 (y z) = (y z)((x(y + z) yz x 2 )) = (y z)((xy x 2 ) + (xz yz) = (y z)(x(y x) + z(x y)) = (y z)(x y)(z x) Bài 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x 5 +6x 3 +6x 2 +9 Giải: Ta có : A= 4x 5 +6x 3 +6x 2 +9 = 2x 3 (2x 2 + 3) + 3(2x 3 + 3) = (2x 3 + 3)(2x 2 + 3) Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 6 + x 4 + x 2 + 1 Giả: Ta có : B = x 6 + x 4 + x 2 + 1 = x 4 (x 2 + 1) + ( x 2 + 1) = (x 2 + 1)(x 4 + 1) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 2 + 2x + 1 y 2 Giải: Ta có: B = x 2 + 2x + 1 y 2 = (x 2 + 2x + 1) y 2 = (x + 1) 2 y 2 =(x +1 y)(x + 1 + y ) Bài 15 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 2 + 2xy + y 2 xz - yz Giải: Ta có : A = x 2 + 2xy + y 2 xz - yz = (x 2 + 2xy + y 2 ) (xz + yz) = (x + y) 2 z(x + y) Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 6 đề TàI SKKN = (x + y)(x + y z) Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) 1.2.3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác. Các hằng đẳng thức thờng dùng là : A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2 A 2 - 2AB + B 2 = (A - B) 2 A 2 - B 2 = (A + B) (A - B) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 - B 3 = (A - B)( A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B)( A 2 - AB + B 2 ) Sau đây là một số bài tập cụ thể: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 ; 2) 1 2y + y 2 = (1 y) 2 ; 3) x 3 3x 2 + 3x 1 = (x 1) 3 ; 4) 27 + 27x + 9x 2 + x 3 ; 5) 8 125x 3 = (2 5x)(4 + 10x + 25x 2 ; 6) 64x 3 + 8 1 ; 7) 1 x 2 y 4 ; 8) (x y) 2 4 = (x y 2)(x y + 2) ; 9) 16x 2 9(x + y) 2 ; 10) x + 2 x + 1 11) x 2 xy + y = 2 ( )x y ; 12) 1 - x x ; 13) a a - 1 ; 14) x x - 8 ; 15) x x + y y 16) (x + y) 3 x 3 y 3 = 3xy(x + y); 17) (x y + 4) 2 (2x + 3y 1) 2 Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 4 + x 2 y 2 + y 4 Giải: Ta có : A = x 4 + x 2 y 2 + y 4 = (x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 ) - x 2 y 2 = (x 2 + y 2 ) 2 - x 2 y 2 = (x 2 + y 2 + xy)(x 2 + y 2 xy) Bài 218: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x 4 + x 2 + 1 + (x 2 x + 1) 2 Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 7 đề TàI SKKN Giải: Ta có : M = x 4 + x 2 + 1 + (x 2 x + 1) 2 = (x 4 + 2x 2 + 1) x 2 + (x 2 x + 1) 2 = (x 2 + 1) 2 x 2 + (x 2 x + 1) 2 = (x 2 x + 1) (x 2 + x + 1) + (x 2 x + 1) 2 = (x 2 x + 1) (x 2 + x + 1 + x 2 x + 1) = 2(x 2 x + 1)(x 2 + 1) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + y) 3 +(x - y) 3 Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải nh sau : Cách 1: A = (x + y) 3 +(x - y) 3 = ((x + y) +(x - y)) 3 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x 3 3.2x(x 2 y 2 ) = 2x(4x 2 3(x 2 y 2 )) = 2x(x 2 + 3y 2 ) Cách 2: A = (x + y) 3 +(x - y) 3 = ((x + y) +(x - y))((x + y) 2 (x + y)(x y) + (x y) 2 = 2x(2(x 2 + y 2 ) - (x 2 y 2 )) = 2x(x 2 + 3y 2 ) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x 2 + 40x + 25 Giải: Ta có: A = 16x 2 + 40x + 25 = (4x) 2 + 2.4.5.x + 5 2 = (4x + 5) 2 Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y) 3 +(y - z) 3 +(z - x) 3 Giải: Dễ thấy : x y =(x z) + (z y) Từ đó ta có : (x - y) 3 = (x z) 3 + (z y) 3 + 3(x z)(z y)((x z) + (z y)) = - (z - x) 3 - (y - z) 3 + 3(z x)(y z)(x y) = 3(z x)(y z)(x y) Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) 3 (a 3 + b 3 + c 3 ) Giải: Ta có: A = (a + b+ c) 3 (a 3 + b 3 + c 3 ) = a 3 + 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + (b + c) 3 - (a 3 + b 3 + c 3 ) = a 3 + 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + b 3 + 3b 2 c + c 3 - (a 3 + b 3 + c 3 ) = 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a 2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 8 đề TàI SKKN = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x 8 2 8 Giải: Ta có : P = x 8 2 8 = (x 4 + 2 4 ) (x 4 - 2 4 ) = (x 4 + 2 4 )((x 2 ) 2 (2 2 ) 2 ) = (x 4 + 2 4 )(x 2 2 2 )(x 2 + 2 2 ) = (x 4 + 2 4 )(x 2 + 2 2 )(x 2)(x + 2) Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (x 3 1) + (5x 2 5) + (3x 3) Giải: Ta có: Q = (x 3 1) + (5x 2 5) + (3x 3) = (x 1)(x 2 + x + 1) + 5(x 1) (x + 1) + 3(x 1) = (x 1)( x 2 + x + 1 + 5x + 5 + 3) = (x 1)( x 2 + 6x + 9) = (x 1)(x + 3) 2 1.2.5. Phơng pháp đặt ẩn phụ Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ. Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x 2 + x) + 4(x 2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x 2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y 2 + 4y 12 = y 2 2y + 6y 12 = y(y 2) + 6(y 2) = (y 2)(y + 6) (1) Thay : y = x 2 + x vào (1) ta đợc : A = (x 2 + x 2)(x 2 + x 6) = (x 1)(x + 2)(x 2 + x 6) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) - 12 Giải: A = (x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x 2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành : A = y(y + 1) 12 = y 2 + y 12 = y 2 3y + 4y 12 = y(y 3) + 4(y 3) = (y 3)(y + 4) (*) Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 9 đề TàI SKKN Thay: y = (x 2 + x + 1) vào (*) ta đợc : A = (x 2 + x + 1 - 3)(x 2 + x + 1 + 4) = (x 2 + x 2) (x 2 + x + 6) = (x 1)(x + 2)(x 2 + x + 6) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 12 3x 6 + 1 Giải: B = x 12 3x 6 + 1 Đặt y = x 6 (y 0 ) Đa thức đã cho trở thành : B = y 2 3y + 1 = y 2 2y + 1 y = (y 1) 2 y = (y 1 - y )(y + 1 + y ) (*) Thay : y = x 6 vào (*) đợc : B = (x 6 1 - )1)( 66 xyx ++ = (x 6 1 x 3 )(x 6 + 1 + x 3 ) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 2 + 2xy + y 2 x y - 12 Giải: Ta có: A = x 2 + 2xy + y 2 x y 12 = (x + y) 2 (x + y) 12 - Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành : A = X 2 X 12 = X 2 - 16 X + 4 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + 4 - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta đợc : A = (x + y 4)( x + y + 3) 1.2.6. Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng) Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đa về hằng đẳng thức đáng nhớ. Sau đây là một số ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x 3 7x 6 Caựch giaỷi 1: Taựch -7x = - x 6x ủửụùc (x + 1)(x 2 x 6) roi taựch tieỏp - 6 = - 2 4. Nguyễn Thị Nh Thùy Lê Lợi EaHleo - Đăk Lăk 10 . phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phân tích đợc trên P. 1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa. đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử. + Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân. thức thành nhân tử a)Định lý 1 Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0. b)