Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: • Cung đối nhau: α và (- α ) * Cung hơn kém π: α và π + α Sin(α + π ) = -sin α cos(-α ) = cos α cos(α + π ) = - cos α sin(-α ) = -sin α tg(α + π ) = tg α tg(-α ) = - tg α cotg(α + π ) = cotg α cotg(-α ) = - cotg α * Cung phụ nhau α và ( ) 2 α π − * Cung bù nhau: α và π - α sin(π - α ) = sin α sin( ) 2 α π − = cos α cos(π-α ) = -cos α cos( ) 2 α π − = sin α tg(π - α ) = -tg α tg( ) 2 α π − = cotg α cotg(π - α ) = - cotg α cotg( ) 2 α π − = tg α Một số công thức cần nhớ: Công thức cộng: cos(a-b) = cosacosb + sinasinb cos(a+b) = … … Công thức nhân đôi: Dạng 1: Ví dụ 1: CMR: cos 4 x + sin 4 x = x4cos 4 1 4 3 + VT = 1 – 2sin 2 xcos 2 x = 1 - x2cos 2 1 2 = 1 - )4cos1( 4 1 x− = x4cos 4 1 4 3 + = VP (đpcm) Ví dụ 2: CMR: cos 6 x – sin 6 x = xx 6cos 16 1 2cos 16 15 + Ta có: cos 6 x – sin 6 x = (cos 2 x – sin 2 x)(cos 4 x + sin 4 x + sin 2 xcos 2 x) = cos2x(1 – sin 2 xcos 2 x) = cos2x( 1 - )2sin 4 1 2 x = cos2x[1 - 4 1 ( ) 2 4cos1 x− ] = cos2x( 1 - 8 1 + )4cos 8 1 x = cos2x( )4cos 8 1 8 7 x+ = xxx 4cos2cos 8 1 2cos 8 7 + = x2cos 8 7 + 8 1 [ 2 1 (cos6x + cos2x)] = x2cos 8 7 + x6cos 16 1 + x2cos 16 1 = xx 6cos 16 1 2cos 16 15 + (đpcm) Bài tập: 1. cos 4 x – sin 4 x = cos2x 2. sin 6 x + cos 6 x = x4cos 8 3 8 5 + 3. cos 8 x + sin 8 x = xx 8cos 64 1 4cos 64 7 64 35 ++ 4. cos 8 x - sin 8 x = xx 6cos 8 1 2cos 8 7 + Dạng 2: Một số công thức cần lưu ý: sin 2 cos 2 CBA = + sin(A+B) = sinC cos 2 sin 2 CBA = + cos(A+B) = - cosC tg 2 cot 2 C g BA = + tg(A+B) = -cotgC Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. CMR :sinA + sinB + sinC = 4cos 2 A cos 2 B cos 2 C VT = 2sin 2 cos 2 sin2 2 cos. 2 CCBABA + −+ = 2cos ) 2 cos 2 (cos 2 BABAC − + + = 4cos 2 A cos 2 B cos 2 C (đpcm) Ví dụ 2: CMR: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Ta có: A + B + C = π ⇔ A + B = π - C ⇔ tg(A+B) = tg(π - C) ⇔ tgC tgBtgA tgBtgA −= − + .1 ⇔ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm) Bài tập 2: Cho tam giác ABC CMR: a. cosA + cosB + cosC = 1 + 4 2 sin 2 sin 2 sin CBA b. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC c. cos2A + cos2B + cos2B = 1 – 4cosA.cosB.cosC d. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 + cosA.cosB.cosC) e. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 – 2cosA.cosB.cosC Bài tập 3: CM đẳng thức lượng giác bằng công thức cộng. a. sinB.cosC + sinC.cosB = sinA b. cosB.cosC – sinBsinC + cosA = 0 c. sin 2 B .cos 2 C + sin 2 cos 2 BC = cos 2 A Dạng 3: nhận dạng tam giác. + Tam giác cân: để CM tam giác ABC cân tại A ta sử dụng giả thuyết để đưa đến một trong các điều sau: • sin(B – C) = 0 • tgB = tgC • cos(B – C) = 1 • B = C Ví dụ1: CMR nếu tam giác ABC thỏa: sinA = 2sinBcosC, thì tam giác ABC cân. Giải: sinA = 2sinBcosC ⇔ sin(B+C) = sin(B+C) + sin( B - C) ⇔ sin( B - C) = 0 ⇔ B – C = 0 ⇔ B = C Ví dụ 2: CMR nếu tam giác ABC thỏa: tgA + 2tgB = tgA.tg 2 B, thì tam giác ABC cân giải: tgA + 2tgB = tgA.tg 2 B ⇔ tgA(1- tg 2 B) = - 2 tgB tgA = Btg tgB 2 1 2 − − = -tg2B ⇔ A+ 2B = π mà A + B + C = π suy ra B = C vậy tam giác ABC cân. Bài tập 4 : CMR tam giác ABC cân nếu: a. tgA + tgB = 2cotg 2 C b. 2 cot)sin(sin cos sin cos sin 22 C gBA B B A A +=+ + Tam giác vuông: để CM một tam giác vuông tại A. ta sử dụng giả thuyết để đưa đến một trong các điều kiện sau: • cosA = 0 • A = B + C • cos 2 sin 2 AA = • cos 2 2 2 = A Ví dụ: CMR nết tam giác ABC thoả: sinA = CB CB coscos sinsin + + Ta có: sinA = CB CB coscos sinsin + + ⇔ 2sin 2 cos 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 cos 2 CBCB CBCB AA −+ −+ = ⇔ 2sin 2 1 2 = A ⇔ 1 – cosA = 1 ⇔ cosA = 0 ⇔ A = 2 π vậy tam giác ABC vuông tại A Bài tập 5: CMR tam giác ABC vuông nếu: a. tgB BCA CB = −+ − )sin(sin )cos( b. sinC = cosA + cosB c. sin 2 A+ sin 2 B + sin 2 C = 2 d. sinA + sinB + sinC = cosA + cosB + cosC + 1 e. sin2A + sin2B = 4sinAsinB + Tam giác đều: Bài tập: CMR tam giác ABC đều nếu: a. cosA.cosB.cosC = 8 1 b. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C c. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 4 3 . thức lượng giác bằng công thức cộng. a. sinB.cosC + sinC.cosB = sinA b. cosB.cosC – sinBsinC + cosA = 0 c. sin 2 B .cos 2 C + sin 2 cos 2 BC = cos 2 A Dạng 3: nhận dạng tam giác. + Tam giác. C = π ⇔ A + B = π - C ⇔ tg(A+B) = tg(π - C) ⇔ tgC tgBtgA tgBtgA −= − + .1 ⇔ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm) Bài tập 2: Cho tam giác ABC CMR: a. cosA + cosB + cosC = 1 + 4 2 sin 2 sin 2 sin CBA b thì tam giác ABC cân. Giải: sinA = 2sinBcosC ⇔ sin(B+C) = sin(B+C) + sin( B - C) ⇔ sin( B - C) = 0 ⇔ B – C = 0 ⇔ B = C Ví dụ 2: CMR nếu tam giác ABC thỏa: tgA + 2tgB = tgA.tg 2 B, thì tam giác