GV: Phạm Văn Định/ Trờng THCS Nga Điền Từ một hẳng đẳng thức. Bài toán: Chứng minh : ))((3 222333 cabcabcbacbaabccba ++++=++ (*) Nhận xét. Việc chứng minh hằng đẳng thức trên không khó khăn lắm ta có thể tiến hành theo hai hơng sau: - Biến đổi VF = VT - Biến đổi VT = VF Tiến hành theo hai hơng khác nhau thị mức độ thuận lợi cũng khác nhau Từ hằng đẳng thức trên ta có hệ qủa sau: Nếu 0=++ cba thì abccba 3 333 =++ (**) Vận dụng hệ quả này ta có các bài tập sau: Bài1. Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử a. 33 )()()( 3 accbba ++ b. 333 )33()12()2( ++++ xxx giải a. Nhận thấy: (a - b) + (b c) + (c a) = 0 áp dụng (**) có: ))()((3)()()( 33 3 accbbaaccbba =++ b. nhận thấy: (x + 2) + (2x + 1) + (-3x 3) = 0 Từ: 333333 )33()12()2()33()12()2( ++++=++++ xxxxxx )1)(12)(2(9 )33)(12)(2(3 +++= ++= xxx xxx Bài2. Cho xy + yz + zx = 0 và 0xyz Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 22 2 y zx x yz z xy A += Giải Từ : xy + yz + zx = 0 0= ++ xyz zxyzxy 0 111 =++ zyx (2.1) Biến đổi biểu thức A nh sau: ) 111 ( 33322 2 zyx xyz y zx x yz z xy A ++=+= Vận dụng (**) cho trờng hợp ba số zyx 1 ; 1 ; 1 thoả mãn điều kiện (2.1) Khi đó 3 3 .) 111 ( 333 ==++= xyz xyz zyx xyzA Bài3. các số a, b, c thoả mãn điều kiện gì khi abccba 3 333 =++ Giải Từ: 033 333333 =++=++ abccbaabccba (3.1) Từ một hằng đẳng thức suy rộng GV: Phạm Văn Định/ Trờng THCS Nga Điền Theo (*) thì ))((3 22333 2 cabcabcbacbaabccba ++++=++ Khi đó (3.1) thành: 0))(( 22 2 =++++ cabcabcbacba 0 =++ cba hoặc 0 222 =++ cabcabcba Nếu 0 222 =++ cabcabcba cba accbba == =++ 0)()()( 222 Bài4. Cho x,y,z thoả mãn: xyzzyx 3 333 =++ . Hãy tính giá trị của biểu thức sau: )1)(1)(1( y z z x x y M +++= Giải Biến đổi tơng biểu thức )1)(1)(1( y z z x x y M +++= ))()(( y zy z xz x yx M +++ = (4.1) Theo bài 3. Nếu xyzzyx 3 333 =++ . 0=++ zyx hoặc zyx == * Nếu 0=++ zyx khi đó 1 ))()(( = = xyz zyx M * Nếu x = y = z khi đó M = 8 Bài4. trong mặt phẳng toạ độ oxy tìm các điểm M(x;y) thoả mãn: xyyx 31 33 = Giải Từ. xyyx 31 33 = chúng ta đa về dạng hằng đẳng thức (*) xyyx 31 33 = 0)1)((3)1()( 333 =++ yxyx 0)1()( =++ yx hoặc 01 22 =++++ xyxyyx * Nếu x + (-y) +(-1) = 0 x y 1 = 0 y = x - 1 Vậy tập hợp các điểm đó năm trên đờng thẳng y = x 1 * Nếu 01 22 =++++ xyxyyx 0)1()1()( 222 =++++ xyyx x = -1 y = 1 Điểm M(-1;1) Bài6. trục căn thức của biểu thức 333 1 cba A ++ = Giải Đối với mẫu thức chúng ta xem nh x + y + z, để xuất hiện hằng đẳng thức (*). Ta phải nhân với đa thức zxyzxyzyx ++ 222 . Khi đó mẫu thức có dạng xyzzyx 3 333 ++ . Từ một hằng đẳng thức suy rộng GV: Phạm Văn Định/ Trờng THCS Nga Điền Vậy phải nhân 333 cba ++ với 333333 3 2 3 2 3 2 accbbacba ++ 333 333333333 3 cbacba accbbacba A ++ ++ = Nh vậy ta đã đa biểu thức về dạng: 3 kn m A + = Khi ở dạng trên thì chỉ cần nhân với biểu thức liên hợp quen thuộc là: 3 3 22 knkn + thì ta đã khủ mẫu hoàn chỉnh Nhận xét: tuy nhiên không phải bài toán nào cũng phải nhân hai lần liên hợp . nh bài toán sau chẳng hạn Bài 7. Trục căn thức sau: 162244 1 33 + =A Giải Biểu thức liên hợp: 33 3 3 3 23246488256441616 ++++ thì biểu thức có dạng 240 240470264 88.16.325616256 23246488256441616 33 3 33 3 3 3 ++ = ++ ++++ =A Bài 8. Giải và biện luận phơng trình 0 3 =++ cbxax với điều kiện 0 27 4 3 3 2 2 + a b a c Giải Từ phơng trình 0 3 =++ cbxax 0 3 =++ a c a bx x Ta biến đổi phơng trinh về dạng 0 3 3 3 = + a bx a c x 03 333 =++ dexedx áp dụng hẳng đẳng thức (*) thì phơng trình trên thành 0))(( 222 =++++ deexdxedxedx edx = (8.1) Với 33 ,ed là nghiệm của phơng trình sau: 0 27 3 3 2 = a b X a c X 3 3 2 2 27 .4 a b a c += Bài 9. Giải phơng trrình: a. 02954 3 =+ xx b. 0536 3 =+ xx Từ một hằng đẳng thức suy rộng GV: Ph¹m V¨n §Þnh/ Trêng THCS Nga §iÒn Tõ mét h»ng ®¼ng thøc suy réng . hằng đẳng thức trên không khó khăn lắm ta có thể tiến hành theo hai hơng sau: - Biến đổi VF = VT - Biến đổi VT = VF Tiến hành theo hai hơng khác nhau thị mức độ thuận lợi cũng khác nhau Từ hằng. 3 3 22 knkn + thì ta đã khủ mẫu hoàn chỉnh Nhận xét: tuy nhiên không phải bài toán nào cũng phải nhân hai lần liên hợp . nh bài toán sau chẳng hạn Bài 7. Trục căn thức sau: 162244 1 33 + =A Giải