SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Câu I. (5,0 điểm): 1) Cho phương trình: x 2 – 2mx + 2m – 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2(1 ) x x P x x x x + = + + + khi m thay đổi. 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thõa mãn 1 1 1 a b c + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 A a b c= + + là số hữu tỉ (b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B x y y z z x = + + − − − là số hữu tỉ Câu II. (5,0 điểm): 1) Giải phương trình: 2 2 10 1 1 9 x x x x + = ÷ ÷ − + 2) Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 3 1 1 1 4 1 4 x x y y x x x y y y + + + = ÷ + + + = Câu III. (2,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính · BPE . Câu IV. (4,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O ∉ AB). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (P ≠ A, B và khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N ≠ P). 1) C/m rằng: · · = BNPANP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn 2) C/m rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua một điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm): 1) Cho a 1 , a 2 , a 3 , a 45 là 45 số tự nhiên thỏa mãn a 1 < a 2 < a 3 < <a 45 ≤ 130. Đặt d j = a j+1 – a j , (j = 1,2, 44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần. 2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2 2011a b b c c a+ + + + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2011 2 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + _________________Hết _________________ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN 1) 2,5đ Ta có 2 ' ( 1) 0,m m∆ = − ≥ ∀ nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. Theo định lí viet, ta có 1 2 1 2 2 , 2 1x x m x x m+ = = − , suy ra 2 4 1 4 2 m P m + = + 2 2 (2 1) 1 1. 1, 4 2 m Max P m − = − ≤ = + khi 1 . 2 m = 2a) 1,5đ Từ giả thiết suy ra 2 2 2 0ab bc ca− − = Suy ra 2 ( )A a b c a b c= + − = + − là số hữu tỉ 2b) 1,0đ Đặt 1 1 1 , ,a b c x y y z x z = = = − − − suy ra 1 1 1 . a b c + = Áp dụng câu 2a) suy ra 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B x y y z z x = + + − − − là số hữu tỉ. 1) 2,5đ Đk: 1.x ≠ ± Phương trình tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 10 2 2 10 2 0. 1 1 1 9 1 1 9 x x x x x x x x x x + − = ⇔ − − = ÷ ÷ + − − − − Đặt 2 2 2 , 1 x t x = − ta được phương trình 2 10 5 0 9 3 t t t− − = ⇔ = hoặc 2 3 t − = Với 5 , 3 t = ta được 2 2 2 5 1 3 x x = − (vô nghiệm) Với 2 , 3 t = − ta được 2 2 2 2 1 3 x x = − − suy ra 1 . 2 x = ± 2) 2,5đ Đk: 0.y ≠ Hệ tương đương với 2 2 3 3 1 1 4 1 1 4. x x y y x x x y y y + + + = + + + = ÷ Đặt 1 , u x y x v y = + = ta được hệ 2 2 3 2 2 4 4 4 0 2 1. 2 4 4 2 u u v u u u v u uv u u v + − = − + = = ⇔ ⇔ = − = + − = Với 2 1, u v = = ta được 1 2 1 1. 1 x x y x y y + = = ⇔ = = (thoả mãn điều kiện) Kẻ EF AC⊥ tại F, DG BC ⊥ tại G. Theo giả thiết ( ) ( )ADPE BPC S S= ( ) ( ) . ACE BCD S S⇒ = Mà AC BC EF DG= ⇒ = và µ µ A C= Suy ra .AEF CDG AE CG∆ = ∆ ⇒ = Do đó · · ( )AEC CDB c g c DBC ECA∆ = ∆ − − ⇒ = · · · · · 0 60BPE PBC PCB PCD PCB⇒ = + = + = 1) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến A O N C D B P Q E H . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Câu I. (5,0 điểm): 1) Cho phương trình: x 2 – 2mx. hiện ít nhất 10 lần. 2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2 2011a b b c c a+ + + + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2011 2 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + _________________Hết _________________ HƯỚNG. đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N ≠ P). 1) C/m rằng: · · = BNPANP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn 2) C/m rằng đường trung trực của đoạn ON