So nguyenn to trong truong THCS voi doi tuong la HS kha, gioi.doc

Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Lời nói đầu Toán học là một trong những môn học có vị trí quan trọng trong nhà trờng. Dạy toán là dạy phơng pháp suy luận khoa học. Học toán là rèn luyện khả năng t duy lôgic, còn giải toán là một phơng tiện rất tốt trong việc nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Nhng khi nói đến toán có rất nhiều ngời cho rằng: đây là một môn khoa học khô khan, cứng nhắc. Còn thực tế, toán học là một công cụ vĩ đại làm giảm nhẹ công việc trong các lĩnh vực khác nhau. Trong toán học cũng đã thâm nhập vào trong những nghề mà có lẽ chúng ta cha bao giờ tìm thấy toán. Ví dụ nh một công nhân chuyên ngành, một ngời bán hàng cũng không thể không có những tính toán đến con số, hay một sự tiến bộ khoa học không thể không có những nghiên cứu mà cơ sở của những nghiên cứu đó đợc tạo nên bởi thống kê toán học vì vậy ta có thể nói: Toán học không phải là sự thông minh sách vở khô khan, nhằm chọc tức những ngời ít quan tâm cũng không phải là những tính toán ngốc nghếch chỉ đem lại kết quả là thuộc lòng một tóm tắt công thức. Trong th của Thủ tớng Phạm Văn Đồng gửi các bạn trẻ yêu toán (đăng trên báo Toán học Tuổi trẻ) có đoạn viết: Trong các môn khoa học kỹ thuật, toán học giữ một vị trí đặc biệt, nó có tác dụng lớn đối với sản xuất và chiến đấu. Trong Toán học, Phân môn Số học là phân môn môn có từ lâu đời nhất và có nhiều sự hấp dẫn. Các bài toán số học đã cuốn hút và làm say mê lòng ngời: Từ các nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại đến đông đảo các bạn trẻ yêu toán. Thế giới các con số quen thuộc đối với chúng ta trong cuộc sống hàng ngày, nhng nó cũng là một thế giới hết sức kỳ lạ và đầy bí ẩn. Loài ngời đã phát hiện trong đó biết bao tính chất, bao quy luật đồng thỡi cũng đau đầu cha thể chứng minh đợc một số những dự 1 kiến, dự đoán toán học. Một điều lý thú là có nhiều mệnh đề khó của số học lại đợc phát biểu rất đơn giản, rất dễ hiểu. Nhiều bài toán số học khó nhng lại có thể giải quyết sáng tạo với những kiến thức số học rất phổ thông. Trong số học, chúng ta còn có những vấn đề mới đầy bí ẩn đang chờ đón. Chính vì lẽ đó mà các bài toán số học luôn có mặt trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán ở tất cả các cấp học và đối với hầu hết các nớc trên thế giới. Là một bộ phận của Số học, Số nguyên tố cũng tựu chung đầy đủ các yếu tố trên. làm quen đối với số nguyên tố và yêu thích số nguyên tố, chúng ta càng thấy rõ chân lý: Toán học là môn thể dục của trí tuệ . Nó giúp rèn luyện đợc tính kiên trì vợt khó, t duy lôgic và tính sáng tạo. Trong chơng trình của bậc Trung học Cơ sở, số nguyên tố đợc đề cập trong 4 tiết, trong đó có 2 tiết lý thuyết và 2 tiết luyện tập; ngoài ra còn một số đơn vị kiến thức đợc nằm rải rác ở các tiết học khác (sách giáo khoa Toán 6). Trong điều kiện đó, giáo viên mới dừng ở mức độ giúp học sinh có đợc hiểu biết sơ đẳng nhất về số nguyên tố nh: định nghĩa số nguyên tố, những tính chất cơ bản của số nguyên tố và các bài tập áp dụng lý thuyết đơn thuần. Vì vậy khi gặp những bài toán về số nguyên tố ở dạng tổng quát và phức tạp, học sinh thờng hay lúng túng và bế tắc. Là giáo viên, tôi thấy việc giúp đỡ các em học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi tìm hiểu sâu sắc hơn về số nguyên tố là một việc làm rất cần thiết. Với những lý do đó, cùng với sự trăn trở, say mê nghiên cứu, tìm tòi học hỏi, tôi mạnh dạn trình bày một số quan điểm khi giảng dạy chuyên đề Số nguyên tố trong trờng trung học cơ sở với đối tợng là học sinh khá và giỏi. Trong phạm vi chuyên đề này, tôi trình bày những nội dung sau: 2 Phần thứ nhất: Một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố. Phần này tôi nhằm hệ thống lại các kiến thức cơ bản về số nguyên tố mà chúng ta sẽ sử dụng giải bài tập. Phần thứ hai: Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố lớp 6. Các bài tập trong phần này đợc đa vào theo các dạng và có trình bày lời giải. Phần thứ ba: Phụ lục. Trong phần này tôi giới thiệu một số vấn đề đợc đề cập để các bạn tham khảo. Thông qua chuyên đề này, tôi muốn giúp cho các em học sinh có khả năng t duy sâu sắc, khả năng tổng hợp nhanh nhậy và tính chính xác cao mà toán học đòi hỏi. Cũng qua đó giúp các em dần làm quen với phơng pháp học toán ở bậc trung học cơ sở. Tuy nhiên, với khả năng và trình độ của bản còn nhiều hạn chế chuyên đề này khó tránh khỏi đợc những thiếu sót. Rất mong muốn đợc các thầy giáo, cô giáo các bạn đồng nghiệp và bạn đọc tham gia ý kiến để chuyên đề này của tôi đợc hoàn thiện hơn. Hải Dơng, ngày 23 tháng 3 năm 2004 Ngời thực hiện chuyên đề Nguyễn Thị Mai Hơng 3 Phần I Tóm tắt Một số kiến thức cơ bản Về số nguyên tố I/ Định nghĩa 1) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ớc số là 1 và chính nó. Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19 2) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ớc Ví dụ: 4 có 3 ớc số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số. 3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số 4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ớc số nguyên tố II/ Một số định lý cơ bản 1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn Chứng minh: Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p 1 ; p 2 ; p 3 ; p n . trong đó p n là số lớn nhất trong các nguyên tố. Xét số N = p 1 p 2 p n +1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố p i (1 [ i [ n) đều d 1 (1) Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p n ) do đó N phải có một ớc nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số p i (1 [ i [ n). (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn (1). Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố. 2/ Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số). 4 Chứng minh: * Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố: Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 1< m < n ta chứng minh điều đó đúng với mọi n. Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh. Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n) Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cả các thừa số nguyên tố. * Sự phân tích là duy nhất: Giả sử mọi số m < n đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất, ta chứng minh điều đó đúng với n: Nếu n là số nguyên tố thì ta đợc điều phải chứng minh. Nếu n là hợp số: Giả sử có 2 cách phân tích n ra thừa số nguyên tố khác nhau: n = p.q.r n = p .q .r Trong đó p, q, r và p , q , r là các số nguyên tố và không có số nguyên tố nào cũng có mặt trong cả hai phân tích đó (vì nếu có số thoả mãn điều kiện nh trên, ta có thể chia n cho số đó lúc đó thờng sẽ nhỏ hơn n, thơng này có hai cách phân tích ra thừa số nguyên tố khác nhau, trái với giả thiết của quy nạp). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết p và p lần lợt là các số nguyên tố nhỏ nhất trong phân tích thứ nhất và thứ hai. Vì n là hợp số nên n > p 2 và n > p 2 Do p = p => n > p.p Xét m = n - pp < n đợc phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất ta thấy: 5 p | n => p | n pp hay p | m p | n => p | n pp hay p | m Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: m = n - pp = pp . P.Q với P, Q P ( P là tập các số nguyên tố) pp | n = pp | p.q.r => p | q.r => p là ớc nguyên tố của q.r Mà p không trùng với một thừa số nào trong q,r (điều này trái với gỉa thiết quy nạp là một số nhỏ hơn n đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất). Vậy, điều giả sử không đúng, n không thể là hợp số mà n phải là số nguyên tố (Định lý đợc chứng minh). III/ Cách nhận biết một số nguyên tố Cách 1: Chia số đó lần lợt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7 Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố. Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thơng số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số d thì số đó là nguyên tố. Cách 2: Một số có hai ớc số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phơng pháp thứ nhất (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản: Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số A là một số khôngvợt quá A. Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không. + Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số. +Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố. 6 Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì học sinh nhanh chóng trả lời đợc một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không. Hệ quả: Nếu có số A > 1 không có một ớc số nguyên tố nào từ 2 đến A thì A là một nguyên tố. (Do học sinh lớp 6 cha học khái niệm căn bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng minh định lý này, chỉ giới thiệu để học sinh tham khảo.). IV/ Số các ớc số và tổng các ớc số của 1 số: Giả sử: A = p 1 X1 . p 2 X2 p n Xn Trong đó: p i P ; x i N ; i = I, n a) Số các ớc số của A tính bằng công thức: T(A) = (x 1 + 1)(x 2 + 1) (x n + 1) Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 Thật vậy: Ư(30) ={ 1;2;3;5;6;10;15;30} Ư(30) có 8 phân tử ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ớc thông qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố. 3 100 có (100 + 1) = 101 ớc 1000 000 000 = 10 9 = 2 9 .5 9 có (9 + 1)(9+1) = 100 ớc ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ớc của một số các em có thể tin tởng khi viết một tập hợp ớc của một số và khẳng định đã đủ hay cha. b) Tổng các ớc một số của A tính bằng công thức: p 1 X1 + 1 - 1 p 2 X2 + 1 - 1 p n Xn + 1 - 1 (A) = p 1 - 1 p 2 - 1 p n - 1 7 V/ Hai số nguyên tố cùng nhau: 1- Hai số tự nhiên đợc gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ớc chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1. a, b nguyên tố cùng nhau <=> (a,b) = 1 a,b N 2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau 3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau 4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau <=> (a,b,c) = 1 5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau a,b,c nguyên tố sánh đôi <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1 VI/ Một số định lý đặc biệt 1) Định lý Đirichlet Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng: p = ax + b (x N, a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau). Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trờng hợp đặc biệt. Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng 2x 1; 3x 1; 4x + 3; 6x + 5 2) Định lý Tchebycheff Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n 2). 3) Định lý Vinogradow Mọi số lẻ lớn hơn 3 3 là tổng của 3 số nguyên tố. Các định lý 2 và 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng để giải một số bài tập. 8 Phần II Một số bài toán cơ bản Về số nguyên tố lớp 6 Dạng 1: Có bao nhiêu số nguyên tố dạng ax + b (với x N và (a,b) = 1) Bài tập số 1: Chứng minh rằng: có vô số số nguyên tố có dạng: 3x 1 (x1) Giải: Giáo viên gợi ý và hớng dẫn học sinh để học sinh tự rút ra nhận xét: Mọi số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng: 3x; 3x + 1; hoặc 3x - 1 +) Những số có dạng 3x (với x>1) là hợp số +) Xét 2 số có dạng 3x + 1: đó là số (3m + 1) và số (3n + 1) Xét tích (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 = 3x + 1 Tích trên có dạng: 3x + 1 +) Lấy một số nguyên tố p có dạng 3x 1 (với p bất kỳ p) ta lập tích của p với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p rồi trừ đi ta có: M = 2.3.5.7 p 1 = 3(2.5.7 p) 1 M có dạng: 3x 1 Có 2 khả năng xảy ra: * Khả năng 1: M là số nguyên tố, đó là số nguyên tố có dạng (3x 1) > p, bài toán đợc chứng minh. * Khả năng 2: M là hợp số: Ta chia M cho 2, 3, 5, ,p đều tồn tại một số d khác 0 nên các ớc nguyên tố của M đều lớn hơn p, trong các ớc này không có số nào có dạng 3x + 1 (đã chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ớc nguyên tố của M phải có dạng 3x (hợp số) hoặc 3x + 1 Vì nếu tất cả có dạng 3x + 1 thì M phải có dạng 3x + 1 (đã chứng minh trên). Do đó, ít nhất một trong các ớc nguyên tố của M phải có dạng 3x + 1, ớc này luôn lớn hơn p. 9 Vậy: Có vô số số nguyên tố dạng 3x 1. Bài tập số 2: Chứng minh rằng: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x + 3 (với x N) Nhận xét: Các số nguyên tố lẻ không thể có dạng 4x hoặc 4x + 2. Vậy chúng chỉ có thể tồn tại dới 1 trong 2 dạng 4x + 1 hoặc 4x + 3. Ta sẽ chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4x + 3 +) Xét tích 2 số có dạng 4x + 1 là: 4m + 1 và 4n + 1 Ta có: (4m + 1)(4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + 1 = 4(4mn + m + n) + 1 = 4x + 1 Vậy tích của 2 số có dạng 4x + 1 là một số cũng có dạng 4x + 1 +) Lấy một số nguyên tố p bất kỳ có dạng 4x 1, ta lập tích của 4p với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p rồi trừ đi 1 khi đó ta có: N = 4(2.3.5.7 p) 1 Có 2 khả năng xảy ra * Khả năng 1: N là số nguyên tố => N = 4(2.3.5.7 p) 1 có dạng 4x 1. Những số nguyên tố có dạng 4x 1 cũng chính là những số có dạng 4x + 3 và bài toán đợc chứng minh. * Khả năng 2: N là hợp số: Chia N cho 2, 3, 5, , p đều đợc các số d khác 0 => các ớc nguyên tố của N đều lớn hơn p. Các ớc này không thể có dạng 4x hoặc 4x + 2 (vì đó là hợp số). Cũng không thể toàn các ớc có dạng 4x + 1 vì nh thế N phải có dạng 4x + 1. Nh vậy trong các - ớc nguyên tố của N có ít nhất 1 ớc có dạng 4x 1 mà ớc này hiển nhiên lớn hơn p. Vậy: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x 1 (hay có dạng 4x + 3). 10 [...]... của to n học Võ Đại Mau Hoàng Chung 4- Tuyển tập 250 bài to n bồi dỡng Võ Đại Mau học sinh giỏi cấp 2 5- Một số vấn đề phát triển to n 6 Vũ Hữu Bình 6- To n chọn lọc cấp 2 Lê Hải Châu 7- 162 bài to n hay Lê Hải Châu 8- To n nâng cao và các chuyên đề Nguyễn Ngọc Đạm 27 Lời Kết Thông qua đề tài này, chúng ta có thể khẳng định rằng: To n học có mặt trong mọi công việc, mọi lĩnh vực của cuộc sống quanh ta,... trình độ nên trong khuôn khổ đề tài này phân chia dạng to n, loại to n chỉ có tính tơng đối Đồng thời cũng mới chỉ đa ra lời giải chứ cha có phơng pháp, thuật làm rõ ràng Tuy đã có cố gắng nhiều nhng tôi tự thấy trong đề tài này còn nhiều hạn chế Tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo cùng bạn đọc để to n học thật sự có ý nghĩa cao đẹp nh câu ngạn ngữ Pháp đã viết: To n học là... 1) + 3 => p | 3 [vì p | 2(2p-1 1)] Vì p P p | 3 => p = 3 Vậy: p = 3 là số nguyên tố thoả mãn tính chất p | 2p + 1 Tóm lại: Các bài to n thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn các điều kiện cho trớc là loại to n không khó trong các loại bài to n về số nguyên tố Qua loại to n này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số nguyên tố Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số... trên máy siêu điện to n Gray-2 , sau 19 giờ ông đã tìm ra số nguyên tố 2756839-1 Số này viết trong hệ thập phân sẽ có 227832 chữ số- viết hết số này cần 30 trang văn bản bình thờng! Hoặc nếu viết hàng ngangnh số trên thì ta cần khoảng 32m 26 Tài liệu tham khảo Vũ Dơng Thuỵ 1- 400 bài to n số học chọn lọc Trơng Công Thành 2- Chuyên đề số học: Nữ Hoàng to n học 3- Số học: Bà Chúa của to n học Võ Đại Mau... cần chỉ ra một vài giá trị của p thoả mãn là đủ Bài tập số 3: Tìm k để trong 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3; k +10 có nhiều số nguyên tố nhất Giải: 14 Giáo viên hớng dẫn học sinh rút ra nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có 5 số chẵn và 5 số lẻ (trong 5 số chẵn, có nhiều nhất là 1 số nguyên tố chẵn là 2) Vậy: trong 10 số đó có không quá 6 số nguyên tố +) Nếu k = 0, từ 1 đến 10 có...Trên đây là mộ số bài to n chứng minh đơn giản của định lý Đirielet: Có vô số số nguyên tố dạng ax + b trong đó x N ,(a,b) = 1 Mục đích của những bài tập dạng này là: Rèn luyện cho học sinh khả năng t duy sâu, cách xem xét và kết luận về một vấn đề to n học bằng cách xét hết các khả năng có thể xảy ra, dùng những vấn đề to n học đã đ ợc chứng minh hoặc đã biết để loại bỏ... tố Sự phân bố số nguyên tố trong n Bài tập số 1: Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p 1 là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số ? Giải: +) Nếu p = 2 => 8p +1 = 17 P , 8p 1 = 15 P +) Nếu p = 3 => 8p 1 = 23 P , 8p 1 = 25 P +) Nếu p khác 3, xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 8p 1; 8p và 8p + 1 Trong 3 số này ắt có 1 số chia hết cho 3 Nên một trong hai số 8p + 1 và 8p ... 247 637 786 655 587 969 840 329 509 324 689 190 041 803 603 417 758 904 341 703 348 882 159 067 229 719 Kỷ lục này do 70 nhà to n học lập đợc năm 1998 thật khó mà đánh bại đợc Họ mất nhiều tháng tính to n mới tìm đợc mời số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng Từ mục trò chơi trong 1 tạp chí khoa học, hai nhà nghiên cứu ở trờng Đại học Lyonl (Pháp) đã đào sâu ý tởng: Tìm 6 số nguyên tố sao cho hiệu... năm 1998 có 70 nhà to n học từ khắp trên thế giới cùng với 200 máy điện to n hoạt động liên tục đã tìm ra 10 số, mỗi số có 93 chữ số, mà hiệu số của 2 số liên tiếp luôn luôn là 210 Từ số nguyên tố ở trên chỉ cần thêm vào 210 là đ ợc số nguyên tố thứ 2 Kỷ lục có lẽ dừng ở đó: Theo ớc tính của các nhà khoa học muốn tìm đợc 1 dãy 11 số nguyên tố thì phải mất hơn 10 tỉ năm Su tầm Lịch sử to n học: 23 Từ bài... Giả thuyết Fermat mà ta quen gọi là định lý lớn Phecma Giả thuyết những giả thuyết lớn thờng ngời ta phải sáng tạo ra những công cụ mới, đôi khi cả những ngành to n học mới Những công cụ đó sẽ phát huy tác dụng trong nhiều vấn đề khác nhau của to n học, chứ không phải chỉ nhằm vào việc giải quyết giả thuyết Nhiều khi rất khó nhận thấy ranh giới giữa một bài tập dễ với một giả thuyết khó, chẳng hạn ra . http://quanghieu030778.violet.vn Lời nói đầu To n học là một trong những môn học có vị trí quan trọng trong nhà trờng. Dạy to n là dạy phơng pháp suy luận khoa học. Học to n là rèn luyện khả năng t duy lôgic, còn giải to n là một. một công cụ vĩ đại làm giảm nhẹ công việc trong các lĩnh vực khác nhau. Trong to n học cũng đã thâm nhập vào trong những nghề mà có lẽ chúng ta cha bao giờ tìm thấy to n. Ví dụ nh một công nhân chuyên. những tính to n ngốc nghếch chỉ đem lại kết quả là thuộc lòng một tóm tắt công thức. Trong th của Thủ tớng Phạm Văn Đồng gửi các bạn trẻ yêu to n (đăng trên báo To n học Tuổi trẻ) có đoạn viết: Trong