Báo cáo bài tập lớn phương pháp tính Đề tài 1 câu 1 (trang 650)

Phương pháp Newton cho hệ phương trình phi tuyến .... Compute pi Step 4: If p p 0  TOL then + Giá trị ban đầu: p0 + Sai số cho phép: TOL một giá trị nhỏ để quyết định khi nào dừng nếu

Cơ sở lý thuyết

Phương pháp điểm bất động

1.1 Định nghĩa Điểm bất động của một hàm là một con số mà tại đó giá trị của hàm không thay đổi khi đc áp dụng Hay nói cách khác, nếu ta có một hàm g x  , thì điểm cố định của hàm là số p thảo mãn điều kiện g p    p

Ví dụ: Tìm các điểm bất động của hàm số g x    x 2  2 Điểm bất động p thỏa mãn

Nếu g C a b    ; và g x      a b ;   x   a b ; thì g có ít nhất 1 điểm bất động trong đoạn   a b ;

Nếu tồn tại g x '   trong đoạn   a b ; và tồn tại 1 hằng số dươngk 1 với

'    ; g x k x a b thì có chính xác 1 điểm bất động trong đoạn   a b ;

Nếu g a    a or g b    b thì g có 1 điểm bất động tại 1 trong 2 đầu mút của đoạn   a b ;

Nếu g(a) > a và g(b) < b, ta chọn hàm h(x) = g(x) - x liên tục trên đoạn [a, b] Tại a, h(a) = g(a) - a > 0 và tại b, h(b) = g(b) - b < 0 Theo định lý giá trị trung gian, tồn tại một điểm p thuộc (a, b) sao cho h(p) = 0, tức là g(p) = p Điểm p này là một điểm bất động của hàm g.

Giả sử, theo điều kiện g x '     k 1 và p,q là 2 điểm bất động trong đoạn   a b ; ,

 p q Theo định lý giá trị trung bình, nếu g liên tục trên   a b ; và khả vi trên

  a b ; , tồn tại 1 số  nằm giữa p và q sao cho

Vậy p q   g p      g q  g '    p q k p q      p q Điều này mâu thuẫn vì p q không thể nhỏ hơn chính nó Mâu thuẫn này xuất phát từ điều kiện p q  Do đó p q , g chỉ có 1 điểm bất động trên   a b ;

Vậy khi g x '     k 1, điểm bất động của g là duy nhất

1.2 Phương pháp lặp điểm bất động

Một số hàm số không xác định được điểm bất động, nhưng chúng ta có thể áp dụng phương pháp lặp để xấp xỉ giá trị của p.

Bắt đầu với một giá trị xấp xỉ ban đầu p 0

 n bằng cách đặt pn = g p( n-1) với n1

Nếu dãy {pn} hội tụ về p và hàm g liên tục thì :

Như vậy, p là nghiệm của phương trình x g x   , hay nói cách khác là điểm bất động của g

Giải thích code Để tìm giá trị p g p   , ta chọn 1 giá trị ban đầu xấp xỉ p 0

+ Sai số cho phép: TOL (một giá trị nhỏ để quyết định khi nào dừng nếu kết quả đủ gần với nghiệm

+ Số lần lặp tối đa: N

OUPUT (nghiệm xấp xỉ p nếu phương pháp thành công hoặc thông báo thất bại nếu phương pháp không hội tụ trong số lần lặp tối đa)

Step 2: Khi k N, thực hiện cái bước từ 3-6

Step 3: Tính giá trị xấp xỉ tiếp theo Đặt p g p   0 ,( sử dụng hàm g với giá trị xấp xỉ hiện tại p0 để tính giá trị xấp xỉ mới p

Step 4: Kiểm tra hội tụ

Nếu p p 0  TOL, nghiệm đã đủ gần với nghiệm thức

Hiện ra giá trị p và dừng thuật toán

Step 5 Cập nhật số lần lặp: Tăng i thêm 1 để chuyển sang lần lặp tiếp theo

Step 6 Cập nhật giá trị xấp xỉ: Đặt p0 = p ( cập nhật giá trị xấp xỉ trước đo cho lần lặp tiếp theo)

Step 7 OUTPUT: Nếu i N, in ra thông báo thất bại, cho biết phương pháp không hội tụ sau Nlần lặp và dừng thuật toán Ước tính sai số:

Sai số được ước lượng như sau:

Phương pháp Newton cho hệ phương trình phi tuyến

Phương pháp Newton là một kỹ thuật hiệu quả trong việc giải hệ phương trình phi tuyến, thường được áp dụng trong các bài toán tối ưu và phân tích phi tuyến Phương pháp này hoạt động bằng cách xấp xỉ hệ phi tuyến thành một hệ tuyến tính tại mỗi bước lặp, từ đó cải thiện tốc độ hội tụ đến nghiệm, đặc biệt khi khởi đầu bằng một giá trị gần đúng.

Giả sử ta có một hệ phương trình phi tuyến dưới dạng:

Với F R: n R n là một ánh xạ từ không gian R n vào R n , và x R n là vector nghiệm cần tìm Mục tiêu của phương pháp Newton là tìm một nghiệm x * sao cho:

Trong đó, F x f x f x1    , 2 , ,  f x n   T là vector của các hàm phi tuyến

Phương pháp Newton là một kỹ thuật hiệu quả để tìm nghiệm của các hệ phương trình phi tuyến Phương pháp này xây dựng một chuỗi các giá trị xấp xỉ nghiệm, giúp đơn giản hóa hệ phi tuyến ban đầu thành các hệ tuyến tính dễ giải hơn Ý tưởng chính là sử dụng khai triển Taylor bậc nhất của hàm F tại một điểm gần đúng x_k, từ đó tìm ra giá trị xấp xỉ mới x_{k+1}.

Trong đó J xF   k là ma trận Jacobian của F tại x k

Ma trận Jacobian của F x   tại x k là ma trận n n chứa các đạo hàm riêng phần của các hàm f i theo các biến x j :  

Khi đó, hệ phương trình phi tuyến F x   0  có thể xấp xỉ bằng hệ tuyến tính:

Giải hệ tuyến tính trên theo biến x k  1 ta được:

Phương pháp Newton sử dụng công thức lặp để tìm nghiệm của hệ phương trình Bắt đầu từ một giá trị gần đúng x₀, ta áp dụng công thức lặp để tạo ra dãy giá trị {xₖ}, dần dần hội tụ đến nghiệm chính xác.

Phương pháp Newton hội tụ với điều kiện:

 Ma trận Jacobian J xF   k không suy biến tại nghiệm thực x * (tức là

 Giá trị ban đầux 0 đủ gần với nghiệm thực x *

Step 3: Calcula F x   and J x   , where J x  i j ,   f x i  /x j  for

Step 4: Solve the n x n linear system J x y     F x  

Step 6: If y TOL then OUTPUT (x);

 Số phương trình và số ẩn: n

 Sai số cho phép: TOL (một giá trị nhỏ để quyết định khi nào dừng nếu kết quả đủ gần với nghiệm

OUPUT (nghiệm xấp xỉ x nếu phương pháp thành công hoặc thông báo thất bại nếu phương pháp không hội tụ trong số lần lặp tối đa)

Step 2: Khi k N, thực hiện cái bước từ 3-7

Step 3: Tính giá trị của F(x) và J(x) trong đó J x  i j ,   f x i  /x j  với

Step 4: Giải hệ phương trình tuyến tính n x n trong J x y     F x  

Step 6 Nếu y TOL , thì nghiệm đã đủ gần với nghiệm thức

Hiện ra giá trị x và dừng thuật toán

Step 7 Cập nhật số lần lặp: Tăng k thêm 1 để chuyển sang lần lặp tiếp theo

Step 8 OUTPUT: Nếu k  N, in ra thông báo thất bại, cho biết phương pháp không hội tụ sau Nlần lặp và dừng thuật toán Ước tính sai số

Công thức tính sai số của phương pháp Newton

Bài tập

Hệ phương trình phi tuyến:  

Để tìm nghiệm, trước tiên, chúng ta sẽ xấp xỉ nghiệm bằng đồ thị Sau đó, sử dụng giá trị xấp xỉ từ bước trước làm giá trị ban đầu cho một phép lặp điểm cố định phù hợp, nhằm xác định nghiệm trong khoảng 10 theo chuẩn 𝑙.

Hình 1 Xấp xỉ nghiệm bằng đồ thị b Ta có:

 Chọn x   0   2,11  T , giải G x 1   ta được bảng sau:

 Chọn x   0    1.5,10.5  T , giải G x2   ta được bảng sau:

Hệ phương trình biểu diễn tốc độ tăng trưởng của hai loài vật, được dự đoán bằng cách giải hệ phương trình:

Trong bài tập này, chúng ta sẽ phân tích cách xác định quần thể cân bằng của hai loài Để đạt được trạng thái cân bằng, các tiêu chí toán học cần phải được thỏa mãn.

 dx t dt dx t dt Điều này xảy ra khi loài thứ nhất bị tuyệt chủng và loài thứ hai có quần thể là

Có 20,000 loài hoặc kho loài thứ hai đang bị tuyệt chủng, trong khi loài thứ nhất chỉ có quần thể 13,333 cá thể Điều này đặt ra câu hỏi liệu có thể đạt được sự cân bằng trong bất kỳ tình huống nào khác hay không.

Ta có hệ phương trình tương đương:

 x t x t Cả hai loài đều tuyệt chủng

Ta có hệ nghiệm theo phương pháp lặp:

Sự biến động quần thể của ba loài cạnh tranh được mô tả bởi:

Với mỗi loài i (i = 1, 2, 3), quần thể tại thời điểm t được biểu diễn bằng x_t^i Tốc độ tăng trưởng của loài i là r_i, trong khi a_ij thể hiện mức độ ảnh hưởng của loài j đến tốc độ tăng trưởng của loài i Giả sử rằng cả ba tốc độ tăng trưởng đều bằng r, chúng ta có thể điều chỉnh thời gian theo hệ số r để đạt được r = 1.

Hai loài có thể ảnh hưởng lẫn nhau, trong đó loài thứ ba cũng tác động đến cả hai loài còn lại Do đó, ta có các hệ số tương tác như  13  23  31 và  21  32  13  Quần thể có thể được chuẩn hóa sao cho a ij  1, dẫn đến việc thiết lập một hệ phương trình vi phân.

Nếu  0.3 và  0.6, hãy tìm một nghiệm ổn định  x t 1 '    x t 2 '    x t 3 '    0  của các quần thể đã chuẩn hóa x t x t x t1      , 2 , 3 được cho bởi 0.5 x t1  1,

Giải Thế x t1 '   x t2 '   x t3 '  0 vào hệ phương trình vi phân:

Thế  0.3,  0.6 vào hệ phương trình:

Ta dùng điểm giữa của các khoảng này làm ước lượng ban đầu:

Giải tương tự ta được:

Sử dụng phương pháp Newton với x   0 0 để tính x   2 theo mỗi hệ phương trình phi tuyến tính sau

Bởi vì det  J x     0   0 nên không thể sử dụng phương pháp Newton để giải phương trình này

Kết luận: Không thể tìm được nghiệm x   2 thỏa điều kiện đề bài

Khi thiết kế máng xả chảy tự nhiên, C Chiarella, W Charlton và A W đã tập trung vào việc tối thiểu hóa thời gian di chuyển của các hạt dạng hạt được xả ra.

Roberts [CCR] giải các phương trình sau bằng phương pháp Newton:

Hằng số  0 đại diện cho vận tốc ban đầu của vật liệu hạt, trong khi X là tọa độ x của điểm cuối máng xả Các yếu tố khác bao gồm lực ma sát , số đoạn của máng xả N, và hằng số trọng lực g = 32.17 ft/s² Biến  i thể hiện góc của đoạn máng thứ i so với phương thẳng đứng, và  i là vận tốc của hạt trong đoạn máng thứ i Để tìm hiểu mối quan hệ giữa các biến này, cần giải các phương trình (i) và (ii) để xác định  = ( 1, …,  N).

        khi các giá trị v n và w n có thể được suy ra từ

(a) và (b) Lặp lại cho đến khi    k    k  1 10  2

Giải Phương trình (i): Mối quan hệ giữa các vận tốc

Với mỗi đoạn n, ta có phương trình:

Ta có 0 phương trình trở thành :

Phương trình (ii): Độ dài tổng cộng theo trục x

Phương trình tổng quát choxlà:

Vận tốc vn tại mỗi đoạn có công thức:

Phương trình tổng quát choxlà:

Mà  0 0và  0 0nên phương trình vận tốc trở thành

Ta sẽ tính toán cho từng  n từ n1đến n20

Và tiếp tục cho đến đoạn 20:

Thiết lập hệ phương trình để giải cho θi bằng phương pháp Newton-Raphson

Với hệ phương trình này, ta cần 20 phương trình để xác định 20 góc  1 , ,  20 Để giải hệ phương trình này, ta có:

Các phương trình ràng buộc của vận tốc (i):

20 19 sin sin 0 sin sin 0 sin sin 0 sin sin

Phương trình tổng quát của chiều dài theo trụcx(ii):

Lập ma trận Jacobi và sử dụng phương pháp Newton-Raphson

Phương pháp Newton-Raphson yêu cầu tính toán ma trận Jacobi J, bao gồm các đạo hàm riêng của từng phương trình theo các biến θ₁, θ₂, , θ₂₀ Ma trận Jacobi cho hệ này sẽ có kích thước 20x20, điều này cho thấy sự phức tạp trong việc giải quyết các phương trình liên quan.

Xây dựng ma trận Jacobi J

Giả sử F = [f1, f2, , f20]T, trong đó f1, f2, , f19 là các phương trình (i) và f20 là phương trình (ii), tạo thành vector hàm cho hệ phương trình cần giải Ma trận Jacobi J của F bao gồm các đạo hàm riêng của từng hàm fn theo từng biến θi.

Tính từng phần tử của ma trận Jacobi J:

 Đạo hàm riêng của f n theo  n và  n  1 là : Đạo hàm riêng của f n theo  n : n cos n n n f 

 Đạo hàm riêng của f n theo  n  1 :

Các phần tử trong hàng này đều bằng 0 do f n phụ thuộc  n và  n  1 Đạo hàm riêng của phương trình tổng độ dài theo trục x

 Đạo hàm của f 20 theo  i với i1,2,3, ,20

Như vậy ta sẽ có ma trận Jacobi là

Sử dụng phương pháp Newton-Raphson

Với ma trận Jacobi J đã được xây dựng, ta có thể áp dụng phương pháp Newton-Raphson để giải hệ phương trình :

 là vector các giá trị hiện tại của  1 , ,  20 trong lần lặp thứ k:

F  là vector giá trị của các phương trình tại   k

J  1là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacobi

Các bước thực hiện lặp newton:

Chọn giá trị khởi đầu cho các ẩn số  1 , ,  20 , gọi là    0

Ví dụ, có thể khởi tạo tất cả  1 1

Bước 2: Tính giá trị của các phương trình tại giá trị hiện tại    k

Trong mỗi lần lặp k, tính toán giá trị của các phương trình tại   k

F    f  f  f    Đây là vector chứa các giá trị của từng phương trình khi thay các giá trị của

Bước 3: Tính ma trận Jacobi J      k tại    k

Tính các đạo hàm riêng của các phương trình theo từng biến tại    k để tạo ma trận Jacobi J

Bước 4: Giải hệ phương trình tuyến tính để tìm Δθ

Giải hệ phương trình tuyến tính:

J     F  Để tìm, là vecto thay đổi củatừ lần lặpkđếnk 1

Bước 5: Cập nhật giá trị của

Cập nhật giá trị củabằng:

     Đây là bước mà ta điều chỉnhθdựa trên giá trị của

Bước 6: Kiểm tra hội tụ

Kiểm tra điều kiện hội tụ:

Nếu điều kiện thay đổi Δθ giữa các lần lặp rất nhỏ được thỏa mãn, chúng ta có thể dừng lại và coi θ(k+1) là nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình.

Nếu điều kiện chưa thỏa mãn, quay lại bước 2 và tiếp tục quá trình lặp

Một thí nghiệm sinh học thú vị đã được thực hiện để xác định nhiệt độ nước tối đa, X M, mà tại đó các loài thủy tức có thể tồn tại mà không bị giảm tuổi thọ Để giải quyết vấn đề này, một phương pháp được sử dụng là bình phương tối thiểu có trọng số, với dạng hàm f(x) = y = a(x - b) + c, dựa trên một tập dữ liệu cụ thể.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã sử dụng 30 hợp dữ liệu thực nghiệm với các giá trị x đại diện cho nhiệt độ nước Hằng số 𝑏 được xác định là tiệm cận của đồ thị hàm f, từ đó cung cấp một xấp xỉ cho X M Để tối ưu hóa kết quả, việc lựa chọn các tham số a, b và c nhằm mục tiêu cực tiểu hóa là rất quan trọng.

 dẫn đến việc giải hệ phi tuyến:

    b Giải hệ phương trình phi tuyến cho loài thủy tức với dữ liệu sau Sử dụng các trọng số w i lny i i 1 2 3 4 yi 2.40 3.80 4.75 21.60 xi 31.8 31.5 31.2 30.2

  b Chọn các giá trị khởi tạo:

Ta có thể dễ dàng tìm đc f 1 1 a

 và sử dụng thuật toán để tìm các đạo hàm riêng còn lại

Cập nhật các giá trị a,b,c

Qua mỗi lẫn lặp, thu được các giá trị f a b c f a b c f a b c1  , , ;  2 , , ;  3 , , 

Giải hệ phương trình I x.  Fvới F  f f f1; ;2 3 , tìm  a b c, ,