-190Chơng 13 Lý thuyết va chạm 13.1 Các đặc điểm giả thiết va chạm 13.1.1 Định nghĩa Va chạm trình động lực học đặc biệt ®ã vËn tèc cđa vËt biÕn ®ỉi râ rƯt độ lớn phơng chiều thời gian vô bé Thí dụ: Quả bóng đập vào tờng bắn trở lại, búa đập vào đe dừng lại hẳn hay nẩy lên.v.v 13.1.1.2 Các đặc điểm giả thiết đơn giản hoá - Thời gian va chạm: Theo định nghĩa thời gian va chạm nhỏ, thực tế thời gian va chạm thờng 10-2 giây, 10-3 giây 10-4 giây tuỳ thuộc vào lý tính vật va chạm Vì thời gian va chạm nhỏ nên đợc xem đại lợng vô bé Vận tốc gia tốc: theo định nghĩa vận tốc vật thay đổi đột ngột lợng biến đổi vận tốc v vật thời gian va chạm giới nội Mặt khác theo giả thiết thời gian va chạm vô bé nên gia tốc trung bình trình va chạm wtb = v/ đại lợng lớn Trong thời gian va chạm Nếu gọi l đoạn đờng dịch chuyển thời gian va chạm vật thì: r r l = ∫ vdt = v tb τ V× đại lợng vô bé nên l đại lợng vô bé Để đơn giản ngời ta đa giả thiết trình va chạm hệ không di chuyển vị trí - Lực xung lực va chạm -191Khi va chạm lực thờng nh trọng lực, lực cản.v.v vật chịu tác dụng phản lực nơi tiếp xúc (Lực tác dụng tơng hỗ) Chính lực nguyên nhân tạo nên gia tốc chuyển động vật trình va chạm Lực gọi lực va r chạm ký hiƯu N N N(t) r r Lùc va ch¹m N kh¸c víi lùc th−êng F nã N* chØ xt trình va chạm, không tồn trớc sau va chạm Thờng khó xác định trớc đợc lùc va τ O t ch¹m nh−ng quy luËt biÕn đổi biểu Hình 13-1 diễn hình (13 1) r Vì gia tốc va chạm lớn nên lực va chạm N lớn Thông r thờng lực va chạm lớn nhiều so với lực thờng F Mặt khác lực va chạm lại biến đổi rõ thời gian va chạm vô nhỏ nên ngời ta đánh gi¸ t¸c dơng cđa nã qua xung lùc ¸p dơng định lý biến thiên động lợng cho hệ thời gian va ch¹m cã thĨ viÕt: τ r τ r mk∆vk = ∫ Fk dt + ∫ Ndt (k = n) r Fk dt lµ rÊt nhá so víi xung lùc va ∫ τ Trong ®ã xung lực lực thờng chạm ảnh hởng đến lợng biến đổi động lợng hệ không đáng kể Ngời ta đa giả thiết bỏ qua t¸c dơng cđa lùc th−êng Ta cã thĨ viÕt biểu thức biến thiên động lợng hệ va ch¹m nh− sau: τ r r mk∆vk = ∫ Ndt = s (13-1) Biểu thức (13-1) phơng trình trình va chạm - Biến dạng hệ số hồi phục -192Quan sát trình va chạm ngời ta chia hai giai đoạn: giai đoạn biến dạng giai đoạn hồi phục Giai đoạn biến dạng thời gian từ lúc bắt đầu va chạm vật biến dạng Giai đoạn håi phơc kÐo dµi thêi gian τ2 tõ kết thúc giai đoạn biến dạng đến lấy lại hình dạng ban đầu đến mức độ định tuỳ thuộc vào tính chất đàn hồi vật Căn vào mức độ hồi phục vật ta chia va chạm thành ba loại: va chạm mềm va chạm mà sau giai đoạn biến dạng vật khả hồi phục tức giai đọan hồi phục Va chạm hoàn toàn đàn hồi va chạm mà sau kết thúc va chạm vật lấy lại nguyên hình dạng ban đầu Va chạm không hoàn toàn đàn hồi va chạm mà sau kết thúc va chạm vật lấy lại phần hình dạng ban đầu Để phản ánh tính chất hồi phục vật giai đoạn hai ( gia đoạn hồi phục) ta đa khái niệm hệ số hồi phục k k tỷ số xung lực giai đoạn xung lực giai đoạn ta có: k= S2 S1 Với khái niệm ta thấy ứng với va chạm mềm k = 0; với va chạm hoàn toàn đàn hồi k =1 va chạm không hoàn toàn đàn hồi < k < 13.2 Các định lý tổng quát động lực học áp dụng vào va chạm Căn vào giả thiết phơng trình thiết lập định lý tổng quát trình va chạm nh sau: -19313.2.1 Định lý biến thiên động lợng Xét va chạm hệ gồm chất điểm M1, M2, Mn có khối tâm n r c vận tốc v c Gọi khối lợng hệ M = mk , với mk khối lợng k= chÊt ®iĨm thø k Ta cã biĨu thøc động lợng hệ là: r n r r K = ∑ mk v k = M v C k= r Gọi tổng xung lợng va chạm tác dụng lên chất điểm mk S ke n r r tổng xung lợng va chạm S ki ta cã ∑ S ki = k= Nếu bỏ qua xung lợng lực thờng định lý biến thiên động lợng cho hệ viết đợc: n r r r M V C(2) - M V C(1) = ∑ S ke (11-2) k= r r Trong ®ã V C(2) vµ V C(1) lµ vËn tèc khèi tâm hệ sau trớc lúc va chạm Thí dụ 13.1 Qủa cầu có trọng lợng P = 1KN rơi độ cao H = 3m xuống mặt phẳng nh½n Cho biÕt hƯ sè håi phơc k = 5/9 Xác định xung lực va chạm s thời gian va chạm vận tốc cầu sau va chạm (hình 13.2) Bài giải: áp dụng định lý biến thiên động lợng H h ta có: r r r M( u − v) = s r r u, v vận tốc cầu lúc va chạm vào mặt Hình 13.2 phẳng Các véc tơ có phơng thẳng đứng Chiếu biểu thức lên phơng thẳng đứng ta ®−ỵc: M (u + v) = S (a) -194VËn tèc cầu trớc lúc va chạm là: v= 2gH = 2.9,81.3 7,7 m / s Để xác định vận tốc u sau va chạm ta áp dụng định lý biến thiên động lợng cho giai đoạn biến dạng phục hồi Gọi v' vận tốc cầu ứng với cuối giai đoạn biến dạng ta có: M(u+v') = S1 S1 xung lợng va chạm giai đoạn biến dạng, v' vận tốc mặt sàn nên không, v' = ta có: Mv = S1 Đối với giai đoạn hồi phục ta còng cã: M(u+v') = S2 Mu = S2 Theo ®Þnh nghÜa vỊ hƯ sè håi phơc ta cã: k= Suy u = kv = s2 Mu u = = = s1 M v v 7,7 = 4,3 m/s Thay vµo biĨu thøc (a) ta ®−ỵc: s= P v.(1 + k ) ≈ 1,2 KNS g NÕu lÊy thêi gian va ch¹m τ = 0,0005 giây lực va chạm trung bình Ntb = S = 2400 KN 13.2.2 Định lý biến thiên mômen động lợng Tách chất điểm thứ k hệ Mk để xét Ta viết biểu thức biến thiên mômen động lợng chất điểm nh− sau: r r re r ri r r m (m k u k − m k v k ) = m s k + m s k ( ) ( ) ThiÕt lËp cho c¶ hƯ ta sÏ cã: ( ) ( ) N r N r r r re ri r r m (m k u k ) − ∑ m (m k v k ) = ∑ m s k + ∑ m s k ∑ i =1 i =1 -195N ( ) ( ) N r r ri re m s k = NÕu bá qua lùc th−êng th× ∑ m s k mômen có k =1 k =1 xung lực va chạm tâm O Ta có: ( ) N r r r r L 0(2 ) − L 0(1) = ∑ m S e k k =1 (13-13) r r Trong ®ã L 0(2 ) ; L 0(1) mômen động lợng hệ tâm O thời điểm sau trớc lúc va chạm Chiếu biểu thức (13-3) lên trục Ox ®ã ta ®−ỵc: ( ) N re Lx(2) - Lx(1) = ∑ m x s k k =1 (13-3)' Trong biểu thức (13-3), Lx(2) Lx(1) mômen động lợng cđa hƯ ®èi víi ( ) N re trơc Ox, m x s k tổng mô men lấy trục Ox xung lực va chạm k =1 Ske Biểu thức (13-3)' đợc áp dụng cho va chạm vật chuyển động quay Thí dụ 13-2: Hai bánh độc lập với quanh cïng mét trơc víi vËn tèc gãc lµ ω1 vµ Cho biết mômen quán tính chúng trục quay Cho biết mômen quán tính chúng trục quay J1 J2 Cho hai bánh đột ngột ăn khớp với Xác định vận tốc góc sau va chạm hai bánh Bài giải: Bỏ qua tác dụng trọng lợng J1.1 J2.2 lực ma sát Xét hệ gồm hai bánh răng, xung lực va chạm ăn khớp J. xung lực (néi xung lùc) Nh− vËy xung lùc va ch¹m Ske = áp dụng định lý biến thiên mômen động lợng ta có: Hình 13.3 -196Lx(2) - Lx(1) = (a) Mômen động lợng hệ trớc lúc va chạm là: Lx(1) = J11 + J22 Mômen động lợng hệ sau va chạm là: Lx(2) = (J1 + J2) Thay vào biểu thức (a) ta đợc: J11 + J2ω2 = (J1 + J2) ω Suy ra: ω= J 1ω1 + J ω J1 + J 13.2.3 Định lý động Định lý biến đổi động toán va chạm áp dụng đợc Nguyên nhân trình va chạm ta đà giả thiết di chuyển không đáng kể Mặt khác thực tế cho thấy va chạm động vật thờng bị mát để chuyển hoá thành nhiệt gây biến dạng d (đối với va chạm không hoàn toàn đàn hồi) Nếu gọi lợng động T rõ ràng T = T1 - T2 > Trong T1 T2 động hệ trớc sau va chạm Lợng động T phụ thuộc vào nhiều yếu tố: Trạng thái chuyển động, tính chất lý vật Trong kỹ thuật tuỳ thuộc vào yêu cầu toán đặt mà ta cần tăng hay giảm lợng động Thí dụ sử dụng va chạm vào việc gây biến dạng nh rèn, dập vật liệu ta phải tìm cách tăng lợng động T Trái lại cần sử dụng va chạm vào việc gây chuyển vật thể nh đóng cọc, đóng đinh phải tìm cách giảm lợng động T 13.3 Hai toán va chạm 13.3.1 Va chạm thẳng xuyên tâm hai vật chuyển động tịnh tiến 13.3.1.1 Định nghĩa -197Xét hai vật có khối lợng máy biến áp m2 chuyển động tịnh tiến với vận tốc v1 v2 va chạm vào (hình 13-4) n C1 v2 I C2 v1 n n' v2 I v1 C1 n' C2 a) b) Hình 13.4 - Va chạm thẳng: Là va chạm vận tốc v1 v2 song song với pháp tuyến chung nn' Đờng nIn' gọi đờng va chạm - Va chạm xuyên tâm: va chạm đờng va chạm nIn' trùng với đờng xuyên tâm c1Ic2 vật (hình 13-4b) 13.3.1.2 Bài toán va chạm thẳng xuyên tâm hai vật chuyển động tịnh tiến Cho hai cầu có khối lợng M1 M2 chuyển động tịnh tiến theo đờng r r r r xuyên tâm c1c2 với vận tốc v1 , v va ch¹m Cho biÕt M1, M2, v1 , v vµ r r hƯ sè håi phơc k, t×m vËn tèc u , u hai cầu sau va chạm, đồng thời thiết lập biểu thức động T hệ Mô hình học đợc mô tả hình (13-5) Hồi phơc BiÕn d¹ng v1 C1 u v2 I C2 C1 N12 N21 I u C2 v1 C1 C2 Nmax N'max Hình 13.5 u2 I N'12 N'21 -198áp dụng định lý biến thiên động lợng cho cầu giai đoạn biến dạng giai đoạn hồi phục ta có: M1 (u - v1) = S21 = - S (a) M2 (u - v2) = S1 = S (b) Giai ®o¹n håi phơc: M1 (u1 - u) = S'21 = - S' (c) M2 (u2 - u) = S'12 = S (d) Theo định nghĩa hệ số hồi phục ta có thêm phơng trình: S' = k.S (e) Trong phơng trình có ẩn số u, u1, u2, S, S' ta giải tìm kÕt qu¶ sau: u= M v1 + M v M u + M u = M1 + M M1 + M u1 = V1 - (1+k) u2 = V2 - (1+k) S= S= M1M M1 + M M1M M1 + M M2 M1 + M M2 M1 + M (V1 − V2 ) (V1 − V2 ) (13-4) V1 − V2 u1 − u Trong trờng hợp lợng động T đợc xác định nh sau: T = T1 - T2 Víi T1 = M1u M v + động hệ sau va chạm 2 Ta cã: ∆T = ( ) ( M1 M V12 − u + V22 − u 2 2 Thay giá trị u1 u2 từ biểu thức (11-4) ta đợc: ) -199- T = ( ) M1M 2 − k (v − v ) 2(M + M ) (13-5) M v1 So víi động ban đầu búa T0 = Ta cã: ( ) M2 ∆T 1− k2 = 1− k2 = =η M1 T0 M1 + M 1+ M2 η gäi lµ hiƯu st cđa bóa Râ rµng mn tăng hiệu suất búa ta phải tăng khối lợng đe Nếu áp dụng biểu thức (13-5) vào búa đóng cọc ta thấy kết ngợc lại Vì phải giảm lợng động nên hiệu suất búa đợc tính theo biểu thức: = T0 T ∆T = 1− T0 T0 Suy ra: 1− k2 η=1M 1+ M2 Muốn tăng hiệu suất búa ta phải tăng tỷ số M1 nghĩa phải tăng khối M2 lợng búa để đảm bảo khối lợng búa lớn nhiều B lần so với khối lợng cọc 13.3.2.2 Va chạm vật rắn chuyển động quay quanh trục Khảo sát vật rắn quay quanh trục (hình 13-6) Tại thời r điểm vật chịu tác dụng xung lực va chạm S Khi áp dụng định lý biến thiên mômen động lợng có: A Lz(1) - Lz(2) = mz (S) NÕu gäi vËn tèc góc vật trớc sau va chạm Hình 13.6 → S -200- ω0 vµ ω1 ta sÏ cã: Jz (ω1 - ω0) = mz (S) (13-6) Tõ (13-6) tính vận tốc vật sau va chạm: ω1 = ω0 + m z (S) Jz (13-7) ë Jz mômen quán tính vật trơc quay z r r Trong va ch¹m cđa vËt quay xung lực, phản lực ổ đỡ s A s B có hại làm tiêu hao lợng gây h hỏng ổ đỡ trục Nhiệm vụ r r toán tìm cách hạn chế xung lực s A s B Giải vấn đề ta áp dụng định lý động lợng vật Để đơn giản ta giả thiết lúc đầu vật đứng yên tøc lµ ω=0, ta cã: r r r r r K1 − K = S + SA + SB r Vì = nên K = phơng trình lại: r r r r r K = Mu c = S + S A + S B (a) r M khối lợng vật, u vận tốc khối tâm vật sau va chạm Để r r r r cho s A = s B = tõ (a) ta ph¶i cã ®iỊu kiƯn S = Mu c V× vËt quay quanh trục z nên u0 có phơng z vuông góc với OC nằm mặt phẳng B vuông góc với trục quay qua C (Xem hình SB 13-7) Mặt phẳng mặt phẳng oxy Ta suy ®iỊu kiƯn thø nhÊt ®Ĩ r s B triƯt tiªu xung lực S phải nằm mặt phẳng vuông gãc víi trơc quay vµ song song víi vËn tèc u nghĩa vuông góc với OC Về trị sè S = Muc = M.a.ω1 Thay ω1 = ω1 r s A vµ m Z (S) S.h ta cã: S = M a JZ JZ uC C O h x y S A SA H×nh 13.7 -201- Suy ra: J M.a.h = hay h = Z M.a JZ Kết luận: Để xung lợng va chạm ổ đỡ không cần phải thoả mÃn điều kiện sau: Xung lực va chạm S phải đặt mặt phẳng oxy qua khối tâm c vật vu«ng gãc víi trơc quay z Xung lùc S phải đặt vuông góc với đờng OC nối từ trục quay qua c điểm k đặt cách trục quay đoạn h h= JZ M.a Điểm K đợc xác định nh gọi tâm va chạm Từ biểu thøc (13-8) ta nhËn thÊy r»ng khèi t©m C nằm trục quay điểm K xa vô h = Trong trờng hợp ổ đỡ luôn nhận xung lực va chạm khác không Thí dụ 13-3: Thanh AB có khối lợng M, mômen quán tính đối vơi trục quay A Jk Chuyển động với vận tốc va đập vào vật C có khối lợng m đặt đứng yên rÃnh k (hình 13-8) Xác định vận tốc sau va chạm AB vật C nh xung lực ổ trục A Kích thớc cho hình vẽ Bài giải: r Gọi xung lực va chạm tác dụng lên vật C S xung lực tác dụng lên vật r AB S ta cã: y S =S= S C Ph−¬ng trình biểu diễn định lý biến thiên mômen động lợng cho AB viết B D S2 đợc: K JA (1 - 0) = -S.b b (a) C Phơng trình biểu diễn định lý biến thiên động lợng cho vật C viết đợc: S1 x S2 a A muc - mvc = S v0 = còn: Hình 13.8 -202muc = S (b) Xét c¶ hƯ sè: ( ) r LA(1) - LA(0) = ∑mA ( S c = suy ra: LA(1) = LA(0) hay JA ω0 = JA.ω1 + m.u.b = JA ω1 + m.ω1.b2 ω1 (JA + mb2) = JA.ω0 suy ra: ω1 = J A ω J A + mb u = ω1b = = ω0 mb 1+ JA ω0 b 1+ mb JA S = M.u = ω0 b b2 + m JA ... mômen động lợng có: A Lz(1) - Lz(2) = mz (S) NÕu gäi vËn tèc gãc cđa vËt tr−íc sau va chạm Hình 13. 6 S -2 0 0- ω0 vµ ω1 ta sÏ cã: Jz (ω1 - ω0) = mz (S) (1 3-6 ) Tõ (1 3-6 ) cã thÓ tÝnh vËn tốc vật... O thời điểm sau trớc lúc va chạm Chiếu biểu thức (1 3-3 ) lên trục Ox ta đợc: ( ) N re Lx(2) - Lx(1) = ∑ m x s k k =1 (1 3-3 )'' Trong biÓu thøc (1 3-3 ), Lx(2) Lx(1) mômen động lợng hệ ( ) N re trơc... toàn đàn hồi < k < 13. 2 Các định lý tổng quát động lực học áp dụng vào va chạm Căn vào giả thiết phơng trình thiết lập định lý tổng quát trình va chạm nh sau: -1 9 313. 2.1 Định lý biến thiên động