Đề Ôn tập Đại số tuyến tính Đề 1

Tính giá trị cực tiểu:... Sử dụng phương pháp phân tích phân số: o_ Giải hệ phương trình để tìm A, B, và C.. Phân tích mẫu số: o#22z+1 không thể phân tích thành nhân tử thực... Kiểm tr

Đê 1

Câu 1 Tìm cực trị hàm số :

f (X) =xXvV1- x?

Câu 2 Tính giới han :

77

lim —_2—

x>0 sin(sin~ x)

Câu 3 Tính tích phần suy rộng sau nếu nó hội tụ:

h (x+1)(x° +x4+1)

Câu 4 Tính thể tích vật thể khi quay miền D giới hạn bởi

l

y=—-,y=x,x=3

X

quanh trục Ox

Câu 5 Giải phương trình vi phần sau:

(x*—2)y+2xy“ =0

b/

Câu 6 Giải phương trình vi phân cấp 2 sau:

y"+ y=3e* —x°

¡ Tìm đạo hàm bậc nhất:

f'(z) = 22 -— 1

2 Giải phương trình ƒ“(z:) — Ú để tìm điểm cực trị:

22 —1L=US 24>

3 Xác định loại cực trị bằng đạo hàm bậc hai:

f(x) = 2 > 0 > Ham s6 dat cực tiêu tại z — -

4 Tính giá trị cực tiểu:

CÂU 2

_ cos (3 — cosa)

z0 sin(sinẾz)

1 Sử dụng các phép biến đổi lượng giác:

0 cos (2 — cosa) = mm x)

© Khiz > 0,cost ~1— 4 -vasinag © 2

2 Thay cac gia tri gan dung vao ae han:

inÍCOS #

z0 sin(sin z) z0 — sin(zx)

3 Sử dụng khai triển Taylor cho sin:

o sin (1 — = = sin 1 — = cos 1

o sin(z*) = 2”

4 Tinh gidi han:

Khi + —> 0, ae -> L009 va 4 là hằng số

O Do đó, giới hạn này tiến tới -+-œo

CÂU 3

[ " dự

ạ (œ+l)(?+z+l)

1 Phân tích mẫu số:

© a” + œ + 1 không thể phân tích thành nhân tử thực

2 Sử dụng phương pháp phân tích phân số:

o_ Giải hệ phương trình để tìm A, B, và C

1 Phân tích mẫu số:

o#22z+1 không thể phân tích thành nhân tử thực

2 Sử dụng phương pháp phân tích phân số:

Br+C

#2+z+1

©_ Giải hệ phương trình để tìm 4, B, và Œ

3 Tính tích phân từng phần:

©_ Tích phân từ 0 đến +-oo của từng phần

4 Kiểm tra sự hội tụ:

s_ Đánh giá sự hội tụ của tích phân tại các giới han

CÂU 4

Giải:

Để tính thể tích vật thể khi quay miền D quanh trục Ox, ta sử dụng phương pháp đĩa (Disk Method) Thé tich được tính bằng công thức:

Va [ [f(e)?- gle) ae

Trong đó:

e f(x) = x (dudng trén)

¢ g(x) = ‡ (đường dưới|

©a và Ö là các giới hạn của z:

Đầu tiên, ta tìm giao điểm của — # và 1/ — 1:

1

#=_— => 2?=1 => z=1 (¢>0)

zc

Vậy, miền D được giới hạn từ z — 1 đến z = 3

Thể tích cần tính là:

Tính tích phân:

2 17° a7 1) (1 11

V=en|—+-] = —=†+z|-|s+1|]=z|9+ 1|=xx8=8

fi 7], (G i (; )) “( a8 ) Mường

Kết quả: — 8m

a) (£°— 9) + 2z? = 0

Giải:

Phương trình có thể viết lại dưới dạng:

(2? - at = -2ay?

Chia cé hai v cho (a” — 2)y”s

yde z?—3

Tích phân hai vế:

x z2—9

Tính tích phân:

1 2

—===~ln|#ˆ^—2|+Œ

Ụ

Giải cho y:

-=Inl£°~3|+Ø > y= ———

y eal ỹ In|z?—2|+Œ

Két qua: y = Toga

b) ay! = g — œe/?

Giải:

Phương trình có thể viết lại dưới dạng:

ay —y = -ae!/*

Chia cả hai vế cho #:

Thay vào phương trình:

Z+82—z=-! — tử =

Tách biến và tích phân:

[z: j;e = -e”=-ln|z|+Œ

Giải cho 2:

e”=ln|z|+Œ —> -z= ln{n |z|+) —> z= - ln(In lz| + C) Thay iz = Š:

; = =In(In|2| +0) — = -hillnlz| + €) Kết quả: ý = —z ln(ln |x| + C)

Phương trình: J/' + y = 3£Ÿ - x"

Giải:

Phương trình này là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất Ta giải bảng phương pháp hệ số bất định

1, Giai phương trình thuần nhất:

II

y ty=0

Phương trình đặc trưng;

r+1= —= r=‡i

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

1ụ — Ccosa + Cysine

2, Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:

Phương trình có vế phải là $e” — ata giả sử nghiệm riêng có dạng:

yp = Ae’ + Br’ +Cx+D

Tinh dao ham:

y, = Ae” + 2Ba+C

t = Ae’ +2B

Thay vào phương trình:

Ae? +2B + Ae + Bà + Ca + D = 8€

Đồng nhất hệ số:

ĐÁ” + Ba? + Ơa + (9B + D) — 3e — +?

Ta có hệ phương trình:

2A=3 B=-1 c=0

Giải hệ:

Vậy nghiệm riêng:

3 Nghiệm tổng quát của phương trình:

3

Y= Uh + Up = Cr cosa + Cosine +5

—a? +2

Két qua: y — C)cosz + Cysina + 3