Sở Giáo dục - Đào tạo TP.Hồ Chí Minh KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2007 – 2008 MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : 2 2 (6 3) 3 1 0x m x m− − − + = ( x là ẩn số) a) Đònh m để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm. b) Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình trên. Đònh m để A= 2 2 1 2 x x+ đạt giá trò nhỏ nhất. Câu 2 : (4 điểm) a) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh: 1 2 a b c d a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + b) Cho 1 ; 1a b≥ ≥ . Chứng minh : 1 1a b b a ab− + − ≤ Câu 3 : (4 điểm) Giải các phương trình : a) 2 2 2 ( 3 ) 6( 3 ) 7 0x x x x− − − − = b) 8 3 5 3 5x x+ − + − − = c) 2 2 1x x x x x+ + − = + Câu 4 : (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 1n n+ + không chia hết cho 9. Câu 5 : (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H. a) Xác đònh vò trí của điểm M thuộc cung BC khơng chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành. b) Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng. Câu 6 : (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 , diện tích tam giác COD bằng 9. Tìm giá trò nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD. HẾT ĐÁP ÁN Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : 2 2 (6 3) 3 1 0x m x m− − − + = ( x là ẩn số) a) Đònh m để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm. b) Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình trên. Đònh m để A= 2 2 1 2 x x+ đạt giá trò nhỏ nhất. Giải: a) 2 2 (6 3) 8( 3 1) (6 1)m m m∆ = − − − + = − 1;2 6m - 3 6m - 1 x 4 ± ⇒ = 1 x 3m - 1⇒ = v 2 1 x 2 = − Để hai nghiệm phân biệt đều âm thì 1 3 1 0 3 1 1 3 1 2 6 m m m m − < < ⇔ − ≠ − ≠ b)Ta có A= 2 2 1 2 x x+ = 2 1 1 (3 1) 4 4 m − + ≥ A đạt GTNN là 4 1 khi 1 3 m = Câu 2 : (4 điểm) a) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh: 1 2 a b c d a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + b) Cho 1 ; 1a b≥ ≥ . Chứng minh : 1 1a b b a ab− + − ≤ Giải : a) Ta có : ( với a, b, c, d là các số dương) a a a b c a b c d b b b c d a b c d c c c d a a b c d d d d a b a b c d > + + + + + > + + + + + > + + + + + > + + + + + Cộng bốn BĐT trên ta được : 1 a b c d a b c b c d c d a d a b < + + + + + + + + + + + Ta lại có : 1 a a a b c a c c c c d a a c a c a b c c d a < + + + < + + + ⇒ + < + + + + và 1 b b b c d b d d d d a b d b b d b c d d a b < + + + < + + + ⇒ + < + + + + Từ đó ta có đpcm. b)Ta có 1 1 1 1( 1) 2 2 a a a a + − − = − ≤ = ( , 1)a b ≥ Suy ra : 1 2 ba b a − ≤ ( 1) Tương tự : 1 2 ab a b − ≤ (2) Cộng (1) và (2) ta có đpcm. Câu 3 : (4 điểm) Giải các phương trình : a) 2 2 2 ( 3 ) 6( 3 ) 7 0x x x x− − − − = b) 8 3 5 3 5x x+ − + − − = c) 2 2 1x x x x x+ + − = + Giải: a) 2 2 2 ( 3 ) 6( 3 ) 7 0x x x x− − − − = Đặt 2 3t x x= − , ta có phương trình : 2 6 7 0 1 7t t t v t− − = ⇔ = − = Với 2 2 3 5 1, 3 1 3 1 0 2 t x x x x x ± = − − = − ⇔ − + = ⇔ = Với 2 2 3 37 7, 3 7 3 7 0 2 t x x x x x ± = − = ⇔ − − = ⇔ = b) 8 3 5 3 5x x+ − + − − = Đặt 2 8 3 0, 8 3u x u u x= + − ⇔ ≥ = + − Đặt 2 5 3 0, 5 3v x v v x= − − ⇔ ≥ = − − Ta có hệ phương trình: 2 2 5 2 3 3 2 13 u v u u v v v u v + = = = ⇔ = = + = Từ đó ta tìm được nghiệm x = 4 c) 2 2 1x x x x x+ + − = + ( Điều kiện : 0 1x ≤ ≤ Ta thấy 0x = không thỏa nên ta chia hai vế cho x : 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x + − + = + ⇔ + + − = + Xét vế phải : 1 2x x + ≥ và dấu bằng xảy ra khi x = 1. Ta có : 2 2 2 ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2 x x x x + + − ≤ + + − = Suy ra vế trài : 1 1 2x x+ + − ≤ và dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy hai vế không bằng nhau. Phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 4 : (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 1n n+ + không chia hết cho 9. Giải: Giả sử 2 1n n+ + chia hết cho 9 thì ta có : 2 1 .9 ( )n n k k N+ + = ∈ 2 1 .9 0n n k+ + − = ( 1) 1 4(1 .9) 36 3 3(12 1)k k k∆ = − − = − = − Ta thấy ∆ chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 nên không là số chính phương, do vậy phương trình (1) trên không thể có nghiệm nguyên. Vậy 2 1n n+ + không chia hết cho 9. ( đpcm) Câu 5 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H. a)Xác đònh vò trí của điểm M thuộc cung BC khơng chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành. b)Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng. a) Gọi M o là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn. Ta có CM o song song với BH vì cùng vuông góc với AC. BM o song song với CH vì cùng vuông góc với AB. Vậy tứ giác BHCM o là một hình bình hành. Điểm M o chính là vò trí của M mà ta cần xác đònh. b) Ta có N và M đối xứng qua AB nên : ANB=AMB= ACB. H là trực tâm tam giác ABC nên AHB + ACB = 180 o Suy ra : ANB + AHB = 180 o . Tứ giác AHBN nội tiếp được cho ta : NHB = NAB. Mà NAB = MAB nên NHB = MAB. ( 1) Tương tự ta cũng có : EHC = MAC ( 2 ) Cộng (1 ) và (2 ) ta có : NHB + EHC = BAC. Mà ta lại có : BAC + BHC = 180 o Nên : NHB + EHC + BHC = 180 o Vậy N, H , E thẳng hàng. Câu 6 : (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 , diện tích tam giác COD bằng 9. Tìm giá trò nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD. Giải : Đặt , BOC AOD S x S y= = Ta có AOB BOC AOD COD S S OB S OD S = = Suy ra : 4 36 9 x xy y = ⇒ = Ta lại có 4 9 13 2 13 2.6 25. ABCD S x y xy= + + + ≥ + = + = Dấu bằng xảy ra khi x = y = 6. Vậy diện tích tứ giác ABCD đạt giá trò nhỏ nhất là 25.