GV Nguyn Bỏ Trỡnh Chuyên đề 1 Phơng trình lợng giác A. Công thức lợng giác cần nhớ I. Một số công thức lợng giác cần nhớ 1) 2 2 2 2 2 2 1 1 sin x cos x 1;1 tan ;1 cot . cos sin x x x x + = + = + = 2) sin cos 1 tanx ;cot x ;tan cos sin cot x x x x x x = = = . 3) Công thức cộng: sin( ) sin cos cos cos( ) cos cos sin sin a b a b asinb a b a b a b = = m 4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 - 2 sin 2 x 5) Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2 1 cos2 cos ;sin 2 2 x x x x + = = 6) Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx 4sin 3 x; cos3x = 4cos 3 x 3cosx. 7) Công thức biểu diễn theo tanx: 2 2 2 2 2tan 1 tan 2tan sin 2 ;cos2 ;tan 2 1 tan 1 tan 1 tan x x x x x x x x x = = = + + . 8) Công thức biến đổi tích thành tổng: ( ) ( ) ( ) 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = + = + + 9) Công thức biến đổi tổng thành tích: sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + = + = + + = + = - 1 - GV Nguyn Bỏ Trỡnh B. Một số dạng bài tập vê phơng trình lợng giác Dạng 1. Phơng trình bậc hai. Bài 1. Giải các phơng trình sau: 1) 2cosx - 2 = 0 2) 3 tanx 3 = 0 3) 3cot2x + 3 = 0 4) 2 sin3x 1 = 0 5) 2 cosx + sin2x = 0 Bài 2. Giải các phơn trình sau: 1) 2cos 2 x 3cosx + 1 = 0 2) cos 2 x + sinx + 1 = 0 3) 2cos 2 x + 2 cosx 2 = 0 4) cos2x 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos 2 x - 4 3 cosx + 3 = 0 7) 2sin 2 x cosx + 7 2 = 0 8) 2sin 2 x 7sinx + 3 = 0 9) 2sin 2 x + 5cosx = 5. Bài 3. Giải các phơng trình: 1) 2sin 2 x - cos 2 x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos 2 x - 5sin 2 x - 5cosx + 4 = 0 3) 5sinx(sinx - 1) - cos 2 x = 3 4) cos2x + sin 2 x + 2cosx + 1 = 0 5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx (3 + 2 ) = 0 6) tan 2 x + ( 3 - 1)tanx 3 = 0 7) 3 3cot 3 2 sin x x = + 8) 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x + = 9) cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2) 1 sin 2 1 x x x x x x + + + = . Dạng 2. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx Bài 1. Giải các phơng trình sau: 1) 4sinx 3cosx = 2 2) sinx - 3 cosx = 1 3) 3 sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + 3 cos4x = 2 5) 5cos2x 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5 Bài 2. Giải các phơng trình: 1) 3cos3 sin3 2x x+ = 2) 3 3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x = + 3) cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x = 4) cos7 3sin7 2x x = 5) 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = + Dạng 3. Phơng trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin. 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x 3sinxcosx + 1 = 0. 3) 4 3 sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5 2 . 4) 5 2 3sin (3 ) 2sin( )cos( ) 2 2 x x x + + + 3 2 5sin ( ) 0 2 x + = . 5) a) 1 3 sin cos cos x x x + = ; b) 1 4sin 6cos cos x x x + = . 6) cos2x 3sinxcosx 2sin2x 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx cos2x = 2. 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0. 10) 2 2 sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5+ . Dạng 4. Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: Bài 1. Giải các phơng trình sau: - 2 - GV Nguyễn Bá Trình 1) (2 2)+ (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 Bµi 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 2 (sinx + cosx) - sinxcosx = 1. 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = 2 2 . 3) 1 1 10 cos sin cos sin 3 x x x x + + + = . 4) sin 3 x + cos 3 x = 2 2 . 5) sinx – cosx + 7sin2x = 1. 6) (1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2x x x x+ − + = + . 7) sin 2 2sin( ) 1 4 x x π + − = . 8) sin cos 4sin 2 1x x x− + = . 9) 1 + tgx = 2 2 sinx. 10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2. 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0. - 3 - GV Nguyễn Bá Trình C. Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) sin3x = 1 2 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 2 2 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60 o ) = - 3 13) sin3x = cos4x 4) cot 5 7 x π − ÷ = 1 3 14) tan3x.tanx = 1 5) sin2x = sin 3 4 x π + ÷ 15) sin(2x + 50 o ) = cos(x + 120 o ) 6) tan 2 3 x π + ÷ = tan 3 6 x π − ÷ 16) 3 - 2sin2x = 0 7) cos(3x + 20 o ) = sin(40 o - x) 17) 2cos 3 4 x π + ÷ - 3 = 0 8) tan 4 x π + ÷ = - cot 2 3 x π − ÷ 18) 3tan 2 20 3 o x − ÷ + 3 = 0 9) sin(2x - 10 o ) = 1 2 víi -120 o < x < 90 o 19) 2sinx - 2 sin2x = 0 10) cos(2x + 1) = 2 2 víi - π < x < π 20) 8cos 3 x - 1 = 0 Bµi 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) sin 2 x = 1 2 11) sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x 2) cos 2 3x = 1 12) sin ( ) 2cos 2 4 x x π − + ÷ tan2x = 0 3) sin 4 x + cos 4 x = 1 2 13) (2sinx + 1) 2 - (2sinx + 1)(sinx - 3 2 ) = 0 4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0 5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin 2 2x = cos 2 2x - cosx 8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x 9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x = 1 2 Bµi 3. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 2sin 2 x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin 2 x + 4cosx - 1 = 0 3) tan 2 6 x π + ÷ + 2cot 2 6 x π + ÷ - 3 = 0 4) 2 2 + (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0 sin 2x - 4 - GV Nguyễn Bá Trình 5) cot 2 x - 4cotx + 3 = 0 6) cos 2 2x + sin2x + 1 = 0 7) sin 2 2x - 2cos 2 x + 3 4 = 0 8) 4cos 2 x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0 9) tan 4 x + 4tan 2 x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0 11) 2 1 cos x + 3cot 2 x = 5 Bµi 5. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2 3) 2sin 4 x π + ÷ + sin 4 x π − ÷ = 3 2 2 4) 2 3cos + 4sinx + = 3 3cos + 4sinx - 6 x x 5) 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0 6) cos7x - sin5x = 3 (cos5x - sin7x) 7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx Bµi 6. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos 3 x + sin 3 x = 1 5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 0 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2 sin(x - 45 o ) = 1 9) 2sin2x + 3 |sinx + cosx| + 8 = 0 10) (sinx - cosx) 2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) + 2 = 0 Bµi 7. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) sin 2 x - 10sinxcosx + 21cos 2 x = 0 2) cos 2 x - 3sinxcosx + 1 = 0 3) cos 2 x - sin 2 x - 3 sin2x = 1 4) 3sin 2 x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos 2 x = 0 5) 4sin 2 x + 3 3 sin2x - 2cos 2 x = 4 6) 2sin 2 x + (3 + 3 )sinxcosx + ( 3 - 1)cos 2 x = 1 7) 2sin 2 x - 3sinxcosx + cos 2 x = 0 8) cos 2 2x - 7sin4x + 3sin 2 2x = 3 Bµi 8. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) 4cos 2 x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0 2) tan 2 x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0 3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin 2 2x - 2cos 2 x + 3 4 = 0 5) 2cos6x + tan3x = 1 6) 2 1 cos x + 3cot 2 x = 5 Bµi 9. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) sin 2 x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1 2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1 3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos 2 x + 1 5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x - 5 - GV Nguyễn Bá Trình 6) sin(4x + π 4 )sin6x = sin(10x + π 4 ) 7) (1 + tan 2 )(1 + sin2x) = 1 8) tan( 2π 3 - x) + tan( π 3 - x) + tan2x = 0 Bµi 10. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) (1 - cos2x)sin2x = 3 sin 2 x 2) sin 4 x - cos 4 x = cosx 3) 1 1π 1 - cotx + cos(x - ) = 1 + cosx 4 2(1 + cotx) 2 4) 1 - (2 + 2 )sinx = 2 2 2 1 + cot x − 5) tan 2 x = 1 - cosx 1 - sinx 6) 2(sin 3 x + cos 3 x) + sin2x(sinx + cosx) = 2 7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin 2 x Bµi 10. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) sinx + cosx - sin2x 3 - 1 = 0 2) (1 + 2 )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + 2 ) = 0 3) tanx + tan2x = tan3x 4) 1 cosx sinx = x 1 - cosx cos 2 + - 6 - GV Nguyn Bỏ Trỡnh D. Một số Bài thi đại học vê phơng trình lợng giác Bài 1. Giải các phơng trình 1) (1 + tanx)cos 3 x + (1 + cotx)sin 3 x = 2sin2x 2) tan 2 x - tanxtan3x = 2 3) 2 5 - 3sin x - 4cosx = 1 - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x 5) tanx + cotx = 4 6) sin 2 1 + sinx x + 2cosx = 0 7) 2tanx + cotx = 2 3 + sin2x 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 9) 2sin3x(1 - 4sin 2 x) = 1 10) 2 2 cot x - tan x = 16(1 + cos4x) cos2x 11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1 16 12) cos10x + cos 2 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos 2 3x 13) sin 2 xcosx = 1 4 + cos 3 xsinx 14) sin 6 x + cos 6 x = cos4x 15) sin 4 x + cos 4 x = 7 8 cot(x + 3 )cot( 6 - x) 16) sinxcot5x = 1 cos9x 17) sin 3 xcos3x + cos 3 xsin3x = sin 3 4x 18) 2sin3x - 1 sinx = 2cos3x + 1 cosx 19) cos 3 xcos3x + sin 3 xsin3x = 2 4 20) 4 4 sin + cos x 1 = sin 2 2 x x (tanx + cotx) 21) 1 + tanx = 2 2 sinx 22) cosx - sinx = 2 cos3x 23) 2 3sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx 24) sin 3 x + cos 3 x + sin 3 xcotx + cos 3 xtanx = 2sin2x 25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1 26) 2sin(3x + 4 ) = 2 1 + 8sin2xcos 2x - 7 - GV Nguyn Bỏ Trỡnh Bài 2. Giải các phơng trình 1) sin 4 x 3 ữ + cos 4 x 3 ữ = 5 8 2) 4sin 3 x + 3cos 3 x - 3sinx - sin 2 xcosx = 0 3) cos 3 x - sin 3 x - 3cosxsin 2 x + sinx = 0 4) 2 2 2 2 (1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx - tan xsinx = + tan x 4(1 - sinx) 2 5) sin 2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 6) cos 6 x + sin 6 x = 7 16 Bài 3. Giải các phơng trình 1) cos2 + 3cot2x + sin4x = 2 cot 2 - cos2x x x 2) 2 2 4sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x = 0 cosx 3) 2 cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1 = 1 1 + sin2x 4) sin4x = tanx 5) cos2x + sin 2 x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 3 2 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos 3 x + 3 2 sin2x = 8cosx Bài 4. Giải phơng trình lợng giác 1) cosx + 3 sinx = 3 - 3 cosx + 3sinx + 1 2) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin 3 3x 3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 5) 4(sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin4x = 2 6) 4sin 3 x - 1 = 3sinx - 3 cos3x 7) 3 sin2x + cos2x = 2 8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 9) cos 2 x - 3 sin2x = 1 + sin 2 x Bài 5. Giải các phơng trình (biến đổi đa về dạng tích) 1) sin3x - 2 3 sin 2 x = 2sinxcos2x 2) sin 2 2x + cos 2 8x = 1 2 cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos 2 x 4) cosxcos x 2 cos 3x 2 - sinxsin x 2 sin 3x 2 = 1 2 5) tanx + tan2x - tan3x = 0 6) cos 3 x + sin 3 x = sinx - cosx 7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x 8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos 2 x 9) 2cos 3 x + cos2x + sinx = 0 10) sin3x - sinx = sin2x 11) cos 1 sin 1 sin x x x = + 12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0 - 8 - GV Nguyn Bỏ Trỡnh 13) cos 4 x 2 - sin 4 x 2 = sin2x 14) 3 - 4cos 2 x = sinx(2sinx + 1) 15) 2sin 3 x + cos2x = sinx 16) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 3 2 17) cos 3 x + sin 3 x = sinx - cosx 18) sin 3 x + cos 3 x = 2(sin 5 x + cos 5 x) 19) sin 2 x = cos 2 2x + cos 2 3x 20) sin 2 3x - sin 2 2x - sin 2 x = 0 21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0 22) 2sin 3 x - sinx = 2cos 3 x - cosx + cos2x 23) 2sin 3 x - cos2x + cosx = 0 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx) 26) 4cos 3 x + 3 2 sin2x = 8cosx 27) sin3x + sin2x = 5sinx Bài 6. Giải các phơng trình 1) sin3x - sinx 1 - cos2x = cos2x + sin2x với 0 < x < 2 2) sin(2x + 5 2 ) - 3cos(x - 7 2 ) = 1 + 2sinx với 2 < x < 3 3) cos7x - 3 sin7x = - 2 với 2 6 < x < 5 7 Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: 1) y = 2sin 2 x + 3sinxcosx + 5cos 2 x 2) y = cosx + 2sinx + 3 2cosx - sinx + 4 trong khoảng ( - ; ) 3) y = 4sin 2 x + 2sin(2x + ) 4 4) y = sinx - cos 2 x + 1 2 Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới). 1) A_02. Giải phơng trình: 5 cos3x + sin3x sin + 1 2sin2x x ữ + = cos2x + 3 2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 3) A_03. Giải phơng trình: cotx - 1 = cos2x 1 + tanx + sin 2 x - 1 2 sin2x 4) D_03. Giải phơng trình: sin 2 ( x 2 - 4 )tan 2 x - cos 2 x 2 = 0 5) D_04. Giải phơng trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx 6) A_05. Giải phơng trình: cos 2 3xcos2x - cos 2 x = 0 7) D_05. Giải phơng trình: cos 4 x + sin 4 x + cos(x - 4 )sin(3x - 4 ) - 3 2 = 0 8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; ) của phơng trình: - 9 - GV Nguyễn Bá Trình 4sin 2 x 2 - 3 cos2x = 1 + 2cos 2 (x - 3π 4 ) 9) A_05_dù bÞ 2. Gi¶i pt: 2 2 cos 3 ( x - π 4 ) - 3cosx - sinx = 0 10) D_05_dù bÞ 1. Gi¶i pt: tan( 3π 2 - x) + sin 1 cos x x+ = 2 11) D_05_dù bÞ 2. Gi¶i pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 12) A_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: cos3xcos 3 x - sin3xsin 3 x = 2 + 3 2 8 13) A_06_dù bÞ 2. Gi¶i pt: 4sin 3 x + 4sin 2 x + 3sin2x + 6cosx = 0 14) B_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: (2sin 2 x - 1)tan 2 2x + 3(2cos 2 x - 1) = 0 15) B_06_dù bÞ 2. Gi¶i pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 16) D_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: cos 3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1 17) D_06. Gi¶i pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 18) A_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x 19) B_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sin 2 2x + sin7x - 1 = sinx 21) D_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: (sin 2 x 2 + cos 2 x 2 ) 2 + 3 cosx = 2 22) C§_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sin 2 ( π 4 - 2x) + 3 cos4x = 4cos 2 x - 1 23) A_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 7π + = 4sin - x 3π sinx 4 sin x - 2 ÷ ÷ 24) B_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin 3 x - 3 cos 3 x = sinxcos 2 x - 3 sin 2 xcosx 25) D_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 26) C§_08. Gi¶i pt: sin3x - 3 cos3x = 2sin2x - 10 -