Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho: ( ) ( ) A A A B B B A x ;y ;z ,B x ;y ;z và ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 a a ;a ;a ,b b ;b ;b= = r r . Khi đó: ( ) B A B A B A 1. AB x x ;y y ;z z = − − − uuur ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A 2. AB x x y y z z = − + − + − ( ) 1 1 2 2 3 3 3) a b a b ;a b ;a b± = ± ± ± r r ( ) 1 2 3 4. ka ;ka ;ka k.a = r 2 2 2 1 2 3 5. a a a a = + + r 1 1 2 2 3 3 6. b a b ;a b ;a b a = ⇔ = = = r r 1 1 2 2 3 3 7. .b a .b a .b a .b a = + + r r 31 2 1 2 3 aa a 8. / /b a k.b a,b 0 b b b a ⇔ = ⇔ = ⇔ = = r r r r r r r 1 1 2 2 3 3 9. b a.b 0 a .b a .b a .b 0 a ⊥ ⇔ = ⇔ + + = r r r r 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a 10. ,b ; ; b b b b b b a = ÷ r r 11) a,b,c r r r đồng phẳng m,n : a mb nc⇔ ∃ ∈ = + r r r ¡ hay a,b .c 0 = r r r 12)a,b,c r r r không đồng phẳng m,n : a mb nc⇔ ∃ ∈ = + r r r ¡ hay a,b .c 0 ≠ r r r 13. M chia đoạn AB theo tỉ số A B A B A B x kx y ky z kz k 1 MA kMB M ; ; 1 k 1 k 1 k − − − ≠ ⇔ = ⇒ ÷ − − − uuuur uuur . Đặc biệt: M là trung điểm AB: A B A B A B x x y y z z M ; ; 2 2 2 + + + ÷ . 14. G là trọng tâm tam giác ABC: A B C A B C A B C x x x y y y z z z G ; ; 3 3 3 + + + + + + ÷ 15. G là trọng tâm tứ diện ABCD: A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G ; ; 4 4 4 + + + + + + + + + ÷ 16. Véctơ đơn vị: i (1;0;0); j (0;1;0);k (0;0;1)= = = r r r 17. Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0) Ox;N(0;y;0) Oy;K(0;0;z) Oz∈ ∈ ∈ 18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: ( ) ( ) ( ) M(x;y;0) Oxy ;N(0;y;z) Oyz ;K(x;0;z) Oxz∈ ∈ ∈ . 19. Diện tích tam giác ABC: ABC 1 S AB,AC 2 ∆ = uuur uuur 20. Diện tích hình bình hành ABCD: ABCD S AB,AC = uuur uuur 21. Thể tích khối tứ diện ABCD: ABCD 1 V AB,AC .AD 6 = uuur uuur uuur 22. Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' : ABCD.A ' B'C 'D' V AB,AD .AA' = uuur uuur uuuur 2. CÁCDẠNG TOÁN Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác. • A,B,C là ba đỉnh tam giác AB,AC⇔ uuur uuur không cùng phương hay AB,AC 0 ≠ uuur uuur r . • ( ) G G G G x ; y ;z là trọng tâm tam giác ABC thì: A B C A B C A B C G G G x x x y y y z z z x ;y ;z 3 3 3 + + + + + + = = = LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 1 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa • ABC 1 S AB,AC 2 ∆ = uuur uuur . Suy ra diện tích của hình bình hành ABCD là: ABCD S AB,AC = uuur uuur • Đường cao: ABC 2.S AH BC ∆ = Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành • Chứng minh A, B, C không thẳng hàng • ABCD là hình bình hành AB DC⇔ = uuur uuur Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện: • AB;AC;AD uuur uuur uuur không đồng phẳng hay AB;AC .AD 0 ≠ uuur uuur uuur . • ( ) G G G G x ; y ;z là trọng tâm tứ diện ABCD thì: A B C D A B C D A B C D G G G x x x x y y y y z z z z x ;y ;z 4 4 4 + + + + + + + + + = = = • Thể tích khối tứ diện ABCD: ABCD 1 V AB;AC .AD 6 = uuur uuur uuur Đường cao AH của tứ diện ABCD: BCD BCD 1 3V V S .AH AH 3 S = ⇒ = • Thể tích hình hộp: ABCD.A 'B'C'D ' V AB;AD .AA' = uuur uuur uuuur . MẶT CẦU 1. TÓM TẮT LÝTHUYẾT 1. Ph ương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 S I;R : x a y b z c R 1− + − + − = Trong không gian Oxyz phương trình 2 2 2 x y z 2Ax 2By 2Cz D 0+ + + + + + = là phương trình mặt cầu khi: 2 2 2 A B C D 0+ + − > . Khi đó mặt cầu có: Tâm ( ) I A; B; C− − − . Bán kính 2 2 2 R A B C D= + + − . 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 S: x a y b z c R− + − + − = và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0α + + + = . Tính: ( ) 2 2 2 Aa Bb Cc D d d I; A B C + + + = α = + + . Khi đó, nếu: • d R> : mặt cầu (S) và mặt phẳng ( ) α không có điểm chung. • d R= : mặt phẳng ( ) α tiếp xúc mặt cầu (S) tại H. - Điểm H được gọi là tiếp điểm. - Mặt phẳng ( ) α được gọi là tiếp diện. • d R< : mặt phẳng ( ) α cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn. Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng ( ) α ) : Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α): ta có d u n α = uur uur . Tọa độ H là giao điểm của (d) và (α). Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng: LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 2 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α): ta có d u n α = uur uur . Tọa độ H là giao điểm của (d) và (α). Bán kính 2 2 r R d= − với ( ) d IH d I;= = α . 3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( ) 0 1 0 2 0 3 x x a t d : y y a t 1 z z a t = + = + = + và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 S: x a y b z c R 2− + − + − = Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t. Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm. 2. CÁCDẠNG TOÁN Vấn đề 1: Viết phương trình mặt cầu: Dạng 1: Biết trước tâm ( ) I a;b;c và bán kính R: Phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 S I;R : x a y b z c R− + − + − = Nếu mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì bán kính R IA= Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB • Tâm I là trung điểm AB. • Bán kính 1 R AB 2 = . • Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 S I;R : x a y b z c R− + − + − = Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng ( ) α : • Tâm I là trung điểm AB. • Bán kính ( ) 2 2 2 Aa Bb Cc D R d I; A B C + + + = α = + + . • Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 S I;R : x a y b z c R− + − + − = Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD • Giả sử mặt cầu (S) có dạng: ( ) 2 2 2 x y z 2ax 2by 2cz d 0 2+ + + + + + = . • Thế tọa độ của điểm A, B, C, D vào phương trình (2). • Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d. • Viết phương trình mặt cầu. Dạng 5: Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm ( ) I : Ax By Cz D 0∈ α + + + = : • Giả sử mặt cầu (S) có dạng: ( ) 2 2 2 x y z 2ax 2by 2cz d 0 2+ + + + + + = . • Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2). • ( ) ( ) I a;b;c Aa Bb Cc D 0∈ α ⇒ + + + = • Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d. • Viết phương trình mặt cầu. Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A. Tiếp diện ( α ) của mc(S) tại A: ( α ) qua A, vectơ pháp tuyến n IA= r uur PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. TÓM TẮT LÝTHUYẾT 1. Vectơ pháp tuyến của mp α : n 0≠ r r là véctơ pháp tuyến của ( ) ( ) nα ⇔ ⊥ α r . LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 3 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa 2. Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng ( ) α : hai vectơ không cùng phương a,b r r là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ) a,bα ⇔ r r có giá cùng song song với ( ) α . 3. Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến n r và cặp vectơ chỉ phương a,b r r : n a,b = r r r . 4. Phương trình mặt phẳng ( ) α qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z có vectơ pháp tuyến ( ) n A ; B ; C → = : 0 0 0 ( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0α − + − + − = Mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0α + + + = thì có vectơ pháp tuyến ( ) n A ; B ; C → = . 5. Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) ( ) A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c : x y z 1 a b c + + = Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến. 6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0. 7. Chùm mặt phẳng : Giả sử ( ) ( ) ' dα ∩ α = trong đó: ( ) : Ax By Cz D 0α + + + = và ( '): A'x B'y C'z D' 0α + + + = . Pt mp chứa (d) có dạng sau với ( ) ( ) 2 2 m n 0 : m Ax By Cz D n A'x B'y C'z D' 0+ ≠ + + + + + + + = . 8. Vị trí tương đối của hai mp ( ) α và ( ) 'α : ( ) ( ') A : B :C A': B': C'α ∩ α ⇔ ≠ ( ) ( ') AA' BB' CC' 0α ⊥ α ⇔ + + = A B C D ( ) ( ') A' B' C' D' α ≡ α ⇔ = = = A B C D ( ) / /( ') A' B' C' D' α α ⇔ = = ≠ 9. Khoảng cách từ ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z đến ( ) : Ax By Cz D 0α + + + = ( ) 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d M; A B C + + + α = + + 10.Góc gi ữa hai mặt phẳng : 1 2 1 2 n .n cos n . n α β = r r r r ( , ) 2. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C: • Cặp vectơ chỉ phương: AB,AC uuur uuur • Mặt phẳng ( ) α đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến n AB,AC = r uuur uuur . Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB: • M là trung điểm của đoạn thẳng AB. • Mặt phẳng ( ) α đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB= r uuur . Dạng 3: Mặt phẳng ( α ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB) • Mặt phẳng ( ) α đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB= r uuur hoặc vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Dạng 4: Mp α qua M và song song ( β ): Ax + By + Cz + D = 0 • Mặt phẳng ( ) α đi qua M và có vectơ pháp tuyến ( ) n n A;B;C α β = = uur uur Dạng 5: Mp( α ) chứa (d) và song song (d / ) • Lấy điểm ( ) ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z d∈ LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 4 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa • Xác định vectơ chỉ phương d d ' u ;u uur uur của đường thẳng ( ) d và đường thẳng ( ) d' . • Mặt phẳng ( ) α đi qua 0 M và có vectơ pháp tuyến d d ' n u ,u = r uur uur . Dạng 6 Mp( α ) qua M, N và vuông góc β : • Tính MN uuuur . • Tính n MN,n α β = uur uuuur uur • Mặt phẳng ( ) α đi qua M (hoặc N) và có vectơ pháp tuyến n α uur Dạng 7 Mp( α ) chứa (d) và đi qua M • Lấy điểm ( ) ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z d∈ • Tính 0 MM uuuuur . Xác định vectơ chỉ phương d u uur của đường thẳng ( ) d . • Tính 0 d n MM ,u α = uur uuuuur uur • Mặt phẳng ( ) α đi qua M (hoặc 0 M ) và có vectơ pháp tuyến n α uur . 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ n 0≠ r r được gọi là vectơ pháp tuyến của mp ( ) α nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mp ( ) α , viết tắt là ( ) n ⊥ α r . Nếu 1 1 1 2 2 2 u (x ;y ;z ), v (x ;y ;z ) → → = = là 2 vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên) mp ( ) α ( u,v r r còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp ( ) α ) thì: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 y z z x x y n u, v ; ; y z z x x y → → → = = ÷ là một VTPT của mp ( ) α . 2. Phương trình tổng quát: Ax By Cz D 0+ + + = với 2 2 2 A B C 0+ + ≠ Vectơ pháp tuyến: ( ) n A;B;C= r 3. mặt phẳng 0 0 0 0 0 0 0 qua M (x ;y ;z ) ( ) : mp( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 VTPT n (A ; B ; C) → α ⇒ α − + − + − = = 4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp ( ) α : Ax By Cz D 0+ + + = . Khi đó: * ( ) D 0= ⇔ α đi qua gốc tọa độ. * ( ) C 0;D 0= ≠ ⇔ α song song với trục Oz; ( ) C 0;D 0= = ⇔ α chứa trục Oz. * ( ) B C 0;D 0= = ≠ ⇔ α song song với mp(Oyz); ( ) B C D 0= = = ⇔ α chính là mp(Oyz) (Các trường hợp khác suy ra tương tự). 5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0α + + + = và ( ) ' : A'x B'y C'z D' 0α + + + = . A B C D ( ) / /( ') A' B' C' D' α α ⇔ = = ≠ ( ) ( ') AA' BB' CC' 0α ⊥ α ⇔ + + = A B C D ( ) ( ') A' B' C' D' α ≡ α ⇔ = = = A B B C C A ( ) ( ') hay hay A' B' B' C' C' A' α ∩ α ⇔ ≠ ≠ ≠ • Chú ý: Ta quy ước nếu một “phân số” nào đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0. 6. Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng. Mp ( ) α cắt Ox tại ( ) A a;0;0 , cắt Oy tại ( ) B 0;b;0 , cắt Oz tại ( ) C 0;0;c có phương trình là: LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 5 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa x y z 1, abc 0 a b c + + = ≠ 7. Góc của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0α + + + = và ( ) ' : A'x B'y C'z D' 0α + + + = Gọi ϕ là góc của hai mặt phẳng, ta có: 2 2 2 2 2 2 AA' BB' CC' cos A B C . A' B' C' + + ϕ = + + + + 8. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cho mp ( ) : Ax By Cz D 0α + + + = và điểm ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z . Khi đó: ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d M ; A B C + + + α = + + Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng: Bài Toán 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Đi Qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z Và Có Vectơ Pháp Tuyến ( ) n A;B;C 0= ≠ r r . • Phương trình mặt phẳng ( ) α là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = hay Ax By Cz D 0+ + + = với ( ) 0 0 0 D Ax By Cz= − + + . Bài Toán 2: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Đi Qua 3 Điểm A, B, C Không Thẳng Hàng. • Tính AB;AC AB,AC ⇒ uuur uuur uuur uuur . • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α là n k. AB,AC = r uuur uuur với k là số thực khác 0. • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) α . Bài Toán 3: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Đi Qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z Và Vuông Góc Với Đường Thẳng ( ) ∆ Cho Trước. • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α là vectơ chỉ phương của đường thẳng ( ) ∆ . • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) α . Bài Toán 4: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Đi Qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z Và Song Song Với Hai Đường Thẳng ( ) ( ) 1 2 ,∆ ∆ Chéo Nhau Cho Trước. • Tìm vectơ chỉ phương 1 u uur của đường thẳng ( ) 1 ∆ và vectơ chỉ phương 2 u uur của đường thẳng ( ) 2 ∆ . • Tính 1 2 u ,u uur uur . • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α là 1 2 n k. u ,u = r uur uur với k là số thực khác 0. • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) α . Bài Toán 5: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Đi Qua Đường Thẳng ( ) 1 ∆ Và Song Song Với Đường Thẳng ( ) 2 ∆ Cho Trước. • Tìm vectơ chỉ phương 1 u uur của đường thẳng ( ) 1 ∆ và 2 u uur của đường thẳng ( ) 2 ∆ . • Tính 1 2 u ,u uur uur . LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 6 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α là 1 2 n k. u ,u = r uur uur với k là số thực khác 0. • Chọn điểm ( ) ( ) 0 0 0 0 1 M x ; y ;z ∈ ∆ • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) α . Bài Toán 6: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Chứa Hai Đường Thẳng ( ) ( ) 1 2 ,∆ ∆ Song Song. • Chọn điểm ( ) ( ) 1 1 1 1 1 M x ;y ;z ∈ ∆ và ( ) ( ) 2 2 2 2 2 M x ;y ;z ∈ ∆ . • Tìm vectơ chỉ phương 1 u uur của đường thẳng ( ) 1 ∆ hoặc vectơ chỉ phương 2 u uur của đường thẳng ( ) 2 ∆ . • Tính 1 1 2 u ,M M uur uuuuuur hoặc 2 1 2 u ,M M uur uuuuuur . • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α là 1 1 2 n k. u ,M M = r uur uuuuuur hoặc 2 1 2 n k. u ,M M ;k 0 = ≠ r uur uuuuuur . • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) α . Bài Toán 7: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Đi Qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ;z Và Vuông Góc Với Hai Mặt Phẳng ( ) ( ) ,β γ Cho Trước. • Tìm vectơ pháp tuyến 1 n uur của mặt phẳng ( ) β và vectơ pháp tuyến 2 n uur của mặt phẳng ( ) γ . • Tính 1 2 n ,n uur uur . • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α là 1 2 n k. n ,n = r uur uur với k là số thực khác 0. • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) α . Bài Toán 8: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Chứa Hai Đường Thẳng ( ) ( ) 1 2 ,∆ ∆ Cắt Nhau. • Tìm vectơ chỉ phương 1 u uur của đường thẳng ( ) 1 ∆ và 2 u uur của đường thẳng ( ) 2 ∆ . • Tính 1 2 u ,u uur uur . • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α là 1 2 n k. u ,u = r uur uur với k là số thực khác 0. • Chọn điểm ( ) ( ) 0 0 0 0 1 M x ; y ;z ∈ ∆ hoặc ( ) ( ) 0 0 0 0 2 M x ; y ;z ∈ ∆ • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) α . Bài Toán 9: Viết Phương Trình Mặt Phẳng ( ) α Đi Qua Đường Thẳng ( ) 1 ∆ Và Vuông Góc Với Mặt Phẳng ( ) β Cho Trước. • Tìm vectơ chỉ phương 1 u uur của đường thẳng ( ) 1 ∆ và vectơ pháp tuyến 1 n uur của mặt phẳng ( ) β . • Tính 1 1 u ,n uur uur . • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α là 1 1 n k. u ,n = r uur uur với k là số thực khác 0. • Chọn điểm ( ) ( ) 0 0 0 0 1 M x ; y ;z ∈ ∆ . • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) α . Dạng4: Hình chiếu của điểm M 1. H là hình chiếu của M trên mp α Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (α): ta có d a n α = uur r Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và (α) LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 7 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa 2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d) Viết phương trình mpα qua M và vuông góc với (d): ta có d n a α = r uur Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và (α) Dạng 5: Điểm đối xứng 1.Điểm M / đối xứng với M qua mp α Tìm hình chiếu H của M trên mp (α) (dạng 4.1) H là trung điểm của MM / 2.Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d: Tìm hình chiếu H của M trên (d) (dạng 4.2) H là trung điểm của MM / . ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc. Đường thẳng d đi qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương ( ) u a;b;c → = có : - Phương trình tham số của d: o 0 0 x x at y y bt (t R) z z ct = + = + ∈ = + - Phương trình chính tắc của d: 0 0 0 x x y y z z (abc 0) a b c − − − = = ≠ 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Đường thẳng d đi qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương ( ) u a;b;c → = và đường thẳng d' đi qua ( ) 0 0 0 0 M x' ;y' ;z' và có vectơ chỉ phương ( ) u ' a';b';c' → = . Khi đó: + d và d' cùng nằm trong một mặt phẳng ' 0 0 [u, u '].M M 0 → → ⇔ = uuuuuur . + d và d' cắt nhau ' 0 0 [u,u'].M M 0 [u,u'] 0 → → → → → ⇔ = ∧ ≠ uuuuuur . + ' 0 0 d / /d' [u, u'] 0 [u,M M ] 0 → → → → → ⇔ = ∧ ≠ uuuuuuur . + ' 0 0 d d' [u, u '] [u, M M ] 0 → → → → ≡ ⇔ = = uuuuuur + d và d’ chéo nhau ' 0 0 [u, u '].M M 0 → → ⇔ ≠ uuuuuur 3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng. Đường thẳng d đi qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương ( ) u a;b;c → = và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0α + + + = có vectơ pháp tuyến ( ) n A;B;C= r . Khi đó: + d cắt ( ) Aa Bb Cc 0α ⇔ + + ≠ + 0 0 0 Aa Bb Cc 0 d / /( ) Ax By Cz D 0 + + = α ⇔ + + + ≠ + 0 0 0 Aa Bb Cc 0 d ( ) Ax By Cz D 0 + + = ⊂ α ⇔ + + + = LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 8 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa + d ( ) u / /n u,n 0 → ⊥ α ⇔ ⇔ = r r r r 4. Góc giữa hai đường thẳng. Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( ) u a;b;c → = và đường thẳng d' có vectơ chỉ phương ( ) u ' a';b';c' → = . Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng đó ta có: 0 2 2 2 2 2 2 u. u' a.a' bb' cc' cos (0 90 ) a b c . a' b' c' u u ' → → → → + + ϕ = = ≤ ϕ ≤ + + + + 5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng. Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( ) u a;b;c → = và mặt phẳng ( ) α có vectơ pháp tuyến ( ) n A;B;C= r . Gọi ϕ là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng ( ) α ta có: 2 2 2 2 2 2 u.n Aa Bb Cc sin A B C . a b c u . n → → → → + + ϕ = = + + + + 6. Khoảng cách từ điểm ( ) 1 1 1 1 M x ;y ;z đến đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u → : + Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua M 1 và vuông góc với ∆ . - Tìm tọa độ giao điểm H của ∆ và mặt phẳng ( ) α . - ( ) 1 1 d M ; M H∆ = . + Cách 2: Sử dụng công thức: ( ) 1 0 1 M M ,u d M ; u ∆ = uuuuuur r r 7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆ đi qua ( ) 0 0 0 0 M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương u → và đường thẳng '∆ đi qua ( ) 0 0 0 0 M' x' ;y' ; z' và có vectơ chỉ phương u' → . + Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa ∆ và song song với '∆ . - Tính khoảng cách từ 0 M' mặt phẳng ( ) α . - 0 d( , ') d(M' ,( ))∆ ∆ = α . + Cách 2: Sử dụng công thức: ' 0 0 u,u' .M M d( , ') u,u' ∆ ∆ = uuuuuur r ur r ur . 2.CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phương u → : • Sử dụng công thức phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc. • Đường thẳng d đi qua A và B có vectơ chỉ phương u AB= r uuur . LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 9 Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa • Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương. • Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( ∆ ) Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u u ∆ = r uur . Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp( α ) Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u n α = r uur . Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên α : Cách 1: • Viết phương trình mặt phẳng ( ) β chứa (d) và vuông góc với ( ) α . • Đường thẳng d' là giao tuyến của ( ) α và ( ) β . Cách 2: • Xác định A là giao điểm của d và ( ) α . • Lấy điểm M, M A≠ trên d. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M vuông góc với ( ) α . • Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của ∆ với ( ) α . • Đường thẳng d' chính là đường thẳng AH. Đặc biệt: Nếu d song song ( ) α thì đường thẳng d' là đường thẳng đi qua H và song song d. Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ): Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương 1 2 d d u u ,u = r uur uuur Dạng 6: phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 d và ( ) 2 d : • Chuyển phương trình đường thẳng ( ) ( ) 1 2 d , d về dạng tham số và xác định 1 2 u ,u uur uur lần lượt là vectơ chỉ phương của ( ) ( ) 1 2 d , d . • Lấy A, B lần lượt thuộc ( ) ( ) 1 2 d , d (tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số). • Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó: ( ) 1 2 AB.u 0 * AB.u 0 = = uuur uur uuur uur . Giải hệ phương trình ( ) * tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A, B. • Viết phương trình đường vuông góc chung. Dạng 7: PT qua A và d cắt d 1 ,d 2 : d = ( α ) ∩ ( β ) với mp(α) = (A,d 1 ) ; mp(β) = (A,d 2 ) Dạng 8: PT d // ∆ và cắt d 1 ,d 2 : d = ( α 1 ) ∩ ( α 2 ) với mp (α 1 ) chứa d 1 // ∆ ; mp (α 2 ) chứa d 2 // ∆ Dạng 9: PT d qua A và ⊥ d 1 , cắt d 2 : d = AB với mp (α) qua A, ⊥ d 1 ; B = d 2 ∩ (α) Dạng 10: PT d ⊥ (P) cắt d 1 , d 2 : d = ( α ) ∩ ( β ) với mp(α) chứa d 1 ,⊥(P) ; mp(β) chứa d 2 , ⊥ (P). LyThuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 10 . + + = và ( ) ' : A'x B'y C'z D' 0α + + + = . A B C D ( ) / /( ') A' B' C' D' α α ⇔ = = ≠ ( ) ( ') AA' BB' CC' 0α ⊥ α ⇔. CC' 0α ⊥ α ⇔ + + = A B C D ( ) ( ') A' B' C' D' α ≡ α ⇔ = = = A B B C C A ( ) ( ') hay hay A' B' B' C' C' A' α ∩ α ⇔ ≠ ≠ ≠ • Chú ý: Ta. B'y C'z D' 0+ ≠ + + + + + + + = . 8. Vị trí tương đối của hai mp ( ) α và ( ) 'α : ( ) ( ') A : B :C A': B': C'α ∩ α ⇔ ≠ ( ) ( ') AA' BB'