Chuyên đề số học

Phần I: SỐ HỌC MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1/ nếu a 1 , a 2 , a 3 đều chia hết cho b Thì : a/ a 1 + a 2 + a 3 +… chia hết cho b b/ a 1 n + a 2 .n + a 3 .n … chia hết cho b * HỆ QUẢ : a 1 M b a 1 + a 2 M b 2/ b 1 \ a 1 , b 2 \ a 2 , b 3 \ a 3 thì b 1 .b 2 .b 3 \ a 1 .a 2 .a 3 * HỆ QUẢ: b\ a thì b n \ a n và b.c \ a.c ( với mọi n ∈ N, c ≠ 0 , c ∈ Z ) 3/ bc\ ac ⇒ b \ a ( c ≠ 0) 4/ Nếu a M b a M c ( b,c) = 1 5/ Nhò thức Niu-Tơn: a/ a n - b n = ( a-b)(a n-1 b 0 + a n-2 b + a n-3 b 2 +…+a 0 b n-1 ) với n ∈ N, và a ≠ b b/ a n + b n = ( a+ b)(a n-1 b 0 - a n-2 b + a n-3 b 2 – a n-4 b 3 +…-ab n-2 + a 0 b n-1 ) với n ∈ N, n lẻ và a ≠ -b c/ ( a+ b+ c) 2 = 2 2 2 2 2 2a b c ab ac bc+ + + + + d/ 2 2 2 ( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ − = + + + − − 6/ Đònh lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức ) Nếu f(x) có nghiệm là x 0 thì f(x) = ( x-x 0 )g(x) họăc f(x) M ( x-x 0 ). Nói cách khác f(x) M (x- a) khi f(a) = 0 • CHÚ Y Ù:a/ Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có nghiệm bằng 1 . Hay f(x) M (x-1) b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) có nghiệm x = -1 . Hay f(x) M (x+1) 7/ CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ : Tr 1 Thì a 2 M b ⇒ a M b.c • Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều kiện sau: + Mọi số chẵn đều chia hết cho 2 + ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25). + ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc 125) + Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 + Với a,b ∈ Z ; b ≠ 0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho .a b q r= + (0 r≤ < b ). Ta gọi r là số dư , q là thương trong phép chia a cho b + Đònh lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho nhò thức g(x) = x-a là một hằng số bằng giá trò của f(a) + Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø của đa thương và dư trong phép chia Đa thức f(x) = 1 2 1 2 1 0 n n n n n n a x a x a x a x a − − − − + + + + + cho nhò thức x α − a n a n-1 a n-2 … a 1 a 0 α b n =a n 1 1 . n n n b b a α − − = + 2 1 2 . n n n b b a α − − − = + … 1 2 1 .b b a α = + 1 0 .r b a α = + ( Dòng thứ 2 : giá trò ở ô cuối cùng là số dư, giá trò ở mỗi ô còn lại là hệ số của đa thức thương) + Tam giác PASSCAN: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ( Các số ở mỗi dòng của tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy thừa của một tổng 2 số hạng) 8/ NGHI Ệ M C Ủ A Đ A TH Ứ C V Ớ I H Ệ S Ố NGUN : Tr 2 f(x) = 1 2 0 1 2 1 0 n n n n n a x a x a x a x a − − − + + + + + • Nếu có nghiệm hữu tỷ p q thì : p là ước của a n ( n a pM ) và q là ước của a 0 ( 0 a qM ) • Nếu có nghiệm ngun x = a thì a là ước của a n • Nếu f(x) có nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x) * VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x 3 – x 2 +4 thành nhân tử ( CMR : x 3 – x 2 +4 chia hết cho x 2 +x+2) +nghiệm nguyên nếu có của f(x) thì x = { } 1;1; 2;2− − + Thử lại ta có x = 2 là nghiệm . Vậy 2 ( ) ( 2)( 2)f x x x x= − + + ( 2 ( ) 2 2 f x x x x = + + − ) + x 2 +x+2 có ∆ = -7 < 0 ( VN) * VD2 phân tích f(x) = 3x 3 + 7x 2 + 17x -5 thành nhân tử Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x { } 1; 1; 5; 5∈ − + − + Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì x 1 1 5 5 ; ; ; 3 3 3 3   ∈ − + − +     Thử lại ta có 1 3 là nghiệm . 2 1 ( ) 3( )( 2 5) 3 f x x x x⇒ = − − + do x 2 -2x +5 VN 9/ Phương trình bậc hai : Có biệt thức : ( ) 2 2 0 0 4 ax bx c a b ac + + = ≠ ∆ = − * ∆ < 0 phương trình vơ nghiệm. * ∆ = 0 tphương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = − * ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 , 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = VD- 3x 2 – 8x + 4 = 0 10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a * CM f(x) đúng với x = 1 * Giả sử f(x) đúng với x = n * Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1 VD I-PHÉP CHIA HẾT BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A = 5 2n − − a, Tìm các số ngun n để biểu thức A là phân số. b, Tìm các số ngun n để biểu thức A là số ngun. 2, Tìm x biết: a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500 Tr 3 b, (3x 2 4 ). 7 3 = 2. 7 4 c, 5 16 2.( 3)x = + 3, Bn Hng ỏnh s trang sỏch bng cỏc s t nhiờn t 1 n 145. Hi bn Hng ó dựng bao nhiờu ch s ? Trong nhng ch s ó s dng thỡ cú bao nhiờu ch s 0 ? BI 2: 1, Cho S = 5 + 5 2 + 5 3 + . . . . + 5 96 a, Chng minh: S M 126 b, Tỡm ch s tn cựng ca S 2, Chng minh A = n(5n + 3) M n vi mi n Z 3,Tỡm a, b N, bit: a + 2b = 48 CLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14 BI 2 :a. Chng minh: 12 1 30 2 n n + + (n Z) ti gin b.Bn Hng ỏnh 1 cun sỏch dy 284 trang bng dóy s chn. c, Bn Hng cn bao nhiờu ch s ỏnh ht cun sỏch ú ? d, Trong dóy s trờn thỡ ch s th 300 l ch s no ? e, Tớnh: 2 2 2 2 1.3 3.5 5.7 99.101 + + + + BI 3: 1) Rút gọn 108.6381.4227.21 36.2127.149.7 ++ ++ =A 2) Cho * )3( 3 10.7 3 7.4 3 4.1 3 Nn nn S + ++++= Chứng minh: S < 1 3) So sánh: 2004.2003 12004.2003 và 2005.2004 12005.2004 4) Tìm số nguyên tố P sao cho các số P + 2 và P +10 là số nguyên tố 5) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21 6 )Cho phân số: )1;( 1 5 + = nZn n n A a) Tìm n để A nguyên. b) Tìm n để A tối giản . BI 4 1) Tìm các giá trị của a để số 5123a a) Chia hết cho 15 b) Chia hết cho 45 2/ Chứng minh rằng: 11810 += nA n chia hết cho 27 (n là số tự nhiên). 3/ Cho nnnA 23 23 ++= a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n. b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho 15. 4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia. Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm 9 1 , đạt điểm khá chiếm 3 1 , đạt điểm yếu chiếm 14 1 tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình. Tr 4 Tính số học sinh mỗi loại. BI 5: 1/ Cho 200432 3 333 ++++=A a) Tính tổng A. b) Chứng minh rằng 130MA . c) A có phải là số chính phơng không ? Vì sao ? 2) Tìm n Z để 31313 2 ++ nnn M CHUYấN TNH TNG HU HN Bi 1: a. Cho n l mt s nguyờn dng. Hóy so sỏnh: 2 1 1 1 + - n n+1 ữ v ( ) 2 2 1 1 1 + - n n+1 b. Tớnh: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + 1 + + + 1 + + + + 1 + + 2 3 3 4 4 5 2005 2006 Bi 2: Chng minh rng: n n 1 1 1 1 + + + + n 2 2 3 2 -1 vi n N v Ví dụ1(SGK-T8.Tr25) Chứng minh rằng: n 3 n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Giải: Ta có n 3 n =n.(n-1).(n+1). Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 luôn cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 .Do đó n 3 n 6M . Qua bài toán trên ta thấy n 3 và n đồng d khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó ta đề xuất một số bài toán tơng tự nh sau. Bài1: Chứng minh rằng : ),(66 33 Znmmnmn ++ MM . Giải: Tacó )(,6)()()()( 1 3333 theoVDmmnnmnmn M+=++ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc bài toán sau. Bài2: Chứng minh rằng: ),1,(,6 6 321 33 3 3 2 3 1 niZxxxxxxxxx inn =++++++++ MM Bài3: Cho A= .9998 321 33333 +++++ Hỏi A có chia hết cho 6 không? Tr 5 Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99. Theo bài 2 ta có A-S chia hết cho 6,trong đó S= 625.33.6 2 )199(99 MS= + . Do đó A 6M . Bài4:(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004). Chứng minh rằng: 6)( 3333 Mzyxzyx ++ với mọi số nguyên x,y,z. Giải: [ ] )()()()()()( 33333333 zzyyxxzyxzyxzyxzyx ++++=++ . Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP đều chia hết cho 6, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài5: Viết số 2004 2005 thành tổng của k số tự nhiên tuỳ ý k aaaa .,, ,, 321 .Tìm số d của phép chia 33 3 3 2 3 1 k aaaa ++++ cho3. Giải: Đặt N= 33 3 3 2 3 1 k aaaa ++++ và k aaaa ++++= 2005 321 2004 . Ta có N- = 2004 2005 3)( )()()( 3 3 3 32 3 21 3 1 M kk aaaaaaaa ++++ ,(VD 1 ) Mặt khác 2004 2005 chia cho 3 d 1, do đó N chia cho 3 d 1. Kết hợp với hằng đẳng thức đã học 1 VD đợc phát triển thành các bài toán thú vị sau. Bài 6: Cho 23232 )()13()1( baabbabaP ++++= . Chứng minh rằng P chia hết cho 6 với mọi số nguyên a,b. Giải: Đặt 222 )(13;1 bayxabbyabax +=++=+= . Khi đó ta có P= 6)()()( 3333 Myyxxyxyx +=++ . Bài7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì: 33)3()3( 23323 MM yxyxyxyx ++++ . Gợi ý: Đặt :,)(3;3 32323 yxbayxybxyxa +=++=+= Ta có 33)()(33 3 1 33 MMMM yxyxBTbaba ++++ (vì 3 là số nguyên tố). Bài8: Cho các số nguyên x, y , z thoả mãn : x+y+z= 2007 2006.3 Chứng minh rằng: M= 323232 )()()( xzyzzxzxyyyzxyx ++++++++ chia hết cho 6. Giải: Đặt 333222 ;; cbaMxzyzzcxzxyybyzxyxa ++=++=++=++= Ta có: )(6)()(2 2222 gtTheozyxzxyzxyzyxcba ++=+++++=++ M . Do đó M 6M (theo-BT 2 ) Kết hợp ví dụ 1 với bài toán tìm nghiệm nguyên ta có một số bài toán sau. Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau: a) 333 20052)()( +++=+++ zyxzyyx (1) b) 189)12()1( 3322 =+++ xyyx (2) Giải: a) [ ] [ ] 333 2005)()()()()1( =+++++ zyzyyxyx (3) Tr 6 Dễ thấy VT của (3) chia hết cho 6 (theo-VD1).Nhng 3 2005 không chia hết cho 6,do đó ph- ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) Đặt 222 )(12;1 yxqpxyqyxp +=++=+= . Khi đó phơng trình (2) trở thành : 189 33 =+ qp . Vì 189 3M nên )(33 1 33 BTtheoqpqp ++ MM .Từ đó suy ra p+q là số chính ph- ơng chia hết cho 3. Mặt khác 7.3.9))((189 2233 =++=+ qpqpqpqp .Do đó p+q chỉ có thể bằng 9 ),(39)( 2 + =+=+ Zyxyxyx , từ đó suy ra phơng trình có hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1). Thử lại thấy thoã mãn. Bài 10 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chứng minh rằng nn nn ++ =+ 1 1 1 với n là số tự nhiên. Chứng minh : ( nnnn +++ 1)(1 ) 11 =+= nn nn nn ++ =+ 1 1 1 Phát biểu cách khác : 1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì ( )1 nn + và nn ++1( ) là hai số nghịch đảo. 2 . nn nn ++= + 1 1 1 (với n là số tự nhiên) Bài 12: Tính a. 99100 1 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + b. 1 1 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + nn với n 1 Giải : Tr 7 a. 99100 1 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + = 9110099100 342312 ==++++ b. 1 1 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + nn với n 1 = 11 342312 =++++ nnn Bài 13: Tính a. A = 200620005 1 43 1 32 1 21 1 ++ + b. B = 122 1 43 1 32 1 21 1 + + + kk Định hớng : 21 1 21 + = hay 1 1 1 ++ =+ nn nn Giải : a. A = 200620005 1 43 1 32 1 21 1 ++ + = )20062005( )43()32()21( ++++++ = 20062005 433221 +++ = )20061( + b. B = 122 1 43 1 32 1 21 1 + + + kk B = )122( )43()32()21( ++++++++ kk = 122 433221 ++++++ kk = )112( +k ởBài 71, thay 1 = x N ta có bài toán 3 Bài 14 Chứng minh: Với x>0,n 0 Tr 8 Ta có: nxn x nxn ++ =+ Bài15 Tính a. C = 1316 3 710 3 47 3 14 3 + ++ + + + + + b. D = 1212 1 57 1 45 1 13 1 ++ ++ + + + + + kk Với k là số tự nhiên 1 Giải a. áp dụng bài 3 vào bài bài 4 a. ( 4 ) 2 - 2 1 = 3 , ở đây x = 3 Ta có: C = + + 14 3 + + 47 3 + + 710 3 + 1316 3 + = 1316 7104714 ++++ = 314116 == b. áp dụng bài3vào bài bài 4b ( 3 ) 2 - ( 1 ) 2 = 2, ở đây x = 2 Do đó ta đa về dạng bài toán 4a nh thế nào ? ( Nhân 2 vào 2 vế ) 2D = 2 2 2 2 3 1 5 3 7 5 2 1 2 1k k + + + + + + + + + 2D = 1212 573513 +++++ kk 2D = + 112k D = 2 112 +k Bài 16: Tính a. E = 25242425 1 3223 1 2112 1 + ++ + + + Định hớng : nnnn )1(1 1 +++ = ? Tr 9 nnnn )1(1 1 +++ = 1 1 +nn . 1 1n n+ + = 1. 1 + −+ nn nn = 1 11 + − nn E = 25 1 24 1 3 1 2 1 2 1 1 1 −++−+− = 1- 5 4 5 1 1 25 1 =−= 3 3 3 . 5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003 2003 2006 b P = + + + + + + Ta cã 3 5 2 2 5+ 3(5 2 2 5) (5 2 2 5)(5 2 2 5) − = + − 3(5 2 2 5) 30 − = = 5 2 2 5 10 − = 5 2 2 5 10 10 − = 1 1 2 5 − 1 1 1 1 1 1 2 5 5 8 2003 2006 1 1 2 2006 P P = − + − + + − = − Bµi 17: Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh A = 20062007 − vµ B = 20052006 − Gi¶i : ap dông bµi 71 A = 20062007 1 + B = 20052006 1 + ⇒ A < B do 20052007 > Tr 10 [...]... < n nx Đã chứng minh ở bài 8 Bài 21 : Chứng minh : 2m + 2m + 2 < 2 2m + 1 với m -1 Chứng minh: Với n = 2 m +1, thay vào bài 10a thì ta đợc : 2m + 2m + 2 < 2 2m + 1 Bài 12:Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng tỏ 101 99 > 0,1 Giải 101 99 = 2 101 + 99 Vì 0 < 101 + 99 < 2 100 ( Suy ra từ bài 10a ) 2 101 + 99 > 2 100 99 > 0,1 2 100 Bài 22: a Chứng minh rằng với mọi n N* 1 2 n +1 < n +1 n b Chứng... 3 + 100 99 ) 1+2 ( 100 2 ) < S < 1+2 ( 100 1 ) 1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1) Vậy ta có : 18 < S < 19 Chú ý : Cũng có thể thay đổi nội dung bài này nh sau : Cách 1: Chứng minh S không phải là số tự nhiên Cách 2: Tìm phần nguyên của S Bài 24 So sánh A và B A = 2 ( 2 + 4 + + 2006 ) + 2008 ; B = 2 ( 1 + 3 + + 2007 ) p dụng bài 11 2m + 2m + 2 < 2 2m + 1 với m -1 Cho m = 0 , 1, 2 , ,1003 ta... = 1 ( x + 3 x = 1) ( x + 3 + x 2 x + 3) x = 1 2 x + 2 = 2 x 2 + 3x x + 1 = x 2 + 3x x 2 + 2 x + 1 = x 2 + 3x x = 1 Bài 27: Giải phơng trình : x 2+ x =9 x 2+ 2 + 2+ ( 18 ) x 1+ 1+ x ( Có 2007 số 2 ) Giải : Với x -1 ta có : x 1+ 1+ x Ta có : 2 + = 1 + x 1 ( Tơng tự bài 7 ) x 1+ 1+ x = 2 + 1+ x 1 = 1+ x +1 Tr 16 Phơng trình (18) x +1 1 = 9 x + 1 = 10 x + 1 = 100 x = 99 Bài 28 : Giải phơng... 15 19 2003 2007 b.B = 4 4 4 4 + + + + 9 + 13 13 + 17 17 + 21 221 + 225 c.C = 1 1 1 + + + 6 1 + 1 6 11 6 + 6 11 2006 2001 + 2001 2006 Tr 18 Bài2:Chứng minh S = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 không phải là số tự nhiên 40000 Bài 3:Giải phơng trình: 1 1 1 1 + = 2 với x -1 x +1 x + 3 x+3 x+5 x+5 x+7 x+7 x+9 III PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN Tr 19 Tr 20 . kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều kiện sau: + Mọi số chẵn đều chia hết cho 2 + ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số có 2 chữ số chia hết. cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25). + ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8. Phần I: SỐ HỌC MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1/ nếu a 1 , a 2 , a 3 đều chia hết cho b Thì : a/ a 1 + a 2 + a 3 +… chia hết cho b