Đại số tuyến tính bài tập giải chi tiết giá trị riêng và vecto riêng (1)

Đại số tuyến tính bài tập giải chi tiết giá trị riêng và vecto riêng (1)Đại số tuyến tính bài tập giải chi tiết giá trị riêng và vecto riêng (1)Đại số tuyến tính bài tập giải chi tiết giá trị riêng và vecto riêng (1)Đại số tuyến tính bài tập giải chi tiết giá trị riêng và vecto riêng (1)Đại số tuyến tính bài tập giải chi tiết giá trị riêng và vecto riêng (1)

BAI TAP GIA TRI RIENG VA VECTO RIENG

1,Cho ma trận A [2 " Đặt z=det(A).Tính ‡z

1+2i 3+2i

GIAI

Det (A) = -5+5i= 52/2 (cos3/4i sin 3/4),

35 =2= 250 cos24+k27 +isin 241 k2 L =) 7 4

2,Cho hai ma trận A=|-I 2 1| vàB=| 1! -2 5

Tìm ma trận X thỏa 2+AX = BÌ

GIẢI

X=A'(!-2),A'='4 1 -1/ SuyraX=/-19 -5 8 |

X, +X, —X, —2X, =0 2x, +x, —3x, —5x, =0

3,Giai hé phuong trinh

3x, +X, —5x, —8x, =0

Sx, + 3x, —7x, —12x, =0

GIAI

Đưa về bậc thang,giải ra được nghiệm tông quát (2œ + 3B,—ơœ.— BoB)

4) Trong 3` ,cho tích vô hướng

(x,y)=((XI.Xa,X:).(Y1.Y2.Y3))E 3XIYyt†2XIYz†2X:y¡†S5X2Yy2†X:ÿV

Tìm d6 dai cua vecto u=(1,2,-1)

GIAI

Do dai vecto ful E @/(u.u) = f3 +4+4+20+ 14/32

5) Cho anh xa tuyén tinh f: R? > R° ,biét

f(1,1,1)=(-6,-3,-3), fC, 1,0)=(6,5,2),fC1,0, 1 )=(6,2,5)

Tìm tất cả các veto riêng của f ứng với trị riêng 2, =3

GIẢI

Cé nhieu cach lam.Tim f(1,0,0) =(18,10,10),£(0,1,0)=(-12,-5,-8),£(0,0,1)=(-12,-8,-5)

18 -12 -12)

suy ra ma tran cua f trong chinh tac la A=|10 -5 -8 |

"

Ủng vơi vecto riêng của fứng với trị riêng 2, =3 ,giai hệ (A-3I)X=0,ta có nghiệm

X=(4œ.5œ-B.B)! các veto riêng của fứng với trị riêng 4 =3là X= (4œ,5œ-B.B)

6) Cho ánh xạ tuyến tinh f: R? > R’, biết

f(x) = £(X1,X2,X3)=(2X1+X2-3X3,X1+2X2+X3,X1-2X3)

Tìm ma tran cua f trong co so E={(1,1,1);(1,1,0);(1,0,0)}

GIAI

f(1,1,1)=(0,4,1),suy ra [£(1.1,1)}Je=(-1.5.-4)':

f(1.1,0)=@.3.1).suy ra [f(1.1.0)]e=(1.2.0)”:

(~1 1 1)

f(1.0.0)=(.2.1).suy ra [f(1.0.0)]z=(1.0.1)7.Ma trận cân tìm A-| = 2 0:

(40 1]

7) Đưa dạng toàn phương f(X),X2)=5x? —4x,x, +8x? về dạng chính tắc

bằng phép biến đôi TRỰC GIAO Nêu rõ phép đồi biến

GIẢI

Ma trận cua dạng toản phuong : A= 1 - Chẻo hóa trực giao A=PDP! trong đó

pl? 0) p= j5 5

io 4)" [2 1 |

Dang chính tắc cân tìm : f(v:,y2)=9x) +4y? Phép đôi biến X=PY

8) Cho ma trận vuông thực A cấp 3 ,Xị,X¿.X: € R, la 3 vecto cột ,độc

lập tuyến tinh Biét A.X;=X>,A.X.=X3,A.X3=X).Tim tat cả trị riêng

va vecto riêng của A?

GIẢI

Ta c6 A3(X1)= A( AC AN1)) = A( AX2)= AX: = Ni Suvra Nila vecto riémg cua A2 ứng

Với trị riêng của 2¡ = 1

Tương tự 2 vecto X2 X3 đêu lả vecto riêng của AŸ ứng với trị riêng 2l1=1._

ViX:.: X: độc lấp tuyến tính nên Bội hình học của 2.1 băng 3 Suy ra A: chi có mot tri riéng

va A3=I1.

T7422 MAAR MAN Ain anise

1 -l 0 Bai 1: Tim trị riêng va vector riéng cua: A=|—-l1 2 -l

0 —l 1

Bai 2: Tim gia tri riéng, vector riéng cua ma tran A: 5 ‘

1 2 Bai 3: Tim gia tri riéng, vector riéng cua ma tran : 1 , xem A là ma trận phức

1 -l -l Bai 4 a Tim da thc dang dac trung cuamatran: A=} 1 3 1

3 1 -l

b Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A kha nghich va chi ra biểu thức xác định 4"

c Tính dct(A — 20081, )

d Tìm giá trị riêng, vector riêng của A

1 2 1 Vidu Xétmatran A=/6 -1 0

mm -l

7 2

Bài toán 5: Cho ma tran A = 4 1\"

a) Xác định đa thức đặc trung cua A

b) Xác định các giá trị riêng À của A

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng # (A,)

d) Xác định một cơ sở 9 của IR” gồm các vectơ riêng của A

Bài toán 6: Chứng minh các tính chất đối với giá trị riêng và vector riêng:

I) Cho 4 la gia tri riéng cha AEM, (K), aE K va k EN Ching minh răng

a) QA la gia tri riêng của ma tran @A

b) A* la gid tri riéng cua ma tran A*

c) Ä+ø là giá trị riêng của ma trận 4+ øÏ

d) f(A) la gia tri riêng của ma trận đa thức ƒ(44)

Bài toán 7: Cho  là giá trị riêng của 4e M,(K) Chứng minh rằng

a) Nếu 44 khả nghịch thì A”! la gid trị riêng của ma trận 4ˆ”

b) Nếu 44 khả nghịch thì Â + Â ` là giá trị riêng của ma trận 4+ 4ˆ"

,

Bài taán Ñ- (Cha 4 14 ma tran wndAnoa can n tréan K wa 13 2 4- TÀ náa ơiá trì riêng ca nà Chirno minh

rang

Ä 11À41111 œx.w vw wat v wat AXAAWOE BAVA BLY BLBNY WH LBE Vw itvt 1*»t MS Wty LALA +

Khóa TOÁN CAO CÁP 2015 www.moon.vn

a) det(@A) =a" AA,:::4,

b) det 4“ = ANAS AK

c) det(4+ ø!) = (4+ ø)(&4 +ø) :(Ä„+ø)

d) det /(4)= /(1)/)-::/(4,):

Bài toán 10: Cho 44 là ma trận vuông cấp 7 trên K và 4,,4,, ,4„ là các giá trị riêng của nó Chứng

minh rằng

a) Nếu 44 khả nghịch thì det 4” = Âj Ì4;` :Â,

b) Néu A kha nghich thi det(A+ 4')=(4,+4,')(A,4+4')-(A, +47)

c) Nếu œe K không là giá trị riêng của A thi ma tran A—a@/ kha nghich va det(A—a@/)' =|] mm

i=l 74 ——” a

Bai toan 11: Chéo hóa ma trận sau:

0 1 1 A=ll 01

1 1 0 Bai toan 12: Cho ma tran A trén truong sé thuc R như sau

a) Tinh det A

b) Tinh det(A—a@l,) voi aER

c) Tinh det f(A) biét rang f(x) =x" +x? -1

2 0 0 Bài toán 13: Cho ma trận A=|0 3 O

0 1 2 a) Chéo hóa A

2.0 0 a,,(m) a (n) a,,(n b)Đặt|0O 3 0| =la,(m) a,,(n) a,,(n

0 1 2 a (w) a,,(n) a,,(n

Tính lim aa) va S=S°S a,(n)

Bài toán 14: Cho 7 là toán tử tuyến tính trên ïÌ xác định bởi

T(%x,,x¿,x;) = (2x, + 4x, +3x,,—4x, — 6x, —3x,,3xị +3x, + x,)

cA Hãy xác định cZ- ~!“ +2 -?^-~=-` sate 8 mes een: TO

Tham gia trọn vẹn khóa TOÁN CAO CÁP để đạt kết quả cao nhất!

Khéa TOAN CAO CAP 2015 www.moon.vn

Z:IRÌ —RỶ sao cho:

S(u,) = (4, 2, 2); f(u,) = (4, a, 1); f(u;) = (1, 0, 0)

a) Hãy tìm công thức của ƒ, tức là tìm ƒ(%,,x;,x;)

b) Tìm một cơ sở của lRỶ đề ma trận của ƒ trong cơ sở này là ma trận chéo

Bài toán 16: Hãy tìm dạng chính tắc của các Â4— ma trận sau:

oN;

_ 2 tinh

Bài toán 17: Hãy tìm dang Jordan ctia cdc ma tran sau (bang cach dua A—AJ vé dang chinh tac và suy ra

ma trận J déng dang voi A)

-1 -4 0

BAI GIAI

Cau 1:

Vimdi hang déu cé sé 0 nên với x= (1,1,1) thìta có áx=0

Đề tim 2, 2 như sau :

Từ đó suy ra được

Câu 2:

Bước l1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận Ä:

Giai phương trình đặc trưng, ta có: 2¡ =1; =2

Bước 2: Tìm các Vecfor riêng:

1 Ta tìm các vector riêng ứng với giá trị riêng 4; =Ì

Ứng với giá trị riêng 2¡ =l ta có vector riêng ¡4 = (x;v) là nghiệm cua hệ phương trình

(.4-7]:¿=0© 2 => 2x=3y

| —2x+3y =0

Vay vector riéng tmg voi gid tririéng A, =1 co dang uw =(3a;2a)=(3:2)a;a0

2 Ta tim cac vector riéng tng voi gia tririéng /, =2

Ủng với giả trị riêng 4a =2 ta có vector riêng t; = Íx; vị] la nghiệm cua hệ phương trình:

'—-3x+3v =0

`

Vậy vector riêng ứng với giá trị riêng 2; =2 có đạng 4 = (ö;b) = (1;1)b;b # 0

Câu 3:

Bước 1: Ta lap phwong trinh dic trung cua ma tran A:

_|=(1-4)(1-4)+4=0S-4° =3 (1)

Phương trình (1) vô nghiệm thực Tuy nhiên do À là ma trận phức nên ta tìm GTR phức của ma trận Giai phương trinh đặc trưng, ta có: ¡ =l+2¡;2 =1—2¡

Bước 2: Tìm các vector riêng

1 Ta tìm các vector riêng ứng với giá trịiriêng A, =1+2i

Ứng với giá trị riêng 2 =l+2¡ ta có vector riêng ¡4 = (x;y):x, y €C là nghiệm của hệ phương trình:

Vay vector riéng ung voi gia tririéng 4, =1+2i co dang + = (a;i4] = (1:¡) a:a # 0

2 Ta tim cac vector riéng ứng voi gia tri riéng 4, =1—2i

Ứng với giả trị riêng 2a =l—2i ta có vector riêng ø; = (x; yÌ:x, y eC là nghiệm cua hệ phương trình:

”~> -2x+2y =0

Vậy vector riêng ứng với giá trị riêng 2; =l—2¡ có dạng wu, =(ib; 5) =(i;1)b;b # 0

Câu 4:

a Tương tự như các ví dụ trên, ta de đảng tìm được đa thức đặc trumg cua ma tran A:

P(2)= 2` ~3^ 42 +12

b Theo tính chất 4 ta có: (44) = 4Ì — 3⁄4) —4.4+127; =0

=4) +34” +4A=121, > A(A’ +3444) =121,

Đặt B ah fp +34+4)

Taco: AB=B.A=l;

Do 46: A kha nghich va 47° =—4? +3.4+4

c Taco:

P(7.) =det(A —AI,) nen :

det(A—20081 ) = P(2008) = 2006.2010.2005

d Từ đa thức đặc trưng ta tim duoc cac gia tri riéng : A, =—2;/4, = 2:2; = 3

Khi do vector riéng ng voi gid tri riéng 4, =—2 có dang: wu =(1:—-L4)a,a=0

Vector riêng ứng với giả trị riêng 2; =2 có đạng: uw, =(-1; 0:1)b.b =0

Vector riêng ứng với giả trị riêng 2; =3 có đạng: ø; =Í -1;1;1)c,c £ 0

Câu 5:

Trước hết ta tìm giá trị riêng của 4 Chúng là nghiệm của đa thức đặc trưng, đet(.4— 27,„) = 0

1-A 2 1

Suyra} 6 -l-A 0 |=0

¬ —2 -l-A

Nếu ta khai triên định thức nay theo cột thứ ba, ta được

6 -l-A

-1| -2

Sử dụng biển đôi đại số, ta có

—2(2+4)(2—3)=0

dân đến các giả trị riêng của 4 lả 0, -4, và 3

=0

+(-1-2) 6

Tiếp theo ta tìm các vectơ riêng

1 Trường hợp 24 =0: Vectơ riêng tương ứng được cho bơi hệ phương trinh tuyên tính

.4X =0_ điêu nảy có thê được viết lại bơi

“

| x+2y+z=0

| 6x-—y=0

| sỹ sen

Có nhiêu cách đề giai hệ phương trình nảy Phương trình thứ ba la đông nhất với phương trình đầu Vì vậy,

từ phương trình thử hai, ta có y = 6x, phương trmh dau đản đên 13x + z= 0 Nên hệ nảy tương đương với

~

| y=6x

lz =-13x

Do đó vectơ XY duoc cho boi X=| #|=| 6x =x 6

Lz} \—13x } \-13)

Vivây, bất kì giá trị riêng X của 4 tương ứng với giá trị riêng 0 được cho bởi

(#\

A= c

\-13)

trong đỏ c lả một số tủy ý

2_ Trường hợp £ =—4: Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ

AX =-4X or (4+4/,)X =0

điều này có thê được viết lại

£ Ấx+2y+z =0

4 6x+3v=0

Trong trường hợp nảy, ta sử dụng phương pháp khử đề giai Tước hết ta xét ma tran bo sung[A+41 ; |0] đó là

(š 2 1/0)

.6 3 0/0)

(=k =Ã 3 0)

Ta sử dụng phép biến đöi trên đòng đề nhận được ma trận chéo Chuyên đôi các đòng cho nhau ta được

1 -2 3|0Ì

15 2 1/0]

(6 3 lo)

Tiếp, ta lầy dòng đâu nhần với Š cộng vào dòng thứ hai, nhân với 6 rôi cộng vào dòng ba Thu được

(1 -2 3|0)

0 -8 16/0)

(0 -9 18}0)

Néu gian ước dong thứ hai cho 8, dòng thứ ba cho 9, ta được

(1 -2 3|0\

¡0 -1 2/0)

(0 -1 2/0)

Cudi cing, trix dong thir hai cho dong thi ba

(-1 -2 3]0)

/O0 -1 2/0

(0 0 0/0)

Tiếp, ta đặt z = c Từ dòng thử hai, nhận được y = 2z = 2c dong đâu nhạn được x = -2v+3z = -c Do vậy

(x) {=e} (=ñ

X= y|=| 2c |=€| 2 |

(zJ le} (1)

Vithé, bat ki vecto riéng X cua 4 tương ứng với giá trị riêng -‡ được cho bởi

&

X =c| 2 |

(17

trong đó c là một só bất kì

3 Trường hợp 2 =3: Giai chỉ tiết đảnh cho bạn đọc Sử dụng mồ ta tương tự trên, một vectơ riêng X of .4 tương ứng với 3 được cho bai

“2 *

A-=¢

}

trong 6 cla mét so bat kì

Nhén xét Tông quất, giả trị riêng cua ma trận lả tất ca các nghiệm phần biệt của phương trinh đặc trưng

'

3 ho

Cau 6:

a) Đa thức đặc trưng P,(t) của 41a P,(t)=t° —tr(A)t+det A=r —8r+15

b) Các giá trị riêng 2, của 4 1a cdc nghiém cua phương trình đặc trưng ƒ,(?)=0 Phương trình đặc trưng ƒ,(f)=Ô có các nghiệm 3,Š Vậy 24 =3 và 2.; = Š là các giả trị riêng của ma trận 4

c) Với 2¿ =3 Các véc tơ riêng của ma trận 4 ứng với giá trị riêng 2¡ =3 là các nghiệm không tâm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

oe nee Ee L1 - “1; = = Ct =<

Vay không gian véc tơ riéng E,(3) cua 4 tmg voi gid tririéng 2, =3 la

E,,(3) = {(a,-2a)| ae R} = {a(1.-2)| ae R}= ((1.-2)}

Vay dimE,(3)=1 va {(1,-2)} la mot co sé cua E, (3)

* Với 2.,=5 Các véc tơ riêng của ma trận 4 ứng với giá trị riêng 2., = Š là các nghiệm không tâm

thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

{ 2x,+2x,=0 =

|-4x, —4x; =0 = 1, =-a

Vay khong gian véc to riéng E,(5) cua 4 ửng với giả trị riêng 2.; = Š lả

E,(5) = {(a.-a) | ae R} = {a(l.-1)| ae R}={(1.-D}

Vay dim£, (5) =1 va {(1,-1)} la mot co so cua E, (5)

d) Dat S = {(1,-2).(1.-1)} gém các véc tơ riêng của 4 déc lập tuyến tính trong #° Do đó Š là một

“

>? - — *”

CƠ SƠ Cua —:©~

Câu 7:

a) Do 4 là giả trị riêng của 4€M (K) nên ton tai ve K"sao cho Av= 2y

(z.4)v= (4v) = oAv=(cA)v

Vậy œ2 là giả trị riêng cua ma tran GA

b) Taco 4Wv=4”” ( Av) =/ (Av) = 2.4 7'(v= =2Ÿv

Vậy 2` là giá trị riêng của ma trận 4”

c) Ta có (Í+Ï)v=.4yv+Ïv= 2y+y=(2 +Ø)y

Vậy 24+ là giá trị riêng cua ma trận 4+ œÏ

d) Giasử ƒŒ) => az e K[r] Khi do f(A) = ad’ f(D => aA’

Và ƒ(9v=, Lad y= Da ( 4'v] =Ya (A'v)=| S22 Jy=/0)

Vậy f(A)la gia tri riêng của f (4)

Cau 8:

a) Vì 4 kha nghịch nên 2 z0 Ta cỏ,

Vậy Nếu 4 kha nghich thi 47 1a gid tri riéng cia ma tran 47

b) Vi 4 khả nghịch nên 4'v= 2”Ìv

Khi đó ta có (4+.4Ì)y=.4v+.4'v=2v+2 v=(2+2')w

Nếu 4 khả nghịch thì 2 + 2ˆ” là giả trị riêng của ma trận 4{+ 4”Ì

Sinh viên từn các ví dụ minh họa cho những kết qua trên

Câu 9:

Do 2,,42; 4, là cac gid ti riéng cua d nén 4, /,, ,4,la cac nghiém cua đa thức đặc trưng /ƒ,(?)

Do do,

fy) = det(A-2D =(-D"(t-A Mt)

Lấy ? =0, ta có:

det 4 = f,(0) =(-"0-4,)0-2,) (0- A) = AAA,

Cau 10:

a) Do 2;.À.; À„ là các giá trị riêng 4 nên Œ2;.Œ2., O2., lả các giả trị riêng của ma trận œ4 Do đó det(œ4) = (œ2+)(Gœ2.;)- (œ2.„) = œ”2J2‹; - À.„

Sinh viên cho vi dụ minh họa

b) Do 2¿¡.2À.; 2.„ là các giá trị riêng 4 nên 2;.,2.; À.„ là các giá trị riêng của ma tran 4° Do đó

đet 4 =2j24 Xà

€) Do 2;:2.; À.„ la các giá trị riếng 4 nén A, +0.4,+0, 4,,+0 1a cac giả trị riêng của ma trận

A+dœ[ Do đó det(244+ œÏ) = (24 + œ)(2.; + œ) -(2., + œ)

đ) Do 2;.2; À„ là các giá trị riêng 4 nên ƒ(2) (2.;) ƒ(2.,) là các giá trị riêng của ma trận

F(A) Do 46 det f(A) = /(2+)/@.;) :/Ó.,)-

Cau 11:

4 ^ " ˆ , or ea ˆ -] aA=l a=Ì 4» , or yi : a es r

a) Do 2.À.; À là các giá trị riêng 4 nên 2; ,^; .À lả các giá trị riêng của ma trận 4 ! Do đó

đet 4! =2j)2ã` +"

b) Do 2.2.; 2.„ là các giá trị riêng 4 nên 2+2 `.À¿ +23`, À„ + AD ld cdc gid tri riéng cua ma trận

4+4 "` Do đó

det(A+A™) =(2, +2¡`)2+ +23): („ +2; )

c) Do œ không là giả trị riêng cua 4 nên định thức cua ma trận 4—2Ï khác 0 Vậy 44—œÏ kha nghịch Theo gia thiết 2.;.À.; 2 là các giá trị riêng của 4 nên 2¡ —Ơ.À.; —Ơ À.„ —O là các giả trị riêng của

ma trận 4— œÏ và đo đó (2¿ —œ) `,(2„ — œ) Ì, (2.„ —œ) Ì là các giá trị riêng của (.4— œ7)”

Vav det(4 wae œ7)” = (2 T ay? = -

I] I] he ~Ơơ

Câu 12: