Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá Đề chính thức Số báo danh Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học: 2009 - 2010 Môn thi: Toán Lớp: 12 THpt Ngày thi: 24/ 03/ 2010 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi) Đề này có 05 bài gồm 01 trang Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số y = - x 3 + 3x - 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) kẻ từ điểm M(-2; 1). Bài 2: (6 điểm) 1. Giải phơng trình: 1 2 cos 2 sin 2 4 sin22cos 2 = + + xx xx 2. Giải hệ phơng trình : ( ) [ ] = +=++ + yxyx yxyx yx 4log 32 3. Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình ( )( ) mxxxx ++ 264 2 nghiệm đúng với mọi x [ ] 6;4 . Bài 3: (3 điểm) 1. Tính tích phân: I = 9 0 2 2 cos x dx 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau, trong đó phải có chữ số 2 và 4 ? Bài 4: (5 điểm) 1. Cho hình lập phơng ABCDA'B'C'D' cú cạnh bng a. Trên cỏc cạnh BC và DD' lần lợt lấy các điểm M và N sao cho BM = DN = x ( ax 0 ). Chứng minh rng MN AC' và tìm x để MN có độ dài nhỏ nhất. 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 và đ- ờng thẳng 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến PA và PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho PA PB. 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Viết phơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lợt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC không tù. Chứng minh rng: 9 310 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan +++ CBACBA Du ng thc xy ra khi n o ? Hết SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 5 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2010 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 4 điểm 1 3đ Tập xác định R. Sự biến thiên: y' = - 3x 2 + 3 = 3(1 - x 2 ) y' = 0 1; 1x x⇔ = − = 0,25 0,25 y' < 0 1 1 x x > ⇔ < − hàm số nghịch biến trong khoảng ( ; 1)∞ − và (1; + ∞ ) y' > 0 ⇔ -1 < x < 1 hàm số đồng biến trong khoảng (-1; 1). Điểm cực đại (1; 1). Điểm cực tiểu (-1; -3) 0,5 0,25 Giới hạn lim ;lim x x y y →+∞ →−∞ = −∞ = +∞ . Đồ thị hàm số không có tiệm cận. 0,25 Bảng biến thiên x - ∞ -1 1 + ∞ y' - + - y +∞ 1 -3 −∞ 0,75 Đồ thị đi qua điểm (-2; 1) và (2; -3). y Điểm uốn I(0; -1) là tâm đối xứng 1 -2 -1 I 1 2 x -3 0,75 2 1đ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-2; 1) có hệ số góc k: y = k(x + 2) + 1 Đường thẳng tiếp xúc với (C) 3 2 3 1 ( 2) 1 3 3 x x k x x k − + − = + + ⇔ − + = (1) có nghiệm. 0,25 0,25 (1) 3 2 2 1 0 2 6 8 0 2 3 3 9 x k x x x k x k = = + − = ⇔ ⇔ = − = − = − 9;0 −==⇒ kk Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) thoả mãn bài toán là: y = 1 và y = - 9x -17 0,25 0,25 Bài 2 6 điểm 1 2đ Điều kiện sin x os 0 2 2 2 2 x c x k π π − ≠ ⇔ ≠ + k ∈ Z 0,25 Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 2 cosx = 0 2cos x - 1-sinx - cosx + 2 = 1 2cos x - cosx = 0 1 1 - sinx cosx = 2 ⇔ ⇔ 0,5 * cosx = 0 kết hợp với điều kiện 2 2 x k π π ≠ + suy ra GHI CHÚ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. . Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá Đề chính thức Số báo danh Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học: 2009 - 2010 Môn thi: Toán Lớp: 12 THpt Ngày thi: 24/ 03/ 2010 Thời gian: 180 phút (không. Hết SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 5 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2010 Thời gian làm. ⇔ = − = − = − 9;0 −==⇒ kk Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) thoả mãn bài toán là: y = 1 và y = - 9x -17 0,25 0,25 Bài 2 6 điểm 1 2đ Điều kiện sin x os 0 2 2 2 2 x c x k π π −