Tìm trên đáy nhỏ CD một điểm N sao cho diện tích nhận được do các đường thẳng AN, BN, CM và DM cắt nhau tạo thành là lớn nhất.. a Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được trong một đường tr
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN )
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 16 – 07 – 1999
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD)
a) Trên đáy lớn AB, người ta lấy điểm M Tìm trên đáy nhỏ CD một điểm N sao cho diện tích nhận được do các đường thẳng AN, BN, CM và DM cắt nhau tạo thành là lớn nhất
b) Biết diện tích hình thang bằng a2 Đường chéo lớn của hình thang này có độ dài bé nhất là bao nhiêu?
Trang 2SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Dành cho các lớp chuyên
Văn, Tiếng Anh, Lý, Hoá) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 16 – 07 – 1999
x x x x x
+
−
− +
2
,với x > 0 a) Rút gọn A
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Kẻ tia tiếp tuyến Bx M là một điểm di động trên Bx (M ≠ B) AM cắt (O) tại N Gọi I là trung điểm của AN a) Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được trong một đường tròn
b) Chứng minh tam giác IBN đồng dạng với tam giác OMB
c) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có giá trị lớn nhất
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực thoả điều kiện x2 + y2 + z 2 = 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = xy + yz + 2zx
Trang 3SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Các lớp không chuyên Toán
Khoá thi ngày: 17 – 07 – 2000 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu:
a y
x y
y x
x2 +3 4 2 + 2 + 3 2 4 = , với x > 0; y > 0 thì: 3 x2 + 3 y2 = 3 a2
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho phương trình:
2 4 6 2
4 6 1
AB
2 1
1
= +
b) Biết diện tích tam giác AOB bằng a2 Diện tích tam giác COD bằng b2
Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 4: (1,0 điểm)
Cho P(2) là giá trị của đa thức P (x) khi x = 2
Chứng minh rằng P (x) - P (2) chia hết cho x – 2
Trang 4SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
BÌNH ĐỊNH Năm học 2000 – 2001
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp: Chuyên toán
Khoá thi ngày: 17 – 07 – 2000 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Chứng minh AF = BP
Trang 5SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN )
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 03 – 07 – 2001
a/ Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều
b/ Định vị trí của M để MA + MB lớn nhất
c/ Tìm tập hợp các điểm N khi M di động trên cung nhỏ AB
Trang 6SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên Vật lý,
Hóa học, Sinh học) Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề) Ngày thi: 03 – 07 – 2001
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
A =
12
1:
1
11
461
2
2
−
−+
=+
1) Hai tam giác IAM và IAN đồng dạng
2) I là điểm cố định khi hai đường tròn thay đổi
Trang 7ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐHKHTN - ĐHQG HÀ NỘI 1999
(Thời gian làm bài: 150 phút)
=++
14
0
2 2 2
c b a
c b a
Hãy tính giá trị của biểu thức:
P = 1 + a4 + b4 + c4
Bài 2:
1) Giải phương trình:
827
1) Chứng minh rằng tứ giác M’N’E’F’ nội tiếp đường tròn
2) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’N’E’F’có bán kính không đổi
3) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác M’N’E’F’ có diện tích lớn nhất
Trang 8ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP HCM NĂM 2001
MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1:
a) Giải bất phương trình:
12
=+
3
712
71
x y
y x
Bài 2:
Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình:
x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời các phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung
b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O Một đường thẳng
d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O Lấy một điểm S trên d
Chứng minh rằng (AC) ⊥ (SBD) và (SAC) ⊥ (SBD)
Bài 4:
Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và AB = 2, BC = 13,
CD = 8, DA = 5
a) Đường thẳng (BA) cắt đường tnẳng (CD) tại E Hãy tính AE
b) Tính diện tích tứ giác ABCD
Trang 9ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP HCM MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học 2001 – 2002
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1:
a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000 a là
số chính phương
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b –1) không là bội của 9,
b là bội của 4 số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương
y x y
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
n n n n
y x y
3
112
1
=+
n
Tìm giá trị lớn nhất của B = m.n
Bài 4:
Cho hai đường tròn C1 (O1, R1) và C2 (O2, R2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm
A Hai điểm B, C lần lượt di động trên C1, C2 sao cho BAC = 900
a) Chứng minh trung điểm M của BC luôn nằm trên một đường tròn cố định b) Hạ AH vuông góc với BC Tìm tập hợp các điểm H
Chứng minh rằng độ dài đoạn AH không lớn hơn
2 1
2 1
2
R R
R R
Trang 10ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ 1999 MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút)
Trang 11ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Ngày thi: 12 – 07 – 2002
Thời gian làm bài: 150 phút
I Lý thuyết: (2 điểm)
Thí sinh chọn một trong hai đề sau để làm bài
Đề 1:
a) Chứng minh định lý: “Với mỗi số thực a thì a2 = a ”
b) Aùp dụng: So sánh (1 − 3)2 và ( 3 1 − )2
Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A để đi hết quãng đường AB dài
35 km Người thứ nhất mỗi giờ đi nhanh hơn người thứ hai 4 km nên đến B sớm hơn người thứ hai 1 giờ Tính vận tốc của mỗi người
Bài 3: (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Lấy một điểm C trên đoạn OA (C khác O và A) Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn (M khác A và B) Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By ở cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn) Nối MC, đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax và By tại D và E
Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp
b) DCE DAM MBE = +
c) DCE vuông
Bài 4: (1 điểm)
Với a, b, c là 3 số dương Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c = ab + bc + ca thì a = b = c
Trang 12ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Ngày thi: 13 – 07 – 2002
Thời gian làm bài: 150 phút
Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) không cắt đường tròn
a) Gọi I là hình chiếu của O lên (d) Từ I ta kẻ các cát tuyến IAB và ICD tới đường tròn (A, B, C, D thuộc (O)) Đường thẳng (d) cắt AD và CB tại các điểm E và F Chứng minh: IE = IF
b) Gọi M là điểm bất kỳ trên (d) Từ M kẻ các tiếp tuyến MT và MT ‘ tới (O)
(T và T ‘ là các tiếp điểm) Chứng minh khi M di động trên (d) thì T T ‘ luôn đi qua một điểm cố định
Bài 3: (1,5 điểm)
a) Với mỗi n ∈ N, đặt a n = 2 7 n + 3 + 3 2 n + 1 5 4 n + 1
Định n để a n là một số nguyên tố
b) Gọi x là số chính phương có 8 chữ số, trong đó 4 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều lập thành số chính phương lớn hơn 0 Tìm giá trị lớn nhất của x
Bài 4: (1 điểm)
Cho hàm số f(t) = t + 2 + 2 2t + t + 2 − 2 2t
Gọi x, y, z là những giá trị của t để f (t) nhỏ nhất và x + y + z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của A = x 2 + y 2 + z 2
Trang 13ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI
Năm học 2002 –2003 MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: (2 điểm)
1) Thực hiện phép tính:
6 3
216 5
7 3
1
5 15 2
1
7 14
.
2) Giải phương trình: 3 x - 7 x + 4 = 0
Bài 2: (3 điểm)
Cho hàm số y = ax 2 (1)
1) Tìm giá trị a để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm (2; 1) Vẽ đồ thị (P) của hàm số (1) ứng với giá trị của a vừa tìm được
2) Chứng tỏ rằng: Trong cùng một hệ trục tọa độ, đường thẳng (d):
y = mx – 2(m + 1) luôn luôn cắt đồ thị (P) (ở câu 1) tại hai điểm phân biệt Tìm m để hai giao điểm của (d) và (P) có hoành độ dương
3) Chứng minh rằng đường thẳng (d) (ở câu 2) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi
m thay đổi
Bài 3: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định C là một điểm cố định trên đoạn thẳng
OA (C khác A và O) M là điểm di động trên đường tròn (O) sao cho đường thẳng vuông góc với MC tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt ở D và E
1) Chứng minh các tứ giác DMCA và CBEM là các tứ giác nội tiếp được đường tròn 2) Chứng minh hệ thức:
2 2
2
1 1
1
CE CD
CM
+
= 3) Chứng minh rằng tích AD BE không đổi khi M di động trên đường tròn (O) 4) Xác định vị trí của điểm M trên (O) sao cho tứ giác ABDE có diện tích nhỏ nhất
Trang 14ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI Năm học 2002 – 2003 MÔN TOÁN CHUYÊN
(Thời gian làm bài: 150 phút)
1) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F cùng nằm trên một đường tròn
2) Gọi H là giao điểm của MF và NE, I là giao điểm của BH và MN
Chứng minh rằng Khi M, N di động nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện đã cho thì I
di động trên một cung của một đường tròn cố định Xác định cung tròn đó 3) Tìm vị trí của M, N (vẫn thỏa mãn điều kiện đã cho) để diện tích tam giác MDN lớn nhất
Trang 15ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN – TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM 2001 (Thời gian làm bài: 150 phút)
Trang 16ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU - ĐHQG TP HCM NĂM HỌC 2001 – 2002 - Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1:
Cho phương trình: x + 2 x − 1 − m2 + 6m − 11 = 0
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
+ +
+ +
6
1 2
3
y x
m y
y x y x x m y
a) Giải hệ phương trình khi m = 0
b) Giải hệ phương trình khi m = 1
Bài 3:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD Biết rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng
3 2
8 + và tồn tại một điểm I thuộc đoạn MN sao cho góc DAI = 450, góc IDA = 300
a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD
b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác ADI và BIC
Tính diện tích tam giác NKH
Bài 4:
Tam giác ABC có góc ABC = 300 và góc ACB = 150 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB,
OC
a) Tính góc PON Chứng minh A, M, I thẳng hàng
b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN
Bài 5:
a) Tìm tất cả các số thực a và b sao cho 2x + a = b x+ 5 với mọi số thực x b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện:
f x e d
x c b
x
Biết a, c và e khác 0 Chứng minh: ad = bc
Trang 17ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU – ĐHQG TP.HCM NĂM HỌC 2000 – 2001 - MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1:
Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 = 0
1) Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 – x1
2) Hãy tính giá trị biểu thức: A = 2x1− x2 + 2x2− x1
a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh rằng ADM CDN =
Bài 5
Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt Trong mỗi trân, đội thắng được 3 điểm, đội hoà được 1 điểm và đội thua không có điểm Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó
a) Gọi A là một đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt những điểm số nào?
b) Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải Tìm số điểm tối đa, số điểm tối thiểu mà đội bóng A có thể đạt được
Trang 18ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU - ĐHQG TP HCM
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1:
Cho phương trình: x − x + 1 = m (1 ), trong đó m là tham số
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Câu 2:
Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình x2 + y2 = z2
a) Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3
b) Chứng minh rằng tích x.y chia hết cho 12
Câu 3:
Cho đường tròn (C), đường kính BC = 2 R và điểm A thay đổi trên (C)
(A không trùng với B, C) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn (C) tại điểm K (K khác A) Hạ AH vuông góc với BC
a) Đặt AH = x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2 + HK2 luôn là một đại lượng không đổi
c) Tính góc B của tam giác ABC biết rằng AH 3
b b
a + 1 = + 1 = + 1
a) Cho a = 1, hãy tìm b, c
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì a2b2c2 = 1
c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c
Trang 19
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB TRƯỜNG CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TP HCM NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 Rút gọn biểu thức:
Câu 2 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (x là ẩn)
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) Chứng minh: NMO = NPO
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi
M lưu động trên đường thẳng (d)
c) Xác định điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là hình vuông d) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP lưu động trên một đường tròn cố định khi M lưu động trên đường thẳng (d)
Trang 20
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TP HCM NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm và tính các nghiệm
=
Câu 5. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có AB
< AC Lấy M thuộc cung BC không chứa điểm A của đường tròn (O)
Vẽ MH vuông góc BC, MK vuông góc CA, MI vuông góc AB (H ∈ BC, K ∈
AC, I ∈ AB)
MH = MK + MI
Câu 6. Cho tam giác ABC Giả sử các đường phân giác trong và phân giác
ngoài của góc A của tam giác ABC lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E và có
AD = AE
Chứng minh: AB2 + AC2 = 4R2 với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 21
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút
Trang 22ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút
Tính tỉ số diện tích của các tam giác A’B’C’ và ABC
b) Cho đa giác đều có 2001 cạnh Hỏi có bao nhiêu đa giác đều phân biệt có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều đã cho?
(Chỉ xét đối với các đa giác đều lồi đơn)
Trang 23ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN – BẮC NINH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút
1) Rút gọn y Tìm x để y = 2
2) Giả sử x > 1 Chứng minh rằng: y − y = 0
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Bài 4 (2 điểm)
Cho hai đường tròn đồng tâm và một điểm M cố định trên đường tròn nhỏ Qua
M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường thẳng cắt đường tròn nhỏ
ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B, C Khi cho các đường thẳng này quay M và vẫn vuông góc với nhau Chứng minh rằng:
1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi
2) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định