Báo cáo nhập môn ngành Điện Đề tài 03 robust tracking control of bearing constrained leader–follower formation

ĐIỀU KHIỂN VÀ KIỂM SOÁT CHẶT CHẼ GÓC PHƯƠNG VỊ RÀNG BUỘC TRONG HỆ “LEADER-FOLLOWER” Tóm tắt: Bài báo này đề cập đến vấn đề điều khiển kiểm soát hệ “leader-follower” khi các “leader” ch

TRƯỜNG ĐIỆN ĐIỆN TỬ ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGÀNH KĨ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

-   

-BÁO CÁO NHẬP MÔN NGÀNH ĐIỆN

Đề tài 03 : ROBUST TRACKING CONTROL OF

BEARING-CONSTRAINED LEADER–FOLLOWER FORMATION

Giáo viên hướng dẫn : PHẠM VĂN TUYNH

Nhóm sinh viên thực hiện:

1 Nguyễn Anh Hào

220 12127

Hà Nội, năm 2023

Sau hơn 3 tuần tìm hiểu về bài nghiên cứu, dưới sự dẫn dắt nhiệt tình của thầy Phạm Văn Tuynh thì nhóm chúng em xin được gửi bản báo cáo tiến độ

về quá trình nghiên cứu của nhóm mình

ĐIỀU KHIỂN VÀ KIỂM SOÁT CHẶT CHẼ GÓC PHƯƠNG VỊ

RÀNG BUỘC TRONG HỆ “LEADER-FOLLOWER”

Tóm tắt: Bài báo này đề cập đến vấn đề điều khiển kiểm soát hệ

“leader-follower” khi các “leader” chuyển động với tốc độ cố định, các ““leader-follower” nhận biết được vector góc phương vị mong muốn trong hệ mục tiêu và có thể cảm nhận các vector dịch chuyển hay các vector góc phương vị khác liên quan đến một số tác nhân lân cận Đối với cả hai trường hợp, nguyên tắc điều khiển phân phối để hệ mục tiêu đạt được khi không biết giới hạn tính bất định liên tục đều của các mô hình “follower” Ngoại trừ giả định các khung tham chiếu cục bộ của tất cả tác nhân đều cùng một phương, nguyên tắc điều khiển này sẽ không yêu cầu vận tốc tương đối, vận tốc góc phương

vị và thông tin về sự trao đổi giữa các tác nhân Sự hội tụ của hệ mục tiêu được thiết lập dựa trên bổ đề Barbalat Kết quả mô phỏng cũng có những đóng góp hỗ trợ cho việc phân tích

1 Mở đầu

Trong những năm gần đây, các nghiên cứu về điều khiển hệ và định vị hệ thống mạng dựa vào thông tin về các ràng buộc định hướng tương đối giữa những tác nhân hay vector góc phương vị Một chiến lược chung cho việc nghiên cứu vấn đề này đó chính là dựa vào thuyết tính cứng nhắc của góc phương vị đã được phát triển (Franchi & Giordano, 2012; Whiteley, 1996; Zhao & Zelazo, 2016a) và đã được áp dung vào điều khiển hệ và định vị hệ thống mạng (Eren et al., 2006; Schiano et al., 2016; Tran et al., 2019; Trinh

et al., 2018, 2020; Zhao & Zelazo, 2016a, 2016b) So sánh với cách tiếp cận dựa trên khoảng cách (Krick et al., 2009; Oh & Ahn, 2011; Sun et al., 2016),

việc dựa vào góc phương vị duy nhất sẽ giảm chi phí thực hiện vì các vector

góc phương vị có thể được xác định bởi các camera theo dõi chi phí thấp gắn liền với mỗi tác nhân Hơn thế nữa kĩ thuật xác định góc phương vị không phát ra bất cứ tín hiệu nào, điều này phù hợp với các ứng dụng trong quân sự nơi mà truyền tải tín hiệu bị cấm (Ye et al., 2013)

Trong phương pháp điều khiển hệ dựa vào các vector phương vị, các tác nhân được yêu cầu tạo thành một hình dạng đích được xác định bởi một tập hợp các vector góc phương vị mong muốn Nếu nguyên tắc điều khiển chỉ sử dụng các vector góc phương vị, một vấn đề được đưa ra đó chính là việc điều khiển hệ dựa vào góc phương vị duy nhất Trong các tài liệu, có rất nhiều nguyên tắc điều khiển dựa vào góc phương vị và góc phươngvij duy nhất được đề xuất cho các mô hình tích hợp đơn, kép hay cho tác nhân là robot di động (Das et al., 2002; Eren, 2012; Ko et al., 2020; Li et al., 2018, 2021; Michieletto et al., 2016; Schoof et al., 2014; Zelazo et al., 2015; Zhao

& Zelazo, 2016a) Kiểm soát hệ hay hệ vận động là một nhiệm vụ khó khăn hơn vì chúng yêu cầu các tác nhân phải đạt được mục tiêu của hệ khi chuyển động với cùng tham chiếu vận tốc và vì chúng không hề dễ để điều khiển và ước tính quy mô của hệ chỉ từ những thông tin định hướng (Schiano & Tron, 2018), trong việc kiểm soát hệ thường đưa ra giả định rằng có một số

“leaders” di chuyển trong cùng một tham chiếu tốc độ Vị trí tương đối giữa các “leaders” thường được giả thiết là không đổi theo thời gian, do đó vấn đề

về quy mô của hệ đã được giải quyết Các tác nhân còn lại gọi là các

“followers” nên theo kịp tốc độ của các “leaders” và hoàn thành mục tiêu của hệ Các tác giả trong Zhao and Zelazo (2015) giải quyết vấn đề về hệ vận động với các mô hình tác nhân tích hợp đơn, kép, vận tốc cố định/ thay đổi theo thời gian của các “leaders” và sự rối loạn của hằng số Tuy nhiên nguyên tắc điều khiển trong Zhao and Zelazo (2015) cho tác nhân tich hợp kép yêu cầu việc đo lường cả vị trí và tốc độ tương đối giữa các tác nhân Nguyên tắc điều khiển kiểm soát hệ cho các tác nhân robot đơn giản chỉ sử dụng vị trí tương đôi hay vector góc phương vị đã được đề xuất trong Li et

al (2018, 2021)

Trang 2

1 Mở đầu (tiếp)

Phương pháp theo dõi sự hình thành các góc phương vị ràng buộc trong các

bộ tích hợp đơn và kép đã được đề xuất trong Zhao et al (2019,2021) Tuy

nhiên những nguyên tắc điều khiển trong Zhao et al (2019,2021) yêu cầu kiến thức về tốc độ góc phương vị, điều đó chỉ có thể duy nhất thu được 1 cách gián tiếp bởi camera theo dõi

Mặc dù có rất nhiều nguyên tắc kiểm soát sự hình thành dựa vào các góc phương vị đã được đề xuất trong các tài liệu, các nguyên tắc đang tồn tại không chú ý đến ảnh hưởng của tính bất định trên hệ thống Zhao và Zelazo (2015) đã đề xuất nguyên tắc điều khiển PI để đối phó với sự nhiễu loạn hằng số trong tác nhân gia tốc Các tác giả trong Li et al (2018, 2021) đã đưa ra những nguyên tắc điều khiển thích ứng để đối mặt với sự bất ổn định

về tham số của tác nhân mô hình Bae et al (2020) từ các hiệu ứng của sự bất định đã chỉ ra rằng trong nguyên tắc kiểm soát dựa vào góc phương vị, các giới hạn cuối cùng của sai số góc phương vị đã được hoàn thành Bài báo này tập trung vào việc thiết kế các nguyên tắc theo dõi kiểm soát cho sự hình thành những mô hình “leader-follower”, nơi mà các “leaders” chuyển động với vận tốc không đổi, còn “followers” được mô phỏng bởi các bộ tích hợp kép với sự không chắc chắn về các giới hạn liên tục đều không xác định Không giống như Zhao và Zelazo (2015), nguyên tắc điều khiển được đề xuất trong bài báo này không yêu cầu sự tương đối về vận tốc giữa tốc độ góc phương vị và tác nhân Bằng cách giới thiệu hai biến phụ trợ liên quan đến độ dịch chuyển tương đối hoặc các sai số của góc phương vị với tốc độ của tác nhân, nguyên tắc điều khiển này điều khiển các tác nhân để có được

hệ mong muốn và loại bỏ ảnh hưởng của tính bất định Lưu ý rằng việc sử dùng hàm signum (sign) để loại bỏ sự nhiễu loạn đã được nhất trí sử dụng trong mô hình điều khiển dựa vào khoảng cách hay độ dịch chuyển (Cao & Ren, 2011; Vu et al., 2020, 2021; Yucelen & Egerstedt, 2012)

Phần còn lại của bài báo này được sắp xếp như sau Mục 2 cung cấp nền tảng lý thuyết và các giả định chính trong bài báo này Mục 3 đề xuất

nguyên tắc theo dõi hệ dựa vào độ dịch chuyển và góc phương vị ràng buộc Kết quả mô phỏng sau đó được đưa ra trong Mục 4 Cuối cùng, Phần 5 kết thúc bài báo

CHÚ GIẢI: Trong bài báo này, R là tập hợp các số thực Đặt vector có d

chiều x = [ x1,…,xd ] T ∈ Rd , xác định sign(x) = [ sign(x1),…,sign(xd) ] T

và |x| = [ |x1|, , |xd| ] T , với X = [x1, , xn] là một ma trận trong Rdxn với cột xi, i= 1 ,…, n, toán tử vec(.) được định nghĩa như sau vec(X) = [x1T,…, x n T

]T ∈ Rdn Hạt nhân và ảnh của ma trận X được kí hiệu lần lượt là ker(X) và im(X) Ma trận đơn vị kích thước d x d kí hiệu là Id

2 Sơ bộ và các giả định chính

Coi như hệ thống gồm n tác nhân, mỗi tác nhân có tọa độ là pi∈ Rd , d ≥ 2 Các tác nhân không có khung tham chiếu chung, nhưng chúng cùng định hướng theo một phương Có l (2≤l≤n) “leader” trong đó chuyển động được chi phối bởi

p i ' = h, ∀i = 1, , l, (1)

Trong đó h là vector vận tốc cố định hay h ‘(t) = 0 Phần còn lại f = n – l là các “followers” mà chuyển động của chúng được viết như sau

v i= u i + ∆ i , ∀i = l + 1, , n (3)

Với u ivà ∆ i(t) ∈ Rd , ∥∆ i∥ ≤ δ, ∀t ≥ 0, tương ứng lần lượt là tín hiệu điều khiển đầu vào và sự biến thiên động lực của tác nhân i ∆ i (t ) liên tục đều và giới hạn trên của hàm được xác định bởi các “followers” Với các phân tích

xa hơn, ta định nghĩa các vector chồng sau đây: p = vec( p1,…, p n) ∈ Rdn

p L = vec(p1,…, p l) ∈ Rdl , p F = vec( p i+1,…, p n) ∈ R df, v l = vec( v1,…, v l) ∈

R dl, v f = vec(v1,…, v l) ∈ R df, ∆ = vec(0dl, ∆ F) ∈ R dn,

∆ F = vec( ∆ i+1,…, ∆ n) ∈ R df

Sự hình thành góc phương vị ràng buộc được định nghĩa bởi (G,p) với G=(V,E) là đồ thị có hướng với tập hợp đỉnh V= {1,…n} và tập hợp cạnh

E ⊂ V x V, và p là cấu hình của hệ Gọi VL = {1,…,l} (tập hợp các

“leaders”) và VF = {l+1,…,n} (tập hợp các “follower”) Một cạnh (i,j) ∈ E hàm ý là tác nhân i có thể cảm nhận một số biến tương đối liên quan đến tác nhân j Các tập hợp lân cận của i được kí hiệu bởi Ni = {j ∈ V|(i, j) ∈ E} Nếu Ni ∩ VL ≠ ∅, i được gọi là một “follower” có hướng Ma trận phụ cận

A = [aij] ∈ Rnxn được định nghĩa như sau: a ij=1 nếu (i,j) ∈ E và a ij=0 nếu i =

j hoặc (i,j) ∉ E Gọi đồ thị G thỏa mãn (i) không có cạnh (i,j) nào giữa hai

“follower” i và j là vô hướng, và (ii) một cạnh (i,j) với i ∈ VF và j ∈ VL có hướng Nói cách khác các tương tác giữa các “followers” là hai chiều nhưng chỉ có các “follower” có hướng chịu trách nhiệm duy trì ràng buộc góc phương vị với các “leader”

Giả sử rằng pi ≠pj , ∀ i≠ j, vector góc phương vị giữa i và j được định nghĩa

là g ij= p i − p j

∥ p i − p j ∥ Phép chiếu trực giao ma trận P g ij= I d - g ij g ij T đối xứng, không thay đổi giá trị khi lũy thừa lên và nửa xác định dương Hơn nữa ker(P g ij) = im(g ij) Chọn 1 hướng cho mỗi cạnh vô hướng trong G và kí hiệu chúng là

e1,…, e m khi đó m = |E| Ma trận tỉ lệ H = [h ki] ∈ Rmxn đặc trưng cho mối quan hệ giữa các cạnh và đỉnh của G và có các yếu tố:

h ki= -1 nếu e k= (i,j), h ki= -1 nếu e k= (j,i) và h ki= 0 với các trường hợp còn lại.

Gọi G = (V , E) với E =E u

∪ {(i, j)| i, j ∈ V L, i Ÿ= j} với E u là phiên bản vô hướng của E Định nghĩa một hệ mục tiêu chuyển động

p¿= vec(p1¿, … , p n¿) với p i(t) = p i¿(t) ∀ i ∈ V L và tập hợp các góc phương vị ràng buộc mong muốn {g ij¿

= p j

¿− p i¿

∥ p¿j − p i¿∥}

(i , j)∈ E là bất biến theo thời gian Gọi

p¿F= vec(p l¿+1, … , p n¿) Với mỗi “follower” i ∈ VL không biết về vi trí mong muốn của nó p i¿, nhưng được cung cấp tập hợp các vector góc phương vị mong muốn {g ij

¿

}j ∈ N i Các giả định sau đây sẽ được thông qua:

R d

Toán tử Laplace của góc phương vị B(p¿) =[B ij]∈ R dn × dn

tương ứng với

(G , p¿ ) là một ma trận vuông định nghĩa bởi B ij =−a ij P g ij¿, i ≠ j

và B ii= ∑

j =1, j ≠ i

n

a ij P g ij¿ Chỉ có một trường hợp là thoái biến của B(p¿) đó là:

B(p¿) ¿ [B¿ B lf

B fl B ff] Tại đó B¿∈ R dl × dl, B fl =B fl

T ∈ R df × dl và B ff ∈ R df × df Dựa vào Zhao và Zelazo (2016b), tính cứng các góc phương vị vô cùng nhỏ của (G , p¿) và l ≥ 2 chứng

tỏ rằng ker ( B )=ℑ(1 n ⊗ I d , p¿) và ma trận B ff xác định dương đối xứng Hơn thế nữa, p¿f(t)=−B ff

−1B fl p l (t ) xảy ra khi và chỉ khi P g ij¿(p i − p j)=0 ∀ (i , j)∈ E Giả sử rằng không có va chạm xảy ra giữa các tác nhân, mục tiêu là thiết kế nguyên tắc điều khiển phân phối u i cho các “followers” để hệ mong

muốn đạt được hình thành trong các giả định khác nhau của các biến cảm biến bất kể sự bất định của các “follower”

3 Các kết quả chính.

3.1 Nguyên tắc điều khiển dựa vào độ dời

Đầu tiên, xét đến vấn đề đảm bảo tính ổn định của một hệ “leader-follower” khi mỗi “follower” có thể cảm nhận được các vector độ dời và chỉ biết được các vector góc phương vị mong muốn tương ứng với các lân cận của chúng Giả định sau đây sẽ được sử dụng trong tiểu mục này

Giả định 2: Mỗi tác nhân “follower” xác định được tiệm cận trên của tính bất định,

vector góc phương vị mong muốn và có thể cảm nhận vị trí tương đối của các lân cận Trong hệ quy chiếu khác mỗi tác nhân i ∈V F biết δ ,{p i − p j}j ∈ N i ,{g ij¿}j ∈ N i và vector vận tốc của nó v i

Vấn đề sau đây sẽ được nghiên cứu trong tiểu mục này:

Vấn đề 1: Dưới giả định 1 và 2, thiết kế một nguyên tắc điều khiển phân phối cho

mỗi tác nhân khi đó ta sẽ đạt được sự hình thành mong muốn khi t → ∞ bất kể sự xáo trộn/bất định trong động lực của “follower”

Gọi Z=[0dl × dl 0dl × df

0df × dl I df ]=Z T

có thể biểu thị hệ thống tác nhân n như sau:

˙p=v=[1l ⊗h

v F ]=Z[ 0ld

v F−1l ⊗h]+1n ⊗h

¿Z(v−1n ⊗ h)+1n ⊗ h (5)

˙v=u+∆=[ 0ld

u F +∆ F]=Z[ 0ld

Nguyên tắc điều khiển sau đây được đề xuất cho các tác nhân:

¿(k2+1)r i +k1k3(ξ i − χ i)+γsign(χ i −v i)

r i =−k0∑

j∈ N i

˙χ i =k2r i −k3˙ξ i =k2r i +k1k3(ξ i − χ i) (10)

Khi đó ξ i, χ i với i =l+1,…,n, là các biến phụ trợ có thể được khởi tạo tùy ý,

k i >0 ,i=0 ,1,2,3và γ ≥ δ Nguyên tắc điều khiển (7)-(10) có thể được viết lại như sau:

r =k0[0dl

˙ξ=−k1[ 0ld

˙χ=k2r −k3˙ξ=k2r +k1k3Z (ξ− χ ) , (14)

khi đó ξ(0)=[0dl T , ξ T F(0)]T

và χ(0)=[0ld T , χ T F(0)]T

Không quá khó để chỉ ra rằng r =Zr,

ξ =Zξ và ˙χ=Z ˙χ Hơn thế nữa phương trình r =Z B p=0 dn có thể khai triển thành

Z B(p − p¿ ) =(p f − p F¿

)T

B ff(p f − p F¿

)=0 hay tương đương p f = p F

¿

Để giải thích lí do giới thiệu các biến phụ trợ trong (7)-(10), xét hệ gồm

∆ i=0d, ∀ i=l+1,…,n và γ=0.Nếu vận tốc tương đối khả dụng, nguyên tắc điều khiển

u F =k p r F +k d ˙r F với k p , k d>0 tiệm cận ổn định với sự hình thành mục tiêu (Zhao & Zelazo, 2015) Tuy nhiên, khi vận tốc tương đối không khả dụng, các biến phụ trợ sẽ phát huy tác dụng Gọi η i =ξ i − χ i, từ (9) và (10) ta có:

Hệ chịu tác động của nguyên tắc điều khiển (11)-(14) là một hệ bất biến tuyến tính theo thời gian và có thể được viết như sau:

x (t )=⃗( r F , v F , η F ,), η F =⃗( η l+1, … η n),

ω =⃗( k0B ff(1f ⊗ h), 0 df , 0 df) và

A=[ 0df × df −k0B ff 0df × df

(k2+1)I df 0df × df k1k3I df

−k2I df 0df × df −k1(k3+1)I df] (17)

Khi không có η F, hệ thống ma trận được viết cho hai biến r F và v F là

A1=[ 0df × df −k0B ff

(k2+1)I df 0df × df ] trong đó các giá trị riêng là nghiệm của phương trình đắc trưng

|λ2I df +k0(k2+1)B ff|=0 (18)

Vì B ff xác định dương đối xứng, giá trị riêng của nó là các số thực dương Coi

μ i >0 , ∀ i=1,…,df là các giá trị riêng của B ff khi đó phương trình (18) tương đương với

λ2

+k0(k2+1)μ i =0 ,i=1,…,df Các nghiệm của những phương trình này là các cặp liên

hợp trong trục ảo và do đó hệ này dần tiến đến sự ổn định Biến phụ trợ η f được đưa ra nhằm cung cấp tính ổn định cho hệ được biểu diễn trong bổ đề sau,

Bổ đề 1 Để giả định 1 và 2 giữ nguyên Dưới nguyên tắc điều khiển (11)-(14) với

γ =0 , Δ=0 df, hệ đa tác nhân tiệm cận hình thành được mục tiêu mong muốn

Bằng chứng Giá trị riêng của hệ ma trận A trong (16) được xác định từ

|λ3I df +k1(k3+1)λ2I df +k0(k2+1)B ff λ +k0k1((k2+1)(k3+1)−k1k2k3)B ff|=0

(19) Phương trình (19) tương đương với

λ3+k1(k3+1)λ2+k0(k2+1)μ i λ +k0k1(k2+k3 +1)μ i=0(20)

với i =1,…,df Theo tiêu chuẩn Routh, hệ là ổn định Hurwitz khi và chỉ khi (k2+1)(k3+1)−(k2+k3 +1)>0 hay tương đương với k2k3>0 luôn đúng Nghịch đảo của ma trận A là

A−1=[ 0df × df d

ad −bc I df

−k0

−1B ff−1 0df × df 0df × df

0df × df −c

ad −bc I df

a

ad −bc I df], với a =k2+1,b=k1k3, c =−k2, d =−k1(k3+1) Kết luận rằng hệ (16) hội tụ tới

x (∞)=− A−1ω=⃗( 0df ,1 f ⊗ h ,0 df) (21)

hay i.e., sự hình thành chuyển động mong muốn tiệm cận đến tính ổn định toàn hệ

Dưới giả thuyết của Bổ đề 1, nếu vận tốc của “leader” h (t ) là hàm biến thiên theo thời gian có giới hạn, nó có thể chỉ ra rằng hệ (16) mang tính ổn định toàn hệ Mặt khác, nếu Δ≠ 0 là một vector cố định, dưới nguyên tắc điều khiển (7)-(10), ta có

ad −bc Δ , v F →1 f ⊗h và η → c

tiệm cận hội tụ đến vận tốc của các “leader”, tuy nhiên, tính không chắc chắn đã bóp méo sự hình thành hình dạng Như một kết quả, hai biến ξvà χ được đưa ra trong

(11)-(14) để đối phó với tính không chắc chắn trong mô hình “followers” Kết quả chính của tiểu mục này được thể hiện trong thuyết sau

Thuyết 1 Để giả định 1 và 2 giữ nguyên Dưới nguyên tắc điều khiển (11)-(14),

p → p¿ khi t → ∞

Minh chứng Lưu ý rằng p L = p L

¿∀ t ≥ 0 , ta có:

B(p − p¿)

=[0dl T ,(p − p¿ )T

] [B ff B ff

B ff B ff] [ 0df

p F − p F

¿]

=(p F − p¿F)T

B ff(p F − p¿F)≥ 0 ,

và (p − p¿ )T

tục, cách giải của hệ này được hiểu trong nhận định Filippov Xét hàm số Lyapunov

V=k0

2 (p − p¿ )T

B(p − p¿ ) +1

2||χ F −v F||2

+2 k1

2||χ F−1f ⊗ h||2

+ k3

2 k2||ξ F−1f ⊗ h||2

Từ phương trình (5) và (14), ta có ||χ F −v F||=||Z ( χ−v )||, ||χ F−1f ⊗ h||=| |Z ( χ−1 n ⊗ h)| | v

à ||ξ F−1f ⊗ h||=| |Z (ξ−1 n ⊗ h)| |.

Chứng tỏ h=1n ⊗ h bởi Shevitz và Paden (1994)[Thm 2.2], ta có

˙~

V ∈ a e ~V =⋂

v∈∂V v T K[˙p]=∇ V T K[ ˙p] Ta có

˙~

V =k0 (p − p¿)T

B(Z(v −h)+h)

+( χ−v ) T

Z(˙χ− ˙χ−r−γK[sign(Z ( χ−v))]−Δ)+ 1

k2( χ−h) Z ˙χ+ k3

k2(ξ−h) T

Z ˙ξ

=−r T(v −h)+v T r − χ T r −γ||χ F −v F||1

−(χ F −v F)T

Δ F+1

k2( χ−h) T

˙χ + k3

k2(ξ−h) T ˙ξ

=h T

(r− 1

k2 ˙χ− k k3

2

˙ξ)− χ T

(r−1

k2 ˙χ)+k3

k2ξ

T ˙ξ−γ||χ F −v F||1 −(χ F −v F)T

Δ F

= k3

k2(ξ−h) T ˙ξ−γ||χ F −v F||1 −(χ F −v F)T

Δ F

=−k k1k3

2 ||ξ F − χ F||2

−γ||χ F −v F||1 −(χ F −v F)T

Δ F