Các bài toán ứng dụng cực trị (tự do và có Điều kiện) của hàm nhiều biến trong thực tế

Trong lĩnh vực tài chính, việc quản lý rủi ro và tối ưu hóa lợi nhuận đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cực trị của hàm nhiều biến.. Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường gặ

KHOA MARKETING

BAI THAO LUAN

Môn: Toán Dại cương Giảng viên giảng dạy: Nguyễn Thu Thủy

MUC LUC

PHAN 2: TONG QUAN VE CUC TRI NHIEU BIEN

2.1 CỰC TRỊ TỰ DO - 2c 2122222 1222221111212 rve 5 2.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIÊU KIỆN - 2S 2n TH HH nga ruờg 7 PHẢN 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỰC TRỊ (TỰ DO VÀ CÓ ĐIÊU KIỆN) CỦA HÀM

3.1 CAC Vi DU VE BAI TOAN UNG DUNG CUC TRI TU DO CUA HAM NHIEU BIẾN TRONG THỰỰC TẾ 5 2s 2211 11122: 21121111 ng Hung gu § 3.2 CÁC VI DU VE BAI TOAN UNG DỤNG CỰC TRỊ CÓ ĐIÊU KIỆN CỦA HÀM NHIÊU BIẾN TRONG THỰC TẺ 5 SE E25 112 22122121 14 PHẢN 4: CÁC HẠN CHẾ CỦA NGHIÊN CUU VA HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP 16

4.1 Các hạn chế trong nghiên cứu về ứng dụng cực trị (tự do và có điều kiện) của hàm nhiều biên trong thực fÊ: G1 1211 SH 11 H1 11101111101 011 1 11 H1 111 1 1 1 HH HH 16 4.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo về ứng dụng cực trị (tự do và có điều kiện) của hàm nhiều biến trong thực †Ế: - S1 2S HH H11 2H21 16

PHẢN 5: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC 17

5.1 Ứng dụng của cực trị trong thực tẾ - s St n1 H t2 2n 1 nga 17

| MSAGERE

PHIEU DANH GIA THANH VIEN TRONG NHOM Môn: Toán Đại cương

Nhóm: 8

Lớp HP: 232 AMATI0I11 06

Tổng hợp nội dung

Đánh giá

STT Họ và tên Mã sinh viên Nhiệm vụ theo thang Chữ ký

điểm 10

71 23D121039 | Nội dung phan 3

Hà Phương

72 Lê Thị Phương 23D121088 | Ndi dung phan 3

73 oy 23121040 | oS Puen 4

74 | Trần Văn Quang | 23D121089 | Nội dung phần 2

75 23D121090 | Nội dung phan 3

Quân

76 Vũ Minh Quốc | 23D121041 Powerpoint

Hoàng Thị Thuyết trình &

78 | Tran Thi My Tam | 23D121042 | Nội dung phản 1

79 eu think 23D121043 | Nội dung phần I

Nhóm trưởng &

80 Bui Thu Thao | 23D121092 | Thuyết trình &

PHAN 1: DAT VAN DE

Trong thế giới hiện đại, hàm nhiều biến đóng một vai trò không thê phủ nhận trong

VIỆC giai quyết các vấn đề thực tế Trong lĩnh vực tài chính, việc quản lý rủi ro và tối ưu hóa lợi nhuận đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cực trị của hàm nhiều biến Các chuyên gia cần ap

dụng các kỹ thuật này để đưa ra các quyết định thông minh và chiến lược Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường gặp các bải toán xác định trị số tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chỉ phí bé nhất .) Trong toán học, đó chính là bài toán tìm cực tiêu

hoặc cực đại của một hàm f{x) (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hop nao đó trong

không gian Bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng

Vậy, câu hỏi đặt ra là làm thế nào các kỹ sư cần sử dụng cực trị của hàm nhiều biến để

tối ưu hóa hiệu suất của các hệ thống phức tạp? Trong lĩnh vực kinh tế, làm thế nảo chúng ta

có thê áp dụng các phương pháp cực trị đề tối ưu hóa lợi nhuận và tối thiêu hóa rủi ro? Có những ứng dụng cực trị cụ thê nào của hàm nhiều biến trong các ngành công nghiệp đang phát

triển như công nghệ sinh học và năng lượng tải tạo?

Trong bài thảo luận này, nhóm chúng em sẽ trình bảy “một số ứng dụng cực trị (tự do

và có điều kiện) của hàm nhiều biến trong thực tế” đề hiểu sâu hơn về cách con người áp dụng

kiên thức toán học vào đời sông thực tiền

PHAN 2: TONG QUAN VE CUC TRI NHIEU BIEN

Me mse

| 2.1 CUC TRI TY DO

a Dinh nghia

Ham z = f(x, y) dat cwe dai tai Mo(Xo, yo), nếu tồn tại một lân cận của điểm Mạ sao cho

trên lân cận đó hàm số luôn xác định và bất đẳng thức nêu (x,y) < (xo, yo) luôn thỏa mãn

Ham z = f(x, y) dat cuc tiểu tại Mi(%o, yo), nếu tôn tại một lân cận của điểm Ma sao cho

trên lân cận đó hàm số luôn xác định và bất đẳng thức nêu (x,y) > f{xo, yo) luôn thỏa mãn

Giá trị cực đại hoặc cực tiêu được gọi chung là cực trị Quy ước fea; fer; fer để chỉ gia tri cực đại; cực tiểu ; cực trị địa phuong cua ham f(x, y)

b Điều kiện cần của cực trị

Nếu hàm z = Íf{x, y) đạt cực trị tại điểm Mo(%o,yo) và tại đó hàm số có các dao ham

riêng thi các đạo hàm riêng đó triệt tiêu tại Ma, nghĩa là:

f'<(Xo, yo) =0 va fy (xo, yo) = 0

Một điểm Mo(xo,yo) của mặt phang théa man hé thite f°, (xo, yo) = 0 va fy (xo, yo) = 0 goi

là một điểm dừng hay một điểm giới hạn loại một của hàm số đó Ta có thê tìm cực trị tại các

điểm dừng nêu như hàm số có các đạo hàm riêng trên tập xác định

c Điều kiện đủ của cực trị

Nếu hàm số có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai thì biéu thức dưới đây gọi là vi phan toan phan cap hai của hàm số đó tại diém Mo(Xo, yo):

d?2(Xo, Yo) = Zxx (Xo, Yo) Ax? + 22)xy(X0 Yo) AXAY + Z”yy(Xo, Yo) Ay?

Định lý: Gia str Mo(xo, yo) 1a một điểm dừng của đạo hàm z = f(x,y), ham s6 co cac dao

hàm riêng liên tục đến cấp hai tại Mạ khí đó:

1) Néu d?z(xo, yo) là một dạng toàn phương xác định đương của Ax, Ay thì tại Mạ hàm số

có cực tiêu

2) Nếu đˆz(xo, yo) là một dạng toàn phương xác định âm của Ax, Ay thitai Mo hàm số có

cực đại

3) Néu d?z(xo, yo) là một dạng toàn phương đôi dấu của 4x, Ay thitai Mo ham số không

co cue tri

Dat A = 2 (Xo, Yo), B= 2" x(Xo, yo), C = Z"yy(Xo, Yo)

Áp dụng định ly Sylvester, ta c6 kết quả đễ nhớ hơn như sau:

1) Nếu B?- AC >0 thì tại Mo hàm số không có cực trị

2) Nếu Bˆ - AC <0 thi tại Mẹ hàm số có cực trị và đó là cực đại nếu A < 0, là cực tiểu nếu A>09

3) Nếu B?~ AC <0 thì chưa thê kết luận cực trị tại Mẹ

| 2.2 CUC TRI CO DIEU KIEN

a Bai toan: Tim cue tri cua ham Z =f (x, y) voi điều kiện g(x, y)=0

b Phwong phap giải: Phương pháp phân tử lagrang

Xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến có ràng buộc:

Z=f(x, y) vàg [x, y)=0

Lập hàm lagrang:

LÍx,y,À)=f(x,y)—Àg(x,y)

c Điều kiện cần của cực trị:

Nếu hàm số đạt cực trị tại M,(X¥o) thì tồn tai A, sao cho bé ba (xạ, yạ,^Àg)thỏa man:

Ly (Xo Yor Ao) =0:

L,(Xos YorAo) =0;

va L,, (Xo, Yo Ao} =0

Khi d6 (x), Yo Ao) duoc gọi là một điểm dừng của hàm Lagrang

d Điều kiện đủ của cực trị:

Giả sử ÍXo,Yo,Ào) là một điểm dừng của hàm Lagrang

Đặt |H|= ¿Khi đó:

+) Nếu |H|>0 thì MạÍxạ¿, Yo) la điểm cực đại của bài toán đã cho

+) Nếu |H|<0 thì MạÍxạ, yạ)là điểm cực tiêu của bài toán đã cho

PHAN 3: CAC BAI TOAN UNG DUNG CUC TRI (TU DO VA CO DIEU KIEN) CUA

HAM NHIEU BIEN TRONG THUC TE 3.1 CAC Vi DU VE BAI TOAN UNG DUNG CUC TRI TU DO CUA HAM NHIEU BIEN TRONG THUC TE

A Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán trên nhiều thị trường

Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên n thị trường tách biệt Giả sử hàm cầu trên n thị trường như sau:

¿Qp=D/,[P,)

é Q;p= D, (P 2)

bu

¿Q;,=D,[P,)

Ham tong chi phi C = C(Q) voi Q=Qi+Q2+ +Q, Trong đó:

Q là sản lượng của doanh nghiệp Q; la sản lượng hàng phân phối trên thị trường thứ ¡ (với moi i = In)

Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường dé doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại

Phương pháp giải

Gọi Q¡, Q›, ,Q;¿ là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cân tìm

Đề doanh nghiệp bán hết hàng thì

Doanh thu

R =Q¡IPi-Q:P¿+ Q¡P;, =À, Q,P,= » Q, PQ) Chi phi

C= C(Q)C(Q1,Q2, Qn) vi Q= Qit+Qet +Qn Lợi nhuận

l= R-C =>, Q, Pị/Q/- C(Q1.Q2 , Qh)

Bài toán trở thành tìm Q1 Q2 Q„ để hàm rr cực đại

Ví dụ: Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phâm và tiêu thụ tại hai thị trường tach

biệt Giả sử các hàm trên yêu cầu hai thị trường lần lượt là:

Qp,=80- :Qp,=80-—

Ham tong chi phi: C(Q) = Q? + 30Q + 10

Và Q=Q¡ ~Q: là tông sản lượng

Yêu cầu: Tìm lượng sản phẩm Q¡, Q; mả công ty cung cấp cho các thị trường

sao cho lợi nhuận đạt cao nhất?

Giải: Giả sử công ty cung cấp cho thị trường 1 là Q¡ sản phẩm, thị trường 2 là Q; sản phâm

P, P,

Qp,=80-" :Q,=80-?

vaQ=Q:+Q

=> P; = 240 — 3Q1, P2 = 320 — 4Qz

Do đó doanh thu trên các thị trường lần lượt là:

Ri = (240 — 3Q;)Q) R; =(320 - 4Q:)Q;

Khi đó tong lợi nhuận là:

m =Rit+R2-C

=(240 - 3Q)Q¡ + (320 - 4Q;)Q; - Q° + 30Q + 10 (Q=Q¡+Q;) Cực đại toàn cục cua ham 7 1a (Qi, Q2) = (20, 25)

Vậy công ty cung cấp cho thị trường thứ nhất là Q¡ = 20 đơn vị hàng với đơn giá P¡

= 240 - 3Q; = 180

Cung cấp cho thị trường thứ hai là Q› = 25 đơn vị hàng hóa với đơn giá là

Pz = 320 — 4Q2 = 220

B Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện độc quyền

Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên là

¿Qp=D.[P,)

é Qp= D, (P 2 )

bun

¿Qp=D,[P,)

Trong đó:

Qp;:Lượng hàng cầu của loại hàng hóa thứ ¡ P,P,, , Pạ: Giá bán của loại hoàng hóa thứ 1 Q1.Q2 Q¡): Sản lượng của loại hang hóa thứ ï

Hàm tổng chỉ phí C=C(Q) với Q=Q¡+Q›~ +Q, Tìm mức sản lượng Q1,Q2 , Qu mà doanh nghiệp cần sản xuất đề lợi nhuận đạt cực đại

Phương pháp giải

Goi Q1.Q2 Q; là các mức sản lượng cân tìm

Đề doanh nghiệp bán hét hàng thì:

6Q,=Qp, ¿Qp=D,(P¡,P,, ,P,) ¿P,=P,(Q,,Q; ,Q,)

¿Q;=Q,, ~ l¿Qp=D¿(P¡,P;, ,P„) — | GP 2=Py(Qy Qo Qn)

6Q,=Qp, ¿Qp=D,(P\,P;, ,P„) ¿P,=P,(Q,,Q;, ,.Q,)

Doanh thu

R=Q¡Pi ¿ Q;P;+ Q,Pạ=>, Q,P,=>) Q,P,(Q1,Q2, Qn)

i=1 i=1

Chi phi C= C(Q)=C(Q1,Q2, ,Qn)

Lợi nhuận

m=R-C =2 Q,P,.Q,,Q, , Q,Ì- C(Qy Qo » -Qu)

Bài toán trở thành tìm Q1.Q2 Q; để hàm „r cực đại

Ví dụ: Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh 2 loại hàng, biết hàm cầu

của 2 loại hàng hóa đó như sau:

Qp¡= 40 +2P) + P;

Qp;¿ =15+Pi-P

Hàm chỉ phí C =Q;+Q:Q +Q;

Tìm các mức sản lượng từng loại mà doanh nghiệp cân sản xuât đề lợi nhuận của doanh

nghiệp đạt cực đại Giải: Gọi Q¡, Q› là các mức sản lượng cần tìm

Đề doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng

¿Q,=Q;,_.|¿Q,=40—2P,+P;_| ¿P,=55—Q,—Q;

Doanh thu R=QiP1 + Q2P2=Q1(55-Qi-Qz) + Q2(70-Qi-2Q2)

=> R=- Q7 -Q2—¿2Q¡Q; + 55Q: +700:

Chi phi

C=Qi+QiQ;+Q;

Lợi nhuận

m=R—-C=—2Q;-3Q;-3Q,Q,+55Q,+70Q,

Bài toán trở thành tim Q),Q dé ham 7 dat cuc dai Điểm dừng là nghiệm của hệ

¿mg=0 — Em mi an

¿nạ=0 |¿70-3Q,—6Q,=0 |¿Q,=S

Khi đó ma trận Hesse

H=il4) 3a) je

[-3 “6 ¿ H,=-4 <0

Vậy hàm 7r đạt cực đại tại mức sản lượng

23

Q, — 8 , Q 2 — 3

Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 8 đơn vị hàng hóa thứ nhất và

23

“3 don vi hang hóa thứ hai

C Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (nhà sản xuất phải bán hết hàng với giá do thị trường quyết định)

mức giá thị trường đã cho P;, P;, , Pn

Ham chi phi tổng của doanh nghiệp được biểu thị bởi C(Q,, Q , Qn) với Q¡(= 1,2, n) là mức sản lượng thứ ¡ mả doanh nghiệp sản xuất

Mục tiêu của doanh nghiệp là tối đa hóa lợi nhuận bằng cách lựa chọn mức sản lượng phù hợp cho từng loại hàng hóa

Để đạt được mục tiêu này, doanh nghiệp cần:

a, Tính toán doanh thu (TR):

TR=P,Q, +P,Q,+ +PnQn =>) PQ:

i=1

b, Tính toán lợi nhuận (2):

a= TR 7 CQ, Q>, Qn)

c, Tim cac điểm cực trị của hàm lợi nhuận:

Điêu kiện cân đề zx đạt cực đại là:

« Ôx/ôQ,=0 với mọi1= l,2, ,n

e Ham loi nhuan xz là hàm lõm xuong

d, Giai hé phuong trinh:

On/6Q, = 0 On/6Q, = 0

On/6Qn = 0

Hệ phương trình này sẽ cho ra các giá trị Q„, Q›, Qn* là các mức sản lượng tối ưu

dé doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại

Ví dụ: Giả sử một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa: X và Y

Hàm chỉ phí tông của doanh nghiệp là:

C(Q,, Q;)=Qj?+2Q,Q; + Q.2

Gia ban:

P, = 10, P, =20 Yêu cầu: tìm mức sản lượng Q, và Q, đề tối đa hóa lợi nhuận

Hàm lợi nhuận:

= PịQ¡ + PạQ; - C(Q;, Q;) = 10Q; + 20Q; - Q7 - 2Q,Q; - Q.2

Thay gia trị P., P;, và C(Q,, Q;) vào, ta có:

4= 10Q; + 20Q; - Q,?- 2Q,Q;- Q7 Điều kiện cần để hàm & dat cực trị tại (Q1, Q2) là:

én/0Q,=0, 10-2Q,-2Q,=0 , |Q,=10

ôr/ôQ,=0” |20—2Q,—2Q;=0 °° | Q,=5

Thay Q, = 10 va Q, =5 vao hàm lợi nhuận, ta có:

m= 10Q, + 20Q, - C(Q,, Q2)

=10* 10+20*5-(10?+2* 10*5 +57)

= 250

Kết luận:

Mức sản lượng tối ưu đê doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại là: Q, = 10; Q, =5

Lợi nhuận cực đại của doanh nghiệp là: a = 250

D Bài toán sử dụng tối ưu các yếu tố đầu vào

Doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy là doanh nghiệp hoạt động trong điều kiện thị trường có nhiều người mua, nhiều người bán và sản phẩm của các doanh nghiệp là đồng nhất Doanh nghiệp không thê ảnh hưởng đến giá thị trường mà phải chấp nhận mức giá do thị trường chỉ phối

Mục tiêu của doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy là tối đa hóa lợi nhuận Đề đạt được mục tiêu này, doanh nghiệp cần sử dụng hợp lý các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy được biểu thị như sau: 4= R-C =PQ - (wL + r*K)

Trong đó:

Z4: Lợi nhuận

R: Doanh thu C: Chi phi P: Giá bán

Q: Mức sản lượng w: Tién lương của một lao động L: Lượng lao động

r: Lãi suất của tiền vốn

kK: Tiên vôn

Doanh nghiệp cần xác định mức sản lượng Q tối ưu đẻ tối đa hóa lợi nhuận Mức sản lượng tối ưu là mức sản lượng mà doanh thu biên bằng chi phí biên Ngoài ra, doanh