GV: Nguyễn Bá Trình II .GIẢI TÍCH : 1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x M ; y M ) . B 1 : k = f ‘(x) . B 2 :Phương trình tiếp tuyến : y – y M = k(x – x M ) . 2.Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết dạng của tiếp tuyến với đồ thò. B 1 : Tìm dạng của tiếp tuyến y = g(x) . B 2 : Điều kiện tiếp xúc : = = )(')(' )()( xgxf xgxf * Chú ý : Phương trình đường thẳng d qua A(x A ; y A ) có dạng : y – y A = k(x – x A ) . Nếu đường thẳng d có dạng : ax + by + c = 0 .thì : o d //d 1 : ax + by + m = 0 ( m ≠ c) . o d ⊥ d 1 : bx – ay + n = 0 . 3.Dạng 3:Đường cong : y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt y CĐ .y CT < 0 . 4.Dạng 4:Tìm điểm cố của hàm số y = f(x) . B 1 :Đưa về dạng : y = f(x) ⇔ Am = B . ∀ m . B 2 :Điểm cố đònh nếu có là nghiệm của hệ = = 0 0 B A 5.Dạng 5:Tìm tọa điểm uốn : B 1 : y’’ = 0 có nghiệm x o ⇒ y o = f(x o ) . B 2 : Tọa độ điểm uốn : U(x o ;y o ) . 6.Dạng 6:Tìm điều kiện của tham số để hàm số : Đạt cực tiểu tại x o > = ⇔ 0)('' 0)(' 0 0 xy xy ; Đạt cực đại tại x o < = ⇔ 0)('' 0)(' 0 0 xy xy 7.Dạng 7:Điều kiện để hàm số tăng khi y’ > 0 . Điều kiện để hàm số giảm khi y’< 0 . 8.Dạng 8 :Tìm giá trò lớn nhất của hàm số và giá trò nhỏ nhất của hàm số . Trên khoảng (a ; b) thì ta lập bảng xét dấu của y’ và y CĐ là giá trò lớn nhất ; y CT là giá trò nhỏ nhất . Trên đoạn [a ; b] thì ta giải phương trình :y’ = 0 có nghiệm x 1 ; x 2 ; … thuộc [a ; b] Tính y(x 1 ) ; y(x 2 ) ; … ; y(a) ; y(b) .Số lớn nhất là giá trò lớn nhất ; số nhỏ nhất là giá trò nhỏ nhất . 9.Dạng 9:Điều kiện để hàm số có cực trò là y’ = 0 có nghiệm phân biệt . Có 1 cực trò khi y’ = 0 có 1 nghiệm phân biệt hoặc có 1 nghiệm đơn và một nghiệm kép Có 2 cực trò khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hoặc có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép . Có 3 cực trò khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hoặc có 3 nghiệm đơn và một nghiệm kép . 10.Dạng 10:Chứng minh đồ thò hàm số nhận điểm M(x M ; y M ) làm tâm đối xứng : B 1 : Đặt += += Yyy Xxx M M thay vào hàm số y = f(x) và đưa về dạng Y = F(X) B 2 : Ta chứng minh hàm số Y = F(X) lẻ (tức là F(-X) = - F(X) ) trên tập xác đònh nên nhận = = ⇔ = = M M yy xx Y X 0 0 làm tâm đối xứng . GV: Nguyễn Bá Trình 11.Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu (cực trò) a) Hàm phân thức : y = edx cbxax + ++ 2 = )( )( xg xf . Phương pháp : B 1 : Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt . B 2 :Giả sử có hai nghiệm x CĐ ; x CT thì y CĐ = )(' )(' CD CD xg xf và y CT = )(' )(' CT CT xg xf . B 3 :Kết luận :Đường thẳng qua cực trò là : y = )(' )(' xg xf . b) Hàm đa thức :y = ax 3 + bx 2 + cx + d . Phương pháp : B 1 :Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt . B 2 :Chia đa thức :Lấy y chia y’ .Kết quả có dạng :y = y’(x) .[ a b x 93 1 + ] + a cbad x a bac 9 9 . 9 )3(2 2 − + − . B 3 :Giả sử có hai nghiệm x CĐ ; x CT thì y CĐ = a cbad x a bac CD 9 9 . 9 )3(2 2 − + − y CT = a cbad x a bac CT 9 9 . 9 )3(2 2 − + − B 4 :Kết luận :đường thẳng qua cức đại và cực tiểu là :y = a cbad x a bac 9 9 . 9 )3(2 2 − + − . 12.Dạng 12:Vẽ đồ thò hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối . 1) Hàm số y = f(|x|) . Phương pháp : B 1 : Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) . B 2 : Giữ nguyên phần x dương , lấy đối xứng phần x dương qua trục tung (bỏ phần x âm ) . 2) Hàm số y = |f(x)| . Phương pháp : B 1 : Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) . B 2 : Giữ nguyên phần y dương , lấy đối xứng phần y âm qua trục hoành (bỏ phần y âm ) . 3) Hàm số y = |f(|x|)| . Phương pháp : B 1 : Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) . B 2 : Giữ nguyên phần x dương , lấy đối xứng phần x dương qua trục tung (bỏ phần x âm ) . B 3 : Giữ nguyên phần y dương , lấy đối xứng phần y âm qua trục hoành (bỏ phần y âm ) . 13.Bài toán tìm quỹ tích . Phương pháp : B 1 : Tìm toạ độ quỹ tích M = = )( )( mgy mfx . B 2 :Khử tham số m giữa x và y ta có phương trình quỹ tích . B 3 :Giới hạn quỹ tích là dựa vào điều kiện của tham số m , suy ra điều kiện của x và y . GV: Nguyễn Bá Trình 14.Bài toán : Tìm 1 cấp số cộng biết đồ thò hàm số y = ax 4 + bx 2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng . Phương pháp : B 1 :Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là ax 4 + bx 2 + c = 0 (1). Đặt t = x 2 (điều kiện :t > 0) .Khi đó phương trình (1) trở thành : at 2 + bt + c = 0 (2). Điều kiện để (C ) cắt trục hoành tại 4 điểm thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt > > >∆ ⇔ 0 0 0 P S B 2 :Giả sử (2) có hai nghiệm là 0 < n < m.thì phương trình (1) có 4 nghiệm là : mnnm ;;;−− . Để 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng thì nnm 2=− ⇔ m = 9n (3) . B 3 :p dụng đònh lí viet : = =+ Pmn Smn . (4) . Kết hợp (3) và (4) để tìm m và n .Từ đó suy ra cấp số cộng : mnnm ;;;−− . 15.Bài toán :Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thò sao cho khoảng cách đó là ngắn nhất . Phương pháp : B 1 : Từ y = )( )( xg xf đổi hệ trục toạ độ Y = X a (với a là hằng số ). B 2 : Lấy A α α a ; và B −− β β a ; với 0;0 >> βα . B.Nguyên hàm và tích phân T T Nguyên hàm của hàm sơ cấp 1 n n 1 k k.x .dx x C n 1 + = + + ∫ 2 k .dx k.ln | x | C x = + ∫ 3 k k.ln | ax b | .dx C ax b a + = + + ∫ 4 n n 1 k k .dx C x (n 1).x − = − + − ∫ với ( n 1≠ ) 5 n n 1 k k .dx C (ax b) a.(n 1).(ax b) − = − + + − + ∫ với ( n 1≠ ) 6 1 sin(ax b).dx .cos(ax b) C a − + = + + ∫ 7 1 cos(ax b).dx .sin(ax b) C a + = + + ∫ 8 2 k .dx k.tgx + C cos x = ∫ 9 2 k .dx k.cot gx C sin x = − + ∫ GV: Nguyễn Bá Trình 10 tgx.dx ln | cos x | C= − + ∫ 11 1 tg(ax b).dx ln | cos(ax b) | C a + = − + + ∫ 12 cot gx.dx ln | sin x | C= + ∫ 13 1 cot g(ax b).dx .ln | sin(ax b) | C a + = + + ∫ 14 ax b ax b 1 e .dx .e C a + + = + ∫ 15 2 2 k .dx k.ln | x x k | C x a = + + + + ∫ 16 2 2 k k x a .dx .ln C 2a x a x a − = + + − ∫ 17 1 1 2 1 2 2 x x k k .dx ln C (x x )(x x ) x x x x − = + − − − − ∫ Các dạng toán tính tích phân : Dạng 1 : Tích phân trực tiếp : Phương pháp : * Dùng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm giả sử là F(x) . * Áp dụng công thức để tính : b b a a f (x).dx F(x) | F(b) F(a)= = − ∫ Thường sử dụng các các kiến thức sau : [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b) 2 1 cos a.cos b cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.cos b sin(a b) sin(a b) 2 1 sin a 1 cos 2a 2 1 cos a 1 cos 2a 2 = − − + = − + + = − + + = − = + Dạng 2:Tính tích phân đổi biến : b a I f (x).dx= ∫ Phương pháp 1:B 1 : Đặt x = g(t) ⇒ dx = g '(t) .dt. B 2 : Đổi cận : x = a ⇒ t = α x = b ⇒ t = β B 3 :Tính I u(t).dt β α = ∫ Phương pháp 2: B 1 : Đặt t = g(x) ⇒ dt = g '(x).dx B 2 : Đổi cận : x = a ⇒ t = α x = b ⇒ t = β GV: Nguyễn Bá Trình B 3 : Tính I u(t).dt β α = ∫ Một số chú ý khi tính tích phân đổi biến : o Nếu có dạng 2 2 a x− (không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) . Ta đặt x = asint o Nếu có dạng 2 2 a x+ (không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) . Ta đặt x = atgt o Nếu có dạng 2 x k+ (không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) . Ta đặt t = x + 2 2 a x+ o Những dạng khác , ta đặt ẩn phụ bởi cả căn , lnf(x) , hoặc cả biểu thức dưới mẫu … sao cho khi vi phân thì ra biểu thức còn lại . Dạng 3: Tính tích phân từng phần : I = b a h(x).g(x).dx ∫ Phương pháp : Đặt u h(x) du h '(x).dx dv g(x).dx v G(x) = = ⇒ = = Tính : I = b b a a u.v | v.du− ∫ Những dạng toán thường gặp khi tính tích phân từng phần (với f(x) là hàm đa thức): o b a f (x).sin(ax b).dx+ ∫ ; b a f (x).Cos(ax b).dx+ ∫ ; b ax b a f (x).e .dx + ∫ . Đặt u = f(x) còn lại là dv . o b a ln(ax b).f (x).dx+ ∫ . Đặt u = ln(ax + b) còn lại là dv . o b ax b a sin(ax b).e .dx + + ∫ ; b ax b a cos(ax b).e .dx + + ∫ .Đặt u = e ax+b còn lại là dv ( phải đặt 2 lần ). C.Đại số tổ hợp : 1) Quy tắc cộng :Nếu có m 1 cách chọn x 1 , m 2 cách chọn x 2 , . . . , m n cách chọn x n và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng với bất kỳ cách chọn nào của đối tượng x j thì có m 1 + m 2 + … + m n cách chọn 1 trong các đối tượng đã cho 2) Quy tắc nhân : Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp , bước 1 có m 1 cách , bước 2 có m 2 cách , … , bước n có m n cách thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 .m 2 …m n cách khác nhau . 3) Hoán vò : Cho tập hợp A có n phần tử (n > 1 , n ∈ N) .Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó . KH : P n = n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1 Chú ý : 0! = 1 . 4) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k (0 < k < n) , phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A . KH : k n n! A (n k)! = − (với k , n ∈ N và n > 1) . 5) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi tập con gồm k (0 < k < n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho . KH : k n n! C (n k)!.k! = − (với k , n ∈ N và n > 0) . GV: Nguyễn Bá Trình 6) Công thức nhò thức Niutơn . (a + b) n = 0 n C a n + 1 n C a n – 1 .b + 2 n C a n – 2 .b 2 + . . . + n n C b n . Số hạng tổng quát thứ k + 1 có dạng : T k + 1 = k n C a n – k .b k . 2 n = (1 + 1) n = 0 n C + 1 n C + 2 n C + . . . + n n C . 0 = (1 - 1) n = 0 n C - 1 n C + 2 n C + . . . + (-1) n n n C . . 0 .thì : o d //d 1 : ax + by + m = 0 ( m ≠ c) . o d ⊥ d 1 : bx – ay + n = 0 . 3.Dạng 3:Đường cong : y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi : ax 3 + bx 2 + cx + d =. không trùng với bất kỳ cách chọn nào của đối tượng x j thì có m 1 + m 2 + … + m n cách chọn 1 trong các đối tượng đã cho 2) Quy tắc nhân : Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp. k n n! A (n k)! = − (với k , n ∈ N và n > 1) . 5) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi tập con gồm k (0 < k < n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho . KH