Tuyển tập bộ đề thi vào lớp 10(hay)

Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.. 3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax AP > R thì trực tâm H của tam giácPAM chạy tren một cung tròn cố định.. 1, Chứng minh rằ

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

1 ( 2

1 )

1 ( 2

1

a

a a

B Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau

đó 1h thì đuổi kịp xe tải Tính quãng đường AB

Bài 3 (4đ):

Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M Trên đường kính ABlấy điểm O sao cho OA < OB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ cáctia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P;đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q Gọi D là giao điểm của OP và AM,

E là giao điểm của OQ và BM

1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

a a

a

a a

a

1

1 1 1

1, Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được

2, Chứng minh: Tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK

3, Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được Suy ra PQ // BC

4, Gọi (O1) là đường tròn đi qua M, P, K; (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H Gọi N

là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC Chứng minh rằng M, N,

D thẳng hàng

Bài 4 (1đ):

Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau:

0 1 )

2 (

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

; B =

2

2 2

1, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = – 1 và tìm nghiệm còn lại

2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị củam

3, Với giá trị nào của m thì x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 3 (4đ):

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C nằm trên đường tròn (Ckhác A và B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn(O) Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, P là giao điểm của AC và BM Tia BCcắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q

1, Chứng minh: Tam giác ABN cân

2, Tứ giác APNO là hình gì ? Tại sao ?

3, Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C Hỏi có thể xảy ra bađiểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ?

Bài 4 (1đ):

Giải phương trình:

) (

2

1 1996 1995

x       

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

2 2

3 9 3

a a

a

a a

1, Rút gọn P

2, Tìm a để P  1

3, Tìm các giá trị của a  N sao cho P  N

Bài 2 (2đ):

Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng, Nhưng do mỗi tuân trồng vượt mức 5 ha

so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần Hỏi mỗi tuần lâmtrường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?

Bài 3 (4đ):

Cho đoạn thẳng AB và điểm N nằm giữa A và B Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB vẽ các hình vuông AMCD và MBEF Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau ở N

1, Chứng minh: AF  BC Suy ra điểm N nằm trên hai đường ngoại tiếp các hìnhvuông AMCD và MBEF

2, Chứng minh: Ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc DE tại N

3, Cho A, B cố định, M di động trên đoạn AB Chứng minh đường thẳng MN luôn

đi qua điểm cố định

4, Tìm vị trí điểm M sao cho MN có độ dài lớn nhất

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

3 2

) 3 (

x x

x

x x

F Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC

1, Chứng minh ∆EBF và ∆DAF cân

2, Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB

3, Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?

4, Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp

ba lần diện tích tứ giác AIFK

Bài 4 (1đ):

Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức:

2  3x 7  4 32  3x  42  3

Trường Chu Văn An & Amsterdam

1 : 1 1

1

1

xy

x xy

x xy xy

x xy xy

1, Giải phương trình với m = – 1

2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị củatham số m

3, Tìm các giá trị của m để x1  x2  2

Bài 3 (4đ):

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy mộtđiểm P (AP > R) Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M

1, Tứ giác OBMP là hình gì ? Tại sao ?

2, Cho AP = R 3 Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn(O; R)

3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giácPAM chạy tren một cung tròn cố định

4, Dựng hình chữ nhật PACN Chứng minh B, M, N thẳng hàng

THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)

xy xy

x

xy y

x

y xy x

: 2

2 1

là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC Chứngminh rằng:

1, Độ dài dây BC không đổi

y y x

THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)

1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P

2, Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q =

Bài 3 (2đ):

Cho hàm số:

y = mx2 + 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l )

1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và

có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C)

2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m

Bài 4 (3đ):

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định Đường thẳng xy là tiếp tuyến vớiđường tròn tại B Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc vớiAB) Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy

1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn

2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của CD.Chứng minh: Tứ giác AOIK là hình bình hành

3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD Chúng minh H thuộc một đường tròn cố định

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

2 4

2, Giả sử tam giác ABC nhọn Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*)

3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ?

Bài 4 (1,5đ):

Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau

Biết rằng: T = 2E và các chữ cái khác nhau ứng với các chữ khác

nhau

Bài 5 (1,5đ):

Người ta kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con Gọi Sn là số miền contìm được từ n đường thẳng đó

2 2 2

c b a

c b a

Hãy tính giá trị của biểu thức:

P = 1 + a4 + b4 + c4

Bài 2 (2đ):

1, Giải phương trình:

8 2 7

2 9 1 1

xy xy

y x y x

1, Chứng minh rằng: Tứ giác M’E’N’F’ nội tiếp

2, Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh rằng đường trònngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi

3, Giả sử I thay đổi, Các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng vuông góc với nhau.Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M’E’N’F’có diện tích lớn nhất

Bài 5 (1,5đ):

Cho các số dương x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = 1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

1000 1

2

1000 1

1

1000 1

1000

1999 1

3

1999 1

2

1999 1

1

1999 1

2, Cho a là số tự nhiên đựoc viết thành 222 chữ số 9 Hãy tính tổng các chữ số của:

n – an + 1

Bài 2 (2đ):

1, Giải phương trình:

) 3 ( ) 2 ( ) 1 (x  x x  x x

x

2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

0 14

5

3 5 2 ) 2 3

n n x n x

Bài 3 (2đ):

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y, z > 0:

4 4 4 4 4 4 4 4 4

1 1 1 2

2 2

z y x x z

z z

y

y y x

Trên cùng mặt phẳng toạ độ xOy cho hai điẻm A(- 3; 0) và B(- 1; 0) Xét hai điểm

M và N thay đổi trên trục tung sao cho AM, BN luôn vuông góc với nhau

1, Chứng minh AN, BM vuông góc với nhau và tích OM ON không đổi khi M, Nbiến thiên Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua 2 điểm cố định Tìm toạ

độ hai điểm cố định này

2, Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trí M, N saocho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

x x x x

x x x

Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = x2

1, Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1

2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1điểm cố định và luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B

3, Tìm giá trị của tham số m để S∆ABC bằng 2 (đơn vị diện tích)

Bài 3 (4đ):

Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽcác tia Ax và By vuông góc với AB Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở Nsao cho luôn có AM BN = a2

1, Chứng minh ∆AOM đồng dạng với ∆BNO và góc MON = 90o

2, Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn tiếpxúc với một nửa đường tròn cố định tại H

3, Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên một tia cốđịnh

4, Tìm vị trí của đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AHB đạt giá trị lớn nhất.Tính giá trị lớn nhất đó theo a

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

: 3

2 2

3 6

5

2

x

x x

x x

x x

x x

2, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) nhận x = 5 2  6 là nghiệm

3, Gọi m1, m2 là hai nghiệm của phương trình (1) (ẩn m) Tìm x để m1, m2 là số đohai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 2  2

Bài 3 (4đ):

Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R2 ) tiếp xúc ngoài tại A Trên đường tròn(O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB Tia MA cắt đường tròn (O’)tại điểm thứ hai N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q vàcắt đường tròn (O’)

1, Chứng minh ∆OAM đồng dạng với ∆O’AN

2, Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M

3, Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?

4, Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị

đó theo R

Bài 4 (1đ):

Cho biểu thức:

A = – x2 – y2 + xy + 2x +2yTìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó

2 2 2

y x

y x xy

x

Bài 3 (3,5đ):

Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a Trên đoạn AB lấy điểm M Trong nửa mặtphẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn ta kẻ hai tia Mx, My sao cho góc AMx = góc Bmy = 30o.Tia Mx cắt nửa vòng tròn tại E, tia My cắt nửa vòng tròn tại F Kẻ EE’, FF’ vuông gócxuống AB

1, Cho AM = 2a Tính diện tích hình thang vuông EFE’F’ theo a

2, Khi M di động trên AB chứng minh EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định

3 3

x

y x z x z y x y x

Hãy tính giá trị biểu thức:

P = 1x1y1z

Bài 5 (1đ):

Với x, y, z là những số thực dương Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M = (xy)(y xyzz)(zx)

Đề thi chungN

a y ax

Đề thi chungN

m y x

3 7 3 2

2 2

2 (I) (m là tham số)

1, Giải hệ phương trình khi m = - 1

2, Tìms m để hệ (I) có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức:

S = x – y + 1 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3 (2 đ ):

Cho phương trình bậc hai ẩn x (a, b là tham số):

0 ) (

1, Chứng minh 5 điểm ; A, M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn

2, Tứ giác ABKN là hình gì ? vì sao ?

3, Xác định vị trí điểm A để tứ giác ABKN là hình bình hành

4, Trong trường hợp ABKN là hình bình hành hãy tính các góc của hình bình hành

đó và tính độ dài đoạn MN

Đề thi chuyên toán + toán tin

1 2

2 1 2

2 1

x x

2, Xét biểu thức:

2 2 2

2 2 1 1 2

2 1

1, Tam giác OCE là tam giác gì ? vì sao ?

2, Biết rằng BC = 3R2 , hãy tính độ dài đoạn DE và DA theo R

2 2

2 3

2 3

a a a

với a ≠  1 và a ≠ 21

1, Rút gọn biểu thức A

2, Tính giá trị của biểu thức A khi a =

2 2

3, Tìm các số nguyên a sao cho A nhận giá trị là số nguyên

4 3

2

m y

x

m y x

(*) (với m là tham số)

1, Giải hệ phương trình (*) khi m = 1

2, Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (*) có nghiệm

Bài 3 (2 đ ):

Cho phương trình:

0 1 2 ) 2 3

1, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai ?

2, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Bài 4 (4 đ ):

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của cạnh AD Trêncạnh BC lấy điểm E bất kì sao cho 0 < CE < 2a Qua M kẻ đường thẳng // với AE cắt cạnh

CD tại điểm F

1, Cmr: Tứ giác AMEF là hình thang nhưng không thể là hình thang cân

2, Cmr: ∆ABE đồng dạng với ∆FDM từ đó => hệ thức BE DF = AC4

3, Đặt CE = x Hãy tính chu vi ∆CEF theo a và x, nhận xét về kết quả vừa tìm được

Đề thi chuyên toán + toán tin

1, CMR 5 điểm A, E, M, D, F cùng nằm trên một đường tròn

2, Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆AEF

3, Đặt AD = x Hãy tính diện tích ∆AEF theo b, c và x Xác định vị trí điểm D đểdiện tích ∆AEF là nhỏ nhất

Đề thi chung N

y x y

x

y y x x y x

y x

b, Gọi x1, x2 là nghiệm của (1) Tìm m để biểu thức:

1, Tìm giá trị của a biết parabol đi qua điểm M( - 2; 1)

2, Với giá trị của a tìm được ở câu 1; tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúcvới parabol (P) tại điểm N Xác định toạ độ điểm N

3, Tính diện tích tam giác OMN (cho đơn vị độ dài trên Ox và Oy là như nhau)

Đề thi chungN

3 (

: ) 1

8 1

1 1

1 (

a a a

a a

a a

1, Chứng minh ∆EOC đồng dạng với ∆DOF và chứng minh tích OE OF không đổi

2, Cho I là trung điểm của EF Tính góc IMO

3, Dựng điểm M sao cho EF = R

Bài 5 (1 đ ):

Tìm các cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn:

y2 ( x + 1 ) = 1576 + x2

Đề thi chuyên toán + toán tin

2 2

y xy x

y xy x

4 4 3 3

y x y x

Bài 4 (3 đ ):

Cho tam giác ABC và một diểm M bất kỳ trong tam giác:

1, Các đường thẳng MA, MB, MC theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1,

C1 Chứng minh rằng: 1

1 1

1 1

MB A

MB G

3

1 1

1

GC GB

ă m 2006 – 2007

(150 phút)

2 2

3 3 3

a a

a

a a

Bài 3 (3,5 đ ):

Cho đưòng tròn (O) và dây AB, một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB

Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại

D Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I Các dây AB và QI cắt nhau tại K

1, Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp

2, Chứng minh hai tam giác CID và CPK đồng dạng

3, Chứng minh IC là tia phân giác ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB

4, Giả sử A, B, C cố định Chứng minh rằng đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn điqua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định

Đề thi chungN

2, Chứng minh: HB’ đi qua trung điểm của AC

3, Khi điểm B chạy trên đường tròn (O) (B ≠ A, C) Chứng minh: H luôn nằm trên 1đường tròn cố định

Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)

2, Cho a, b là các số hữu tỉ thoả mãn:

Trường THPT năng khiếu Trần Phú (Hải Phòng)

1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn

2, ∆BPR cân

3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB

Bài 5 (1đ):

Cho ∆ABC có BC < CA < AB Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho

DB = BC = CE Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đườngtròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE

Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM)

Năm học 2004 – 2005

(150 phút)

Bài 1:

Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình:

x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2

Trường THPT Chuyên Bà Rịa – Vũng Tàu

x x

( 1) ( 1)

2, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0

Bài 4:

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh

A Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC Đườngthẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N ≠ D); AN cắt BC tại M.Chứng minh:

1, ∆DKI đồng dạng với ∆BAM

2, BC AB AC

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)

1, Viết phương trình đường thẳng AB

2, Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho ∆MAB

Trường THPT Chuyên Thái BìnhMôn toán – toán tin năm 2005 – 2006

2, Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm

M(x; y) thoả mãn điều kiện:

2, Cho ba số x, y, z

Đặt a = x + y + z; b = xy + yz + zx; c = xyzChứng minh các phương trình sau đều có nghiệm:

t2 + 2at + 3b = 0; at2 – 2bt + 3c = 0

Bài 3 (3đ):

Cho ∆ABC

1, Gọi M là trung điểm của AC Biết BM = AC Gọi D là điểm đối xứng của B qua

A, E là điểm đối xứng của M qua C

Chứng minh: DM  BE

2, Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong ∆ABC Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC,

CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F Chứng minh: