TRNG THCS VINH THANH đề thi học sinh giỏi cấp trờng Năm học : 2009 - 2010 Môn : Toán 8 - thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Bài 1 : Cho a, b, c thỏa mãn : a b c b c a c a b c a b + + + = = Tính giá trị biểu thức : 1 . 1 . 1 b c a P a b c = + + + ữ ữ ữ GII : Từ gt suy ra : 2 2 2 a b c b c a c a b a b c b c a c a b c a b c a b + + + + + + + + + + = + = + = = Xét hai trờng hợp : - T/h 1 : Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = -a c + a = -b Khi đó : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . . 1 b c a a b b c c a c a b abc P a b c a b c a b c abc + + + = + + + = = = = ữ ữ ữ ữ ữ ữ - T/h 2 : Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8 Bài 2 : Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c + + = và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = GII : Từ 1 1 1 2 a b c + + = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 a b c a b c ab bc ca + + = + + + + + = ữ ữ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c a b c abc + + + + + = ữ theo giả thiết a + b + c = abc 1 a b c abc + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 a b c a b c + + + = + + = ( đpcm) Bài 3 : Cho các số x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + + ữ GII : Ap dụng BDT Côsi ta có : 2 2 2 2 2 2 2 (1) 2 (2) 2 (3) x y xy y z yz z x zx + + + Cộng từng vế ba BDT trên ta đợc : 2 2 2 2( ) 2( )x y z xy yz zx+ + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( ) 3( ) ( ) x y z x y z x y z xy yz zx x y z x y z + + + + + + + + + + + + + + Chia hai vế cho chín ta đợc : 2 2 2 2 ( ) 3 9 x y z x y z+ + + + = hay 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + + ữ (đpcm) Bài 4 : Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng : 16 a b abc + GV: KIM THCH ST 1 E A TRNG THCS VINH THANH GII : áp dụng BDT Côsi ta có : x + y 2 xy do đó ( a + b ) + c 2 ( )a b c+ 1 2 ( ) 1 4( )a b c a b c + + nhân hai vế với a + b > 0 ta đợc : 2 4( )a b a b c+ + mà ta chứng minh đợc 2 ( ) 4a b ab+ Do đó (a + b) 4(4ab)c hay a + b 16abc đpcm Bài 5 : Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD ( hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó ) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 AE AF AD + = GII : G F C A B D E Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AF cắt CD tại G Chứng minh đợc ABE = ADG ( g.c.g) AE = AG . Xét tam giác AGF vuông tại A có AD là đờng cao nên ta có : 2 2 2 1 1 1 AG AF AD + = do đó thayta đợc AG = AE 2 2 2 1 1 1 AE AF AD + = (đpcm) Bài 6 : Cho ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đờng phân giác. Biết IA = 2 5 cm, IB = 3 cm. Tính độ dài AB? GII : H M I B C A Kẻ AM AC , M CI. Ta chứng minh đợc AMI cân tại I IM = IA = 2 5 . Kẻ AH MI => HM = HI . Đặt HM = HI = x ( x > 0 ) Xét AMC vuông tại A ta có 2 .AM MH MC= ( ) ( ) 2 2 (2 5) .(2 3) 2 3 30 0 2 5 4 0 x x x x x x = + + = + = x = 2,5 hoặc x = -4 (loại vì x > 0). Vậy MC = 8cm Ta có 2 2 2 2 2 8 (2 5) 64 20 44AC MC AM= = = = 44 2 11 2 11AC cm AB cm = = = GV: KIM THCH ST 2 . TRNG THCS VINH THANH đề thi học sinh giỏi cấp trờng Năm học : 2009 - 2010 Môn : Toán 8 - thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Bài 1 : Cho a, b, c thỏa. có 2 .AM MH MC= ( ) ( ) 2 2 (2 5) .(2 3) 2 3 30 0 2 5 4 0 x x x x x x = + + = + = x = 2,5 hoặc x = -4 (loại vì x > 0). Vậy MC = 8cm Ta có 2 2 2 2 2 8 (2 5) 64 20 44AC MC AM= = = = 44. theo giả thi t a + b + c = abc 1 a b c abc + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 a b c a b c + + + = + + = ( đpcm) Bài 3 : Cho các số x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 3 x y z x