THÔNG TIN TÀI LIỆU
Chuyên đề Phơng trình lợng giác A Công thức lợng giác cần nhớ I Một số công thức lợng giác cần nhớ 1) 2) 1 ;1 + cot x = cos x sin x sin x cos x tanx = ;cot x = ; tan x = cos x sin x cot x sin x + cos x = 1;1 + tan x = 3) C«ng thøc céng: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos asinb cos(a ± b) = cos a cos b m a sin b sin 3) 3cot2x + =0 =0 5) Công thức hạ bậc: + cos x − cos x ;sin x = 2 6) Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx 7) C«ng thøc biĨu diÔn theo tanx: tan x − tan x tan x sin x = ;cos x = ; tan x = 2 + tan x + tan x − tan x 2) 4) tanx – = sin3x – = 5) cosx + sin2x = Bài Giải phơn trình sau: 1) 2cos2x – 3cosx + = 2) cos2x + sinx + = 3) 2cos2x + cosx – = 4) cos2x – 5sinx + = 5) cos2x + 3cosx + = 7) 2sin2x – cosx + 4) C«ng thøc nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x sin2x = cos2x – = - sin2x cos x = 1) 2cosx - =0 6) 4cos2x - cosx + = 8) 2sin2x – 7sinx + = 9) 2sin2x + 5cosx = Bài Giải phơng trình: 1.)2sin2x - cos2x - 4sinx + = 2) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + = 3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 4) cos2x + sin2x + 2cosx + = 5)3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 6)tan2x + ( 8) 8) Công thức biến đổi tÝch thµnh tỉng: - 1)tanx – = 07) = 3cot x + sin x 4sin 2 x + 6sin x − − 3cos x =0 cos x cos x(cos x + 2sin x) + 3sin x(sin x + 2) = sin x − 1 ( cos(a − b) + cos(a + b) ) sin a sin b = ( cos( a − b) − cos( a + b) ) sin a cos b = ( sin( a − b) + sin( a + b) ) 9) 9) Công thức biến đổi tổng thành tÝch: 3) sin3x + cos3x = 4) sin4x + cos4x = 5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = Bài Giải phơng trình: sin x +sin y = sin x +y x −y cos 2 x +y x −y sin x −sin y = cos sin 2 x +y x −y cos x +cos y = cos cos 2 x +y x −y cos x −cos y =− sin sin 2 1) cos a cos b = Dạng Phơng trình bậc sinx cosx Bài Giải phơng trình sau: 1) 4sinx 3cosx = 2) sinx - cosx = 2) 3sin x − cos9 x = + 4sin 3 x cos3 x + sin x = 3) cos7 x cos5 x − sin x = − sin x sin x 4) cos7 x − sin x = − 5) 2(sin x + cos x )cos x = + cos x Dạng Phơng trình đẳng cấp bậc hai sin côsin 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - = 2) sin2x – 3sinxcosx + = B Mét sè d¹ng tập vê ph ơng trình lợng giác Dạng Phơng trình bậc hai Bài Giải phơng trình sau: -1- 3) sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5π π 2 3π 3sin (3π − x) + 2sin( + x ) cos( + x) −5sin ( + x) = 2 1 5) a) sin x + cos x = ; b) 4sin x + cos x = cos x cos x 4) 6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – = 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 10) sin x - 3sinxcosx + 5cos x 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - = = Dạng Phơng trình đối xứng sinx cosx: Bài Giải phơng trình sau: 1) (2 + 2) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 +1 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + = 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + = 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = Bài Giải phơng trình: 1) (sinx + cosx) - sinxcosx = 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = 3) 7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 2 1) sin2x = 2 (1 + 2)(sin x − cos x) + 2sin x cos x = + π 7) sin x + sin( x − ) = 8) sin x − cos x + 4sin x = 9) + tgx = 2 sinx 10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = C Bµi tËp tù lun Bµi Giải phơng trình sau: 3) - 2sin2x = x π + ÷ =0 3 4 2x 18) 3tan − 20o ÷ + = 17) 2cos 12) sin x − 3) sin4x + cos4x = 4) 5) 6) 7) 8) 9) sinx + cosx = cosx.cos3x = cos5x.cos7x cos2x.cos5x = cos7x sin3x.cos7x = sin13x.cos17x sin4x.sin3x = cosx + 2cosx + cos2x = π ÷ 2cos x + 4 ( 13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx 14) 15) 16) 17) 18) 19) tan(x + 60o) = - 10) cosx + cos2x + cos3x = 20) cosx - cos2x + cos3x = Bài Giải phơng trình: 1) 2sin2x - 3sinx + = 2) 4sin2x + 4cosx - = 12) tan(3x + 2) + cot2x = 2 3) tan 13) sin3x = cos4x -2- ) tan2x = 3)=0 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x = + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x cos7x + sin22x = cos22x – cosx sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 16) 11) sin2x + sin22x = sin23x 2) cos23x = 6) sin3x = 15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o) Bài Giải phơng trình: 5) sinx cosx + 7sin2x = 1) 14) tan3x.tanx = π π ÷ = - cot x − ÷ 4 3 9) sin(2x - 10o) = víi -120o < x < 90o 19) 2sinx - sin2x = 10) cos(2x + 1) = víi - π < x < π 20) 8cos3x - = 8) tan x + 1 10 cos x + + sin x + = cos x sin x 4) sin3x + cos3x = π − 5x ÷ = 7 π 5) sin2x = sin x + ÷ 4 π π 6) tan x + ÷ = tan − 3x ÷ 3 6 4) cot π π + x ÷ + 2cot + x ÷ - = 6 6 4) + (3 - 3)cot2x - - = sin 2x 5) cot x - 4cotx + = 6) cos 2x + sin2x + = 7) sin22x - 2cos2x + =0 8) 4cos2x - 2( 9) tan x + 4tan x + = 11) cos x 6) cos7x - sin5x = - 1)cosx + =0 10) cos2x + 9cosx + = + 3cot2x = 2) 2sin2x - 2cos2x = π π ÷ + sin x − ÷ = 4 4 2 3cos x + 4sinx + =3 3cos x + 4sinx - 2sin17x + cos5x + sin5x = 3) 2sin x + 5) Bài Giải phơng trình 1) 4cos2x - 2( + 1)cosx + = 2) tan2x + (1 - 3) cos2x + 9cosx + = 4) 5) 2cos6x + tan3x = 6) )tanx - = =0 sin22x - 2cos2x + + 3cot2x = cos x Bµi Giải phơng trình 1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + π )sin6x = sin(10x + π ) 4 2π - x) + tan( π - x) + tan2x = tan( 3 5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x 6) sin(4x + 7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 8) Bài 10 Giải phơng trình 1) (1 - cos2x)sin2x = sin2x 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 4) cos3x + sin3x = 5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + = 6) sin2x - 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + = 8) sin2x + + 1)(sinx - cosx) + Bµi Giải phơng trình 1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 3) cos2x - sin2x - =0 2) cos2x - 3sinxcosx + = - 9)cos2x = )sinxcosx + ( - 1)cos2x = 7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 4) sin2x - 2cos2x = 6) 2sin2x + (3 + 3) sin(x - 45o) = sin2x = 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 5) 4sin2x + 3 (sinx + cosx) + = |sinx + cosx| + = 10) (sinx - cosx)2 + ( 1) 3sinx + 4cosx = 4) 7) 4sinx + cosx = + 3tanx Bài Giải phơng trình: 1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - = 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + = 9) 2sin2x + Bài Giải phơng trình sau: (cos5x - sin7x) 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 1π - cotx + cos(x - ) = + cosx 2(1 + cotx) - cosx −2 - (2 + )sinx = 5) tan2x = - sinx + cot x 6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x Bài 11 Giải phơng tr×nh 1) sinx + cosx - sin2x 3) tanx + tan2x = tan3x -1=0 8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = + tanx 2) (1 + )(sinx + cosx) - sin2x - ( + ) = + cosx sinx = 4) x - cosx cos 2) sin4x - cos4x = cosx D Một số Bài thi đại học vê ph ơng trình lợng giác Bài Giải phơng trình 1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x -3- 2)tan2x - tanxtan3x = 3) 4)cos3xtan5x = sin7x 5)tanx + cotx = - 3sin x - 4cosx = - 2cosx 6) sin x + sinx + 2cosx = 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 7)2tanx + cotx = 3+ sin2x 9)2sin3x(1 - 4sin2x) = cot x - tan x = 16(1 + cos4x) cos2x 11)cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 16 2 10) 12)cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 13)sin2xcosx = 15)sin4x + cos4x = + cos3xsinx π π cot(x + )cot( 14) sin6x + cos6x = cos4x sinxcot5x 17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x =1 cos9x = 2cos3x + 18) 2sin3x 19)cos3xcos3x + sin3xsin3x = sinx cosx 4 sin x + cos x 20) = (tanx + cotx) 21)1 + tanx = 2 sinx sin x 22) cosx - sinx = cos3x 23) sin x - 2cos x = 2 + 2cos2x 24)sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x π )= 25)(2cosx - 1)(sinx + cosx) = 26)2sin(3x + + 8sin2xcos 2x Bài Giải phơng trình x + cos4 x = ÷ ÷ 3 3 2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 4) 5) cos x + 3cot2x + sin4x = 2) cot x - cos2x 4sin 2x + 6sin x - - 3cos2x =0 cosx cosx(2sinx + 2) - 2cos x - 3) =1 + sin2x 1) 5) cos2x + sin2x 2cosx + = 7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) Bµi Giải phơng trình lợng giác - x) 16) 1) sin4 Bài Giải phơng trình (1 - cosx) + (1 + cosx) + sinx - tan xsinx = + tan x 4(1 - sinx) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 6) cos6x + sin6x = 16 -4- 1) cosx + sinx = - 4) sin4x = tanx 6) sin3x + 2cos2x - = 8) + cos2x + 5sinx = 10) 4cos3x + sin2x = 8cosx cosx + 3sinx + 2) 3sin3x 3) 5) 7) cos9x = + 4sin33x cos7xcos5x - sin2x = - sin7xsin5x 4) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = sin2x + cos2x = cos2x - sin2x = + sin2x 4sin2x - 3cos2x = 3(4sÜnx - 1) 6) 4sin3x - = 3sinx 8) cos3x (sinx + cosx)cosx = + cos2x 9) Bài Giải phơng trình (biến đổi đa d¹ng tÝch) 1) sin3x - 2 sin x = 2sinxcos2x 2) sin22x + cos28x = 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = - 4cos2x 4) cosxcos 5) 7) 8) 9) 11) 13) x cos 3x 2 - sinxsin x sin 3x 2 = cos10x 2 tanx + tan2x - tan3x = 6) cos3x + sin3x = sinx - cosx (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = - 4cos2x 2cos3x + cos2x + sinx = 10) sin3x - sinx = sin2x cos x = + sin x − sin x x - sin4 x = sin2x cos4 2 12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 14) - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 16) sin2x + sin22x + sin23x = 17) cos3x + sin3x = sinx – cosx 19) sin2x = cos22x + cos23x 21) + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 20) sin23x - sin22x - sin2x = 9) A_05_dự bị Giải pt: 23) 2sin3x - cos2x + cosx = 25) 2cos2x = (cosx - sinx) 10) D_05_dự bị Giải pt: 26) 4cos3x + sin2x = 8cosx Bài Giải phơng tr×nh 27) sin3x + sin2x = 5sinx 1) 2) 3) 4sin2 x 15) 2sin3x + cos2x = sinx 3) y = 4sin2x + Bài (Các đề thi ĐH, CĐ mới) 1) A_02 Giải phơng trình: ) 4) y = sinx - cos2x + sin x + cotx - = 4) D_03 Giải phơng trình: sin2( x - cos3x + sin3x ÷ = cos2x + + 2sin2x π )sin(3x - π ) - 4 8) A_05_dự bị1 Tìm nghiệm khoảng (0 ; ) phơng trình: -5- sin x + cos x =2 sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - = 2+3 cos3xcos3x - sin3xsin3x = 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = cos3x + sin3x + 2sin2x = cos3x + cos2x - cosx - = (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x 2sin22x + sin7x - = sinx x + cos2 25) D_08 Giải phơng tr×nh: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx 26) CĐ_08 Giải pt: sin3x - cos3x = 2sin2x cos2x + sin2x - sin2x + tanx π )tan2x - cos2 x = cos4x + sin4x + cos(x - - x) + π ) - 3cosx - sinx = x )2 + cosx = 2 π - 2x) + 22) CĐ_07 Giải phơng trình: 2sin2( cos4x = 4cos2x - 1 7π + = 4sin - xữ 23) A_08 Giải phơng trình: sinx sin x ÷ 24) B_08 Giải phơng trình: sin3x - cos3x = sinxcos2x - sin2xcosx 5) D_04 Giải phơng tr×nh: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx 6) A_05 Giải phơng trình: cos23xcos2x - cos2x = 7) D_05 Giải phơng trình: 21) D_07 Giải phơng trình: (sin2 2) D_02 Tìm nghiệm thuộc [0; 14] phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - = 3) A_03 Giải phơng trình: tan( cos3( x - 13) A_06_dự bị Giải pt: 14) B_06_dự bị Giải pt: 15) B_06_dự bị Giải pt: 16) D_06_dự bị Giải pt: 17) D_06 Giải pt: 18) A_07 Giải phơng trình: 19) B_07 Giải phơng trình: khoảng ( - ; ) 2sin(2x + ) 12) A_06_dự bị Giải pt: Bài Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ cña: 1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x cosx + 2sinx + 2cosx - sinx + cos2x = + 2cos2(x - 11) D_05_dù bÞ Gi¶i pt: sin3x - sinx = cos2x + sin2x víi < x < 2π - cos2x 5π ) - 3cos(x - 7π ) = + 2sinx víi π < x < 3π sin(2x + 2 2π 6π cos7x - sin7x = - víi 3) Hỏi có cách xếp cho: 1) Có ngời ấn định trớc ngồi cạnh 2) ngời ấn định trớc ngồi cạnh theo thứ tự định Bài 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân kỹ s Để lập tổ công tác cần chọn kỹ s làm tổ trởng, công nhân làm tổ phó công nhân làm tổ viên Hỏi có cách lập tổ công tác Bài 3: Trong lớp học có 30 häc sinh nam, 20 häc sinh n÷ Líp häc cã 10 bàn, bàn có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngåi tuú ý b) C¸c häc sinh ngåi nam bàn, học sinh nữ ngồi bàn Bài 4: Với số: 0, 1, 2, , lập đợc số lẻ có chữ số Bài 5: Từ hai chữ số 1; lập đợc số có 10 chữ số có mặt chữ số chữ số Bài 6: Tìm tổng tất số có chữ số khác đợc viết từ chữ số: 1, 2, 3, , Bài 7: Trong phòng có hai bàn dài, bàn có ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngåi cho 10 häc sinh gåm nam vµ nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) C¸c häc sinh ngåi tuú ý 2) C¸c häc sinh nam ngồi bàn học sinh nữ ngồi bàn Bài 8: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 6, thành lập đợc số chia hết cho gồm chữ số khác Bài 9: Từ chữ câu: "Trờng THPT Lý Thờng Kiệt" có cách xếp từ (từ không cần có nghĩa hay không) có chữ mà từ chữ "T" có mặt lần, chữ khác đôi khác từ chữ "Ê" Bài 10: Cho A tập hợp có 20 phần tử a) Có tập hợp A? b) Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? -6- Bài 11: 1) Có số chẵn có ba chữ số khác đợc tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có số có ba chữ số khác đợc tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, nà số nhỏ số 345? Bài 12: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số đà thiết lập đợc, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? Bài 13: Một trờng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, có cặp anh em sinh đôi Cần chọn nhóm học sinh số 50 học sinh dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, cho nhóm cặp anh em sinh đôi Hỏi có cách chọn Bài 14: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, cã thÓ lập đợc số có ba chữ số khác không lớn 789? Bài 15: 1) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập đợc số có bÃy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt ba lần, chữ số khác có mặt lần 2) Trong số 16 häc sinh cã häc sinh giái, kh¸, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ ngời cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh Bài 16: Số nguyên dơng n đợc viết dới dạng: n = α 3β γ δ Trong ®ã α, , , số tự nhiên 1) Hỏi số ớc số n bao nhiêu? 2) ¸p dơng: TÝnh sè c¸c íc sè cđa 35280 III) to¸n vỊ c¸c sè Pn , A k , C k : n n Bài 1: Giải bất phơng trình: C n −1 n− A +1 n < 14P3 Bài 2: Tìm số âm d·y sè x1, x2, …, xn, … víi: xn = A n+ − 143 Pn+ 4Pn Bµi 3: Cho k, n số nguyên k ≤ n; Chøng minh: C k + 4C k−1 + 6C k− + 4C k− + C k−4 = C k+ n n n n n n Bài 4: Cho n số nguyên Chøng minh: Pn = + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n - 1)Pn - Bµi 5: Cho k n số nguyên dơng cho k < n Chøng minh r»ng: C k = C k−1 + C k −1 + + C k−1 + C k−1 n n −1 n−2 k k VI) nhị thức newton: Bài 1: Chứng minh r»ng: C1 n−1 + 2.C n n− + 3.C n n− + + n.C n = n.4 n−1 n n Bµi 2: Khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng tõ biÓu thøc: ( + x ) + ( + x ) 10 + + ( + x ) 14 + A14x14 HÃy xác định hệ số A9 ta đợc đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x2 + … Bµi 3: 1) TÝnh ∫ ( + x) n n dx 28 Bài 14: Trong khai triển nhị thức: x x + x 15 h·y t×m số hạng không phụ thuộc vào x biết (n ∈ N) 2) Tõ kÕt qu¶ ®ã chøng 1 2 n +1 − n + C n + C n + + Cn = n+1 n+1 Bµi 4: Chøng minh r»ng: minh r»ng: + + + n( n − 1) C n = n( n − 1) n− n Bµi 5: TÝnh tỉng S = C1 − 2.C + 3.C − 4.C + + ( − 1) n −1 nC n (n ≥ 2) n n n n n Bµi 6: Chøng minh r»ng: 16 C − 315 C + 314 C − + C16 = 216 16 16 16 16 2.1.C n 3.2.C n Bài 7: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức sau thành đa thức: f(x) = ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + ( 2x + 1) 10 Bµi 8: Trong khai triĨn cña + x 3 P(x) = Bài 9: Tìm số nguyên dơng n cho: Bµi 10: CMR: 2 H·y t×m hƯ sè ak lín nhÊt (0 ≤ k ≤ 10) C + 2C1 + 4C n + + n C n = 243 n n n C 2001 + C 2001 + C 2001 + + 2000 2000 C 2001 = 2000 (2 2001 − 1) Bµi 11: Với n số tự nhiên, hÃy tính tæng: 1 n C n − C n + C n − + ( − 1) n Cn n+1 1 2 3 n n 2) C n + C n + C n + C n + + Cn 2 n+1 1) Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10 1) T×m hƯ sè cđa x2 khai triĨn trªn cđa P(x) 2) TÝnh tỉng cđa hệ số khai triển P(x) ( ) Bài 13: Biết tổng tất hệ số cđa khai triĨn nhÞ thøc: x + n 1024 hÃy tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng a.x12 khai triển -7- + 4.2 n−4 C + + nC n = n.3 n −1 n n Bµi 16: Tìm số hạng không chứa x khai triển cđa biĨu thøc: + x x2 Bài 17: Khai triển nhị thức: n n −x x −1 x −1 x −1 2 + 2 = C 2 + C1 2 n n khai triĨn ®ã C n = 5C1 n n −1 − x x −1 − x n −1 n −1 + + C n 2 n −x n + Cn 17 x0 Biết số hạng thứ t 20n, tìm n x Bài 18: Trong khai triÓn: a + b thành đa thức: a + a x + + a x + a 10 x 10 r»ng: C n + C n − + C n − = 79 n n n Bµi15: Chøng minh: n −1 C1 + n−1 C n + 3.2 n − C n n b a 21 Tìm số hạng chøa a, b cã sè mị b»ng B Bµi tập tự luyện Bài Với chữ số 0,1,2,3,4,5, lập đợc bào nhiêu số có chữ số khác nhau? Bài Dùng chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm chữ số khác Hỏi: a Bắt dầu chữ số b Bắt đầu chữ số 36 c Bắt đầu chữ số 482 Bài Dùng chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm chữ số khác Hái: a Cã bao nhiªu sè nh vËy b Có số bắt đầu chữ số Bài Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi lập đợc số có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số Bài Với chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc số có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số Bài Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập đợc có số mà chữ số đứng Bài Cho A = {0,1,2,3,4,5} lập đợc số chẵn, số có chữ số khác Bài a Từ chữ số 4,5,6,7 lập đợc số có chữ số phân biệt b Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập đợc số chẵn gồm chữ số đôi khác nhau? Bài Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 5? Bài 10 Một tËp thĨ gåm 14 ngêi gåm nam vµ nữ, ngời ta muốn chọn tổ công tác gồm ngời Tìm số cách chọn cho tổ phải có nam nữ? Bài 11 Một nhóm häc sinh gåm 10 ngêi, ®ã cã nam nữ Hỏi có cách xếp 10 hoc sinh thành hàng dọc cho học sinh nam phải đứng liền nhau? Bài 12 Có hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Chon ngẫu nhiên viên bi lấy từ hộp Hỏi có cách chọn để số viên bi lấy không đủ mµu? Bµi 13 Mét líp cã 20 häc sinh có cán lớp Hỏi có cách cử ng ời dự hội nghị sinh viªn cđa trêng cho ngêi cã cán lớp? Bài 14 Một đội văn nghệ có 20 ngời có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn ngêi cho: Cã ®óng ngêi nam ngêi ®ã Cã Ýt nhÊt nam nữ ngời Bài 15 Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý nam Lập đoàn công tác cần có nam nữ, cần có nhà Toán học nhà Vật lý Hỏi có cách? Bài 16 Một lớp học có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh đợc chọ để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác Nếu phải có nữ Nếu phải chän t ý Bµi 17 Mét tỉ häc sinh gåm nam nữ Giáo viên muốn chọn học sinh xếp vào bàn ghế lớp, có nam Hỏi có cách chän? Bµi 18 Chøng minh r»ng: Bµi 19 Chøng minh r»ng: Bµi 23 TÝnh tỉng: Bµi 24 Chøng minh rằng: Bài 25 Cho n số nguyên dơng: a TÝnh : I= ∫ (1 + x) n dx b Tính tổng: Bài 26 Tìm số nguyên dơng n cho: Bài 27 Tìm số nguyên dơng n cho: Bài 28 Tìm số tự nhiên n thảo mÃn đẳng thức sau: Bài 29 Tính tổng: , biết rằng, với n số nguyên dơng: Bài 30 Tìm số nguyên dơng n cho: Bài 31 Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức cđa: Bµi 32 Gäi a3n - lµ hƯ sè cđa x3n - khai triĨn ®a thøc của:(x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n - = 26n Bài 33 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton cña + x7 x n 20 BiÕt r»ng: C −1 n +1 + C n +1 + + C n +1 = 26 Bài 34 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton của: Bài 20 Với n số nguyên dơng, chứng minh hƯ thøc sau: Bµi 21 Chøng minh r»ng: Bµi 35 Tìm số hạng thứ khai triển nhị thøc: Bµi 22 TÝnh tỉng: -8- víi x > n ; d./ Bài 36 Cho : Bài 43 Giải bất phơng trình: Sau khai triên rút gọn biểu thức A gồm số hạng? Bài 37 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triĨn nhÞ thøc Newton cđa a./ c./ b./ d./ , biết rằng: e./ Bµi 38 khai triĨn biểu thức (1 - 2x)n ta đợc đa thức có d¹ng: Tìm hệ số g./ , biết ao+a1+a2 = 71 Bài 39 Tìm hệ số x5 khai triển đa thức: Bài 40 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức x + x3 BiÕt r»ng: Bµi 41 Giải phơng trình: b./ a./ c.// d./ Bài 42 Giải hệ phơng trình: a./ b./ c./ -9- n f./ h./ chuyên đề Phơng pháp quy nạp Toán học Bài Chứng minh với n N* a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n - 1) = n2(n + 1) n+1 (3 - 3) víi n ∈ N* n(4n − 1) c) 12 + 32 + 52 + + (2n - 1)2 = víi n ∈ N* n (n + 1) d) 13 + 23 + 33 + + n3 = víi n ∈ N* n(n + 1)(2n + 1) e) 12 + 22 + 32 + + n2 = víi n ∈ N* f) + + + + 2n = n(n + 1) víi n ∈ N* n(3n − 1) g) + + + + (3n − 2) = víi n ∈ N* h) 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n(n + 1) víi n ∈ N* n(n + 1)(n + 2) i) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = víi n ≥ 2n(n + 1)(2n + 1) k) 2 + + + + (2n) = víi n ∈ N* b) + + 27 + + 3n = Bµi Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N* ta cã: a) n3 + 2n chia hÕt cho b) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hÕt cho c) n3 + 11n chia hÕt cho d) 2n3 - 3n2 + n chia hÕt cho e) 4n + 15n - chia hÕt cho f) 32n + + 2n + chia hÕt cho g) n7 - n chia hÕt cho h) n3 + 3n2 + 5n chia hÕt cho Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a) 2n + > 2n + víi n ∈ N* víi n ∈ N*, n ≥ b) 2n > 2n + c) 3n > n2 + 4n + víi n ∈ N*, n ≥ d) 2n - > 3n - e) 3n - > n(n + 2) víi n ≥ với n - 10 - Chuyên đề 4: dÃy số g) un = Dạng Xác định số số hạng dÃy số Xác định số hạng tổng quát Bài Viết số hạng đầu d·y sè sau: 2n - a) un = n-1 u1 = u = b) (n > 2) u n = u n-1 + u n+1 b) un = ( - 1) e) u1 = 2; un + = a) un = 2n – d) un = (un + 1) h) nsin nπ nπ + n2cos 2 c) un = n+1 n-2 Bài Tìm số hạng tổng quát d·y sè a) (un): 1; 2; 4; 8; 16; … 1 1 − ; ;− ; ; … u1 = c) (un): (víi n ≥ 1) u n+1 = 2u n b) (un): d) (un): ; − ÷ 7 9 12 ; ÷ ; − ÷ ; … 10 13 Bµi Cho d·y sè (un): u1 = , un+ = 4un + víi n ≥ a) TÝnh u2, u3, u4, u5, u6 b) Chøng minh r»ng: un = 22n+1 − víi n ≥ Bµi Cho d·y sè (un): u1 = 1; un + = un + víi ≥ a) TÝnh u2, u3, u4, u5, u6 b) Chøng minh r»ng: un = 7n – Bµi Cho (un): u1 = 2; un + = 3un + 2n – Chøng minh r»ng: un = 3n - n D¹ng XÐt tính đơn điệu dÃy số Bài Xét tính đơn điệu dÃy số sau n+1 ; n n2 d) un = n+1 a) un = b) un = 2n + n+2 e) un = 3n 2n + - 11 - f) un = h) un = Dạng Xét tính bị chặn dÃy số Bài Xét tính bị chặn dÃy sè n n4 3n - c) un = 2n + 1 n = 2k n d) (víi k ≥ 1) n-1 n = 2k+1 n nπ g) un = cos 3n - 2n + n+1 3n n2 3n − n2 + Bài tìm giới hạn sau: b) un = n2 + n + 2n + 1 n(n + 1) e) un = n −7 2n + bµi tËp tù luyÖn c) un = 3.22n – f) un = 3n + 3n + n2 + n + 3 2n + n +1 −3n + 4n + lim 2n − 3n + n3 + lim 5n + n + lim lim n ( 2n + 1) ( 3n + ) ( 6n + 1) lim n +1 n2 + n+4 lim n − 3n + lim lim lim n ( 2n + 1) ( 6n + 1) n3 + n +1 n ( 2n + 1) ( 3n + ) ( 6n + 1) Bài tìm giới hạn sau: n2 + 2n + n +1 lim n+2 +2 lim ( n +1 − n lim lim lim n −2 n + n +1 3 ( lim ( lim ( lim ( ) n + 5n + − n − n lim 3n + 2n − − 3n − 4n + 3 n − n3 + n n − n +1 ) ) n2 + − n + n3 + + n n n n2 + + 2 ) n3 + − ( n − 4n − n ) lim ( n − n + ) lim ) lim n3 + n + n+2 n +1 lim n +1 Bài tìm giới hạn sau: lim lim ( n +1 + n lim 10 lim ) n + − n3 ( n2 + − n n3 − 3n + − n + 4n ) Bài tìm giới hạn sau: − 4n + 4n 3n − 4n +1 lim n + + 4n lim Bài tìm giới hạn sau: 3n − 4n + 5n 3n + 4n − 5n 2n + 6n − 4n +1 lim 3n + 6n +1 lim lim −3n + 4n + n 2n sin nπ sin10n + cos10n lim n +1 n + 2n 1 + + + lim ÷ n+ n+ n n+ 1 lim Bài tìm giới hạn sau: + + + + (2n + 1) 3n + 12 + 22 + 32 + + n lim n(n + 1)(n + 2) lim lim n + sinn 3n + + + + + n n2 − n 1 lim ÷ 3n 1 + + + lim (2n − 1)(2n + 1) 1.3 3.5 lim chuyên đề giới hạn HàM số Bài 1: Tìm giới hạn sau (dạng ): x − 5x + 1) lim x →3 x − 8x + 15 8x − 2) lim x → 6x − 5x + x − 4x + 4x − lim x →3 x − 3x x − 3x + 5) lim x →1 x − 4x + x − 2x − 7) lim x →1 x − 2x − Bài Tìm giới hạn sau(dạng ): x−2 1) lim x →2 − x+7 2x − 6x + 3x + lim x →1 3x − 8x + 6x − x − 2x − 4x + 6) lim x →2 x − 8x + 16 ( + x ) ( + 2x ) ( + 3x ) − 8) lim x →0 x 3) 4) 2) 7) lim ( x − 1) lim 13) + x2 −1 lim x →0 x2 3 8) lim x →0 x −1 x −1 1+ x − 1− x x →0 x 2x + − 3x + 12) lim x →1 x −1 10) x − 2x + − x + 2x − lim x →3 x − 4x + x − + x2 − x + lim x →1 x2 −1 Bµi Tìm giới hạn(dạng ): x+7 x+3 1) lim x →1 x − 3x + 1+ x − 1− x 3) lim x →0 x 3 5) lim + x − + x x →1 x −1 15) x +7 −3 x2 − 6) x + + x +7 −5 x →2 x−2 11) lim ( 3x − ) − 4x − x − x →1 x − 3x + 9) lim x →1 x →2 x2 − x +1 x →1 2x + − x+3−2 4) + x2 −1 lim x →0 x 4x − 5) lim x →2 x−2 3) lim lim 14) lim x →0 x + + x + 16 x Năm học 2008 - 2009 1+ x − − x lim x →0 x x + 11 − 8x + 43 4) lim x →−2 2x + 3x − 2) 6) x + − − x2 lim x →1 x −1 13 + 4x + 6x − lim x →0 x ∞ ): Bài Tìm giới hạn (dạng 2x − 3x + 4x − 1) lim x →−∞ x − 5x + 2x − x + 3 ( 2x − 3) ( 4x + ) 3) lim x →+∞ 3x + 10x + ( )( ) 7) 5) lim x →−∞ x + 2x + 3x 4x + − x + 8) + 2x − + 3x lim x →0 x2 2) 4) 6) x2 + x − lim x →+∞ 2x + x + 20 30 ( 2x − 3) ( 3x + ) lim 50 x →−∞ ( 2x + 1) 5x + − x x →−∞ 1− x lim Bµi Tìm giới hạn ( - ): 1) 3) 5) 7) 2) lim ( 2x − ) − 4x − 4x − lim x + x + − x − x + x →−∞ x →+∞ 4) lim x 4x + + 2x lim x + x − x x →+∞ x →−∞ lim x 3x + − 3x − 6) lim x 3x + − 3x − x →∞ x →∞ 8) lim x 4x + − 8x − lim x + − x + x →+∞ x →+∞ Năm học 2008 - 2009 14 CHUYÊN Đề đạo hàm I Tính đạo hàm định nghĩa Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm: 1) f(x) = 2x2 + 3x + t¹i x = 2) f(x) = sinx t¹i x = π 3) f(x) = 2x - t¹i x = x 4) f(x) = t¹i x = 1+ x 5) f(x) = x2 + x - t¹i x = 4x + - 8x + x ≠ t¹i x = 6) f(x) = x 0 x = x sin x ≠ t¹i x = 7) f(x) = x 0 x = 1 - cosx x ≠ 8) f(x) = t¹i x = x 0 x = Bµi Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm sè sau: 1) y = 5x – 3) y = 4) y = x-1 5) y = x3 + 3x II Quan hệ tính liên tục có đạo hàm Bài Cho hàm sè f(x) = 2) y = 3x2 – 4x + 6) y = 2x - x+4 x +x xsin x ≠ x 0 x = Chøng minh r»ng hàm số liên tục R nhng đạo hàm x = Bài Cho hàm số f(x) = xcos x ≠ x 0 x = 1) Chứng minh hàm số liên tục R 2) Hàm số có đạo hàm x = không? Tại sao? Bài Cho hàm số f(x) = ax + bx x ≥ x < 2x - Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x = Bài Cho hµm sè f(x) = x ≥ ax + b cos2x - cos4x x < x Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x = Bài Cho hµm sè f(x) = x + a 4x - x ≤ x > Tìm a để hàm số đạo hàm x = Năm học 2008 - 2009 15 III Tính đạo hàm công thức: Bài Tính đạo hàm hàm số sau: 1) y = x3 – 2x2 + 3x 2) y = - x4 + 2x2 + 3) y = (x2 + 1)(3 – 2x2) 5) y = (x2 + 3)5 7) y = 2x3 – 9x2 + 12x – Bµi Tính đạo hàm hàm số sau : 1) y = 3) y = 5) y = 7) y = 4) y = (x – 1)(x – 2)(x – 3) 6) y = x(x + 2)4 8) y = (x2 + 1)(x3 + 1)2(x4 + 1)3 -x + 2x + x3 − 1 x+ x 2x + x+1 2x - x+4 2) y = 4) y = 6) y = 8) y = Bài 10 Tính đạo hàm hàm sè sau: 1) y = +5 x x 3) y = (x – 2) 5) y = 7) y = 2) y = 4) y = x2 + -x + 3x - 2( x − 1) 1 x-1+ x-1 2-x x - 2x + x-2 x x x+2 + 4-x 6) y = x + x - 2x + x+1 8) y = x +1 - x2 x2 + + - 2x III Viết phơng trình tiếp tuyến dồ thị điểm Bài 11 Cho hàm số y = x – 2x2 + 3x (C) 1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hoành độ x = 2) Chøng minh r»ng ∆ lµ tiÕp tun cã hƯ sè gãc nhá nhÊt Bµi 12 Cho hµm sè y = -x3 + 3x + (C) 1) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm có hành độ lµ x = 2) Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn ∆ lµ tiÕp tun cđa (C) cã hƯ sè gãc lớn Bài 13 1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hs: y = x3 3x2 + điểm (-1; -2) 2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x + 4x + x+2 điểm có hoành độ x = IV Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc k Bài 14 1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = 2x + biÕt hƯ sè gãc cđa tiÕp tun lµ 2) ViÕt phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x2 – 2x = biÕt: a) TiÕp tuyến song song với đờng thẳng 4x 2y + = b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng x + 4y = Bài 15 Cho hàm sè y = 3x - x-1 (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết: 1) Hoành độ tiếp điểm x = 2) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = - x + 3) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc với đờng thẳng 4x y + 10 = 4) BiÕt hƯ sè gãc cđa tiÕp tun lµ - V Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm: Năm học 2008 - 2009 16 Bài 16 Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + (C) 1) Viết phơng trình tiép tuyến (C) kẻ từ điểm A(0; 2) 2) Tìm đờng thẳng y = điểm để từ kẻ đợc tiếp tuyến vuông góc với Bài 17 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sè y = f(x) biÕt: 1) f(x) = 3x – 4x3 tiếp tuyến qua điểm A(1; 3) x4 3x2 + tiếp tuyến qua ®iĨm B(0; ) 2 vµ tiÕp tun di qua ®iĨm C(0; 1) 3) f(x) = x + x-1 2) f(x) = Bµi 18 1) Cho hµm sè y = x + x+1 (C) Chøng minh qua điểm A(1; -1) kẻ đợc hai tiếp tuyến tới đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với 2) Tìm m để từ M(m; 0) kẻ đợc hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = phía trục Ox Năm học 2008 - 2009 x+2 x-1 cho hai tiÕp ®iĨm n»m vỊ hai 17 ... cos22x – cosx sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 16) 11) sin2x + sin22x = sin23x 2) cos23x = 6) sin3x = 15) sin(2x + 50o)... Bài 11 Một nhóm học sinh gồm 10 ngời, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 hoc sinh thµnh hµng däc cho häc sinh nam phải đứng liền nhau? Bài 12 Có hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Chon... chøa x khai triĨn nhÞ thøc Newton cđa + x7 x n 20 BiÕt r»ng: C −1 n +1 + C n +1 + + C n +1 = 26 Bài 34 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton của: Bài 20 Với n số nguyên
Ngày đăng: 03/07/2014, 04:00
Xem thêm: On tap toan 11