HSG 12 Huế 2008- 2009 có đáp án

Đề số 5: Huế 2008- 2009 Bài 1: (3 điểm) Cho phương trình 1 1 cos sin 0 (1) sin cos x x m x x - + - + = a) Với 2 3 m = , tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng 3 ; 4 4 p p æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø . b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 2 nghiệm trên khoảng 3 ; 4 4 p p æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø . Bài 2: (3 điểm) Cho điểm A cố định trên đường tròn và điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình thoi ABCD (hướng quay của tia AB đến AC và AD theo chiều dương lượng giác) sao cho góc 2 cot 2A BC arc=Ð . a) Xác định phép đồng dạng biến điểm C thành điểm B. b) Tìm quỹ tích của các điểm B và D. Xác định các quỹ tích đó. Bài 3: (3 điểm) a) Giải hệ phương trình 8 8 8 2 log 3 log log 3 log log 4 y xy x y x x y ì ï = ï ï ï í ï = ï ï ï î b) Giải bất phương trình: 2 3 2 3 4 4 1 3 log log 3 log log 2 2 x x x x+ > + Bài 4: (2 điểm) Cho dãy số 2 3 3 7 11 4 1 2 2 2 2 n n n u - = + + + ×××+ với mọi số nguyên dương n . a) Chứng tỏ rằng các tử số của các số hạng liên tiếp của n u lập thành một cấp số cộng. b) Hãy biến đổi mỗi số hạng của ( 1) n u n ³ thành một hiệu liên quan đến 2 số hạng kế tiếp của nó, từ đó rút gọn n u và tính lim n u Bài 5: (3 điểm) a) Tính tổng các số chẵn có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4. b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 3 2 3 1 n x x x æ ö ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç è ø biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là 0 1 2 4096 n a a a a+ + + + = Bài 6: (3 điểm) Cho cốc nước (hình vẽ) phần trên là hình nón đỉnh S, đáy có tâm O bán kính R, chiều cao SO = h. Trong cốc nước đã chứa một lượng nước có chiều cao a so với đính S. Người ta bỏ vào cốc nước một viên bi hình cầu thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu. Hãy tính bán kính của viên bi theo R và h. Bài 7: (3 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng j . a) Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và các cạnh bên của hình chóp. b) Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. O S I M Đáp án Đề số 6: Huế 2009- 2010 Bài 1 NỘI DUNG ĐIỂM (3đ) Giải phương trình: 1 1 2 cos sin 0 ( ) sin cos 3 x x a x x - + - + = a) (1,5) Đặt cos sin 2 cos 4 t x x x p æ ö ÷ ç ÷ = - = + ç ÷ ç ÷ ç è ø , 2 2t- ££ , 2 1 sin cos 2 t x x - = Phương trình (a) trỏ thành: ( ) 2 2 2 0 2 2, 1 3 1 t t t t t + + = - ±££¹ - ( ) 3 2 3 2 9 2 0 2 2, 1t t t t t+ - - = - ±Û £ £ ¹ ( ) 2 ( 2)(3 4 1) 0 2 2, 1t t t t t+ - - = - ±Û £ £ ¹ (*) 2 2t = - < -Û (loại) hay 2 7 3 t ± = Ta có: 1 2 3 2 7 2 7 2 2, 5 2 0; 1, 5 2 3 3 3 3 3 - - + + - < - = < < > = > Do đó phương trình (*) chỉ có một nghiệm 2 7 3 t - = Suy ra phương trình (a) tương đương 2 7 2 7 2 cos cos 4 3 4 3 2 x x p p æ ö æ ö - - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + = + =Û ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Theo giả thiết: 3 0 4 4 4 x x p p p p - < < < + <Û , nên phương trình (a) chỉ có một nghiệm duy nhất 2 7 arccos 4 3 2 x p æ ö - ÷ ç ÷ ç = - + ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 0,5 0,5 0,5 ( ) 2 2 (1) 2 2, 1 1 t t m t t t + = - - ±Û £ £ ¹ - (2) Nhận xét: phương trình ( ) 2 cos 2, 1 cos 4 4 2 t x t t t x p p æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + = ± + =£ Û ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø chỉ có một nghiệm duy nhất trong khoảng 3 ; 4 4 p p æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø là t arccos 4 2 x p = - + Do đó để (1) có 2 nghiệm trong khoảng 3 ; 4 4 p p æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø thì phương trình (2) có 2 nghiệm. Xét hàm số ( ) 2 2 ( ) 2 2, 1 1 t g t t t t t = + - ±££¹ - . ( ) ( ) { } 2 2 2 2 1 '( ) 1 0, 2; 2 \ 1;1 1 t g t t t + é ù = + > " - -Î ê ú ë û - Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trình (2) có hai nghiệm khi và chỉ khi: 0,5 0,5 ( ) ; 2 2;m ù é - ¥ - + ¥Î È ú ê û ë : t 2- -1 1 2 g'(t) + + + + ¥ + ¥ 2 g(t) 2- - ¥ - ¥ 0,5 Bài 2 (3đ) a) (1,0) Ta có: · · arccot 2 2 arct an 2 BI A BI IA B A I a = = = =Þ Þ (không đổi). Nếu đặt A I a= thì 3 3 3 2 2 A B a A B a k A C a = = = =Þ (không đổi). Do đó: Qua phép quay tâm A, góc a - : điểm C biến thành điểm M và 3 2 A B A M= uuur uuuur nên M biến thành B qua phép vị tự tâm A tỉ số 3 2 k = . Vậy: B là ảnh của C qua phép đồng dạng F tỉ 3 2 k = . 0,5 0,5 b) (2,0) Quỹ tích của C là đường tròn (O), nên: Quỹ tích của B là ảnh của đường tròn (O) qua phép đồng dạng F. 0,25 Tương tự, D là ảnh của C qua 2 phép biến hình liên tiếp: Phép quay tâm A, góc a và phép vị tự tâm A tỉ số 3 2 k = . Phép biến hình hợp thành của hai phép biến hình này là phép đồng dạng F' Vậy: D là ảnh của C qua phép đồng dạng F' tỉ 3 2 k = . 0,5 0,25 Để xác định quỹ tích của B: Ta chọn một điểm C trên (O), dựng trung điểm I của AC, dựng hình vuông AIKL, dựng đường trũn tõm I bỏn kớnh IL ct trung trc on AC ti B. Dng hỡnh thoi ABCD. Dng ng trũn tõm A bỏn kớnh AC ct tia AB ti M. dng nh ca O l O' qua phộp quay Q(A, a - ): Dng trung im J ca AO, dng hỡnh vuụng AJRS, dng ng trũn tõm J bỏn kớnh JS ct trung trc on AO ti P. Dng ng trũn tõm A bỏn kớnh AO ct tia AP ti O'. Qua B k ng thng song song vi MO' ct tia AP ti O". Qu tớch ca B l ng trũn tõm O", bỏn kớnh R" = O"A 0,25 0,25 0,25 Qu tớch ca D l ng trũn (O"') i xng vi (O") qua ng thng AO 0,25 Bai 3 (3) a) (1,5) ( ) 2 2 2 2 8 8 8 2 2 2 2 2 log log log log log 3 log log 0, 0, 1 log 3 3 log log log log 4 log 4 y x y x y xy x y x y y x x x y x y y ỡ ỡ ù + = ù = ù ù ù ù ù ù > > ạ ớ ớ ù ù - = = ù ù ù ù ù ợ ù ợ 0,5 t: 2 2 log ; logu x v y= = h phng trỡnh tr thnh: ( ) ( ) ( ) 1 0 0 3 3 2 4 4 u v v u v uv v v u u u v u v v v ỡ ù ỡ - = ù + = ù ù ù ù ù ù ổ ử ạ ạ ớ ớ ữ ỗ ù ù ữ = + ỗ - = ữù ù ỗ ữ ỗ ù ù ố ứ ù ợ ù ợ (2) Nu 0u = thỡ 0v = trỏi vi iu kin. Do ú 0u ạ Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 1 3 1 , 0 ; 1; , ; 3; 1 3 2 2 4 8 3 0 2 4 v v u u v u v u v u v v v v v v ỡ ù ỡ ùù = ù ù ổ ử ổ ử = ù ù ữ ữ ù ù ỗ ỗ - ữ ữ = - =ạ ỗ ỗ ớ ớ - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ù ù ỗ ỗ ố ứ ố ứ ù ù - + = = + ù ù ù ợ ù ù ợ 0,5 Do úh phng trỡnh ó cho cú hai nghim: ( ) ( ) ( ) 1 ; ; 2 , ; 8; 2 2 2 x y x y ổ ử ữ ỗ ữ = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0,5 b) (1,5) 2 3 2 3 2 3 2 3 4 4 4 4 1 3 log log 3 log log log log 6 3 log 2 log 0 2 2 x x x x x x x x+ > + + - + > ( ) 2 2 2 3 3 3 4 4 4 log 2 0 log 2 0 log 2 log 3 0 log 3 0 log 3 0 x x x x hay x x ỡ ỡ ù ù - > - < ổ ử ù ù ữ ỗ ù ù ữ ỗ - - > ớ ớ ữ ỗ - > - < ữ ù ù ữ ỗ ố ứ ù ù ù ù ợ ợ 3 4 3 27 4 64 x x ỡ ù > ù ù ù ổử ớ ữ ỗ ù ữ < = ỗ ù ữ ỗ ù ữ ỗ ố ứ ù ợ hay 3 4 27 4 3 27 64 4 64 x x x ỡ ù < ù ù ù < < ổử ớ ữ ỗ ù ữ > = ỗ ù ữ ỗ ù ữ ỗ ố ứ ù ợ . Vy tp nghim ca bt phng trỡnh l: 27 ; 4 64 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0,5 0,5 0,5 Bai 4 (2 ) Ta cú: ( ) 4( 1) 1 4 1 4 4( 2) 1 4( 1) 1k k k k ộ ự ộ ự ộ ự + - - - = = + - - + - ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ở ỷ ở ỷ Do ú:3, 7, 11, , (4k-1) lp thnh mt cp s cng cú cụng sai d = 4. Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 (4 1 1) (4 1) (4 2 1) 2 4 3 (4 1) (4 7)k k k k k k ộ ự ộ ự + - = - + + - + = - + + ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ở ỷ 1 1 4 3 4 1 4 7 4 1 4 3 4 7 2 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k - - + - + - + + = + = - 0,5 0,5 Suy ra: 2 3 1 2 2 3 3 4 2 1 1 3 7 11 4( 1) 1 4 1 2 2 2 2 2 11 11 15 15 19 4 1 4 3 4 3 4 7 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n u n n n n - - - - - - - = + + + + + = æ ö æ ö æ ö - + + + ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ = - + - + - + + - + - ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø 4 7 7 lim 7 2 n n n n u u + = - =Þ 0,5 0,5 Bài 5 (3 đ) a) (1,5đ) Các số cần tính tổng có dạng abcd với { } { } , , 1, 2, 3, 4 , 2, 4a b c dÎ Î Ta có 3 2 3 2 10 10 10 10 10 10abcd a b c d abcd a b c d= + + + = + + +Þ å å å å å Có tất cả: 4 4 4 2 128=´ ´ ´ số chẵn gồm 4 chữ số được viết từ { } 1, 2, 3, 4 , trong đó: mỗi chữ số , ,a b c xuất hiện 4 4 2 32=´ ´ lần mỗi chữ số d xuất hiện 4 4 4 64=´ ´ lần. Do đó: ( ) 32 1 2 3 4 320a b c= = = + + + = å å å và ( ) 64 2 4 384d = + = å Suy ra: ( ) 3 2 320 10 10 10 384 320 1110 384 355 584abcd = + + + = + =´ å 0,25 0,5 0,5 0,25 b) (1,5) Ta có: ( ) 5 3 2 3 3 3 0 1 ( ) n n k k n k k f x x x a x x x - - = æ ö ÷ ç ÷ = + = ç ÷ ç ÷ ç è ø å ( ) 12 0 (1) 1 1 2 4096 2 12 n n n k k f a n = = = + = = = =Û å Suy ra: ( ) 12 12 5 12 1 5 6 60 12 12 12 3 2 3 3 3 3 3 12 12 12 3 0 0 0 1 k k k k k k k k k k k x x C x x C x C x x - - - - + - + = = = æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç + = = = ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø è ø å å å Số hạng không chứa x ứng với 6 60 0 10k k- + = =Û . Vậy số hạng không chứa x có hệ số là: 10 12 66C = 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Bi 6 (3) Th tớch nc cha trong cc l: 2 3 2 0 2 1 1 3 3 R a r a V r a R h h p p ổ ử ữ ỗ ữ = = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0,5 Khi th viờn bi vo thỡ nc dõng lờn va ph kớn qu cu, tc l mt nc tip xỳc vi mt cu. Gi x l bỏn kớnh ca viờn bi, ta cú: 3 4 3 C V x p = . Th tớch ca khi nún cha nc v qu cu l: 2 3 2 1 1 1 1 2 1 1 3 3 R h V r h h p p = = 0,5 ( ) 2 2 2 2 1 x R xl x R h x SI h SI x R R h SI l R R R + = = = = + = + +ị ị ( ) 2 2 1 1 R h x r R R h h h = = + + Do ú: ( ) 3 3 2 2 2 1 1 1 2 1 1 3 3 x V r h R R h R h p p = = + + Ta cú: ( ) 3 2 3 3 3 2 2 1 0 2 2 1 1 4 3 3 3 C x R a x V V V R R h R h h p p p - = + + - = ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 3 3 4 4x R R h a R Rh x R R h Rh x a R ộ ự ờ ỳ + + - = + + - = ờ ỳ ở ỷ Vi iu kin: ( ) 3 2 2 2 4R R h R h+ + > , ta tỡm c bỏn kớnh ca viờn bi: ( ) 3 2 2 2 3 4 aR x R R h R h = + + - Nu ( ) 2 2 1 2 2 x R h h h h R R h x R R R h = = + + = + + Suy ra: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 4 a R R h R R h R h R R h = + + - + + 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 I S ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 4 4 h R R h R h h R R h Rh a a R R h R R h ộ ự ờ ỳ + + - ì + + - ờ ỳ ở ỷ = = + + + + Vy: nc trong cc dõng lờn va ph kớn viờn bi v khụng trn ra ngoi thỡ: ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 4 4 0 R R h R h h R R h R h a R R h ỡ ù ù + + > ù ù ù ù ù ớ ì + + - ù ù ù < Ê ù ù ù + + ù ợ Vi iu kin ny, bỏn kớnh ca viờn bi l: ( ) 3 2 2 2 3 4 aR x R R h R h = + + - a) (1,5) ã SMO j = 3 t an 6 a SO j = 2 2 2 3 t an 4 6 a SA A O SO j = + = + Mt cu tip xỳc vi mt ỏy v mi cnh bờn ca hỡnh chúp cú tõm I cỏch u (ABC) v SA, nờn I l giao im ca tia phõn giỏc gúc SAO v SO, bỏn kớnh ca mt cu l: r IO= . IS AS OS IO A O IO A O A O SA = =ị + 2 3 tan 2 tan 4 a r j j = + + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bi 7 (3 ) b) (1,5) Mt phng (P) to bi AB v phn giỏc MT ca gúc ã SMO j = , ct hỡnh chúp theo thit din l tam giỏc cõn ABN (N l giao im ca tia phõn giỏc MI v SC) Gi H 1 v H 2 l hỡnh chiu ca S v C xung MI, ta cú hai tam giỏc vuụng SMH 1 v CMH 2 ng dng, nờn: 1 2 1 3 cos SH SM CH CM j = = Suy ra t th tớch ca hai hỡnh t din c ct ra bi thit din AMB l: 1 3 cos SA BN CA B N V SM V CM j = = 0,5 0,5 0,5 A B C S O M I N H 1 H 2 A B C S O M I H K L . =´ å 0,25 0,5 0,5 0,25 b) (1,5) Ta có: ( ) 5 3 2 3 3 3 0 1 ( ) n n k k n k k f x x x a x x x - - = æ ö ÷ ç ÷ = + = ç ÷ ç ÷ ç è ø å ( ) 12 0 (1) 1 1 2 4096 2 12 n n n k k f a n = = = + = = = =Û å Suy ra: ( ) 12 12 5 12 1. 1 2 4096 2 12 n n n k k f a n = = = + = = = =Û å Suy ra: ( ) 12 12 5 12 1 5 6 60 12 12 12 3 2 3 3 3 3 3 12 12 12 3 0 0 0 1 k k k k k k k k k k k x x C x x C x C x x - - - - + - + = = = æ ö æ. mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. O S I M Đáp án Đề số 6: Huế 2009- 2010 Bài