Tác dụng cÿa hệ lực lên một vật rắn không đái nếu ta thêm hay bớt đi hai lực cân bằng.. Tiên đề 5 Tiên đề hoá rắn Vật biến dạng ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng cÿa một hệ lực thì kh
CÁC KHÁI NIịM CĂ BÀN Hị TIấN ĐÂ T)NH HàC
Cỏc Khỏi Niòm CÂ BÁn
Lực là số đo sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể. b Các yếu tố của lực
- Điểm đặt: Là điểm mà tại đó lực tác dụng lên vật.
- Hướng: Biểu diễn hướng chuyển động mà lực gây ra cho vật.
+ Phương: Đường thẳng theo đó lực tác dụng lên vật.
+ Chiều: Biểu diễn chiều cÿa lực.
- Trị số: Biểu diễn độ lớncÿa lực. c Đơn vị của lực
Qua ba yếu tố vừa kể trên ta biểu diễn lực như một đại lượng véctơ. e Ký hiệu
Lực tác dụng vào vật với diện tích truyền lực khá bé
Lực tác dụng vào vật với diện tích truyền lực không được coi là bé.
- Lực phân bố theo dện tích (kN/m 2 )
- Lực phân bố theo chiều dài (kN/m)
Lực phân bố có thể là đều và không đều Với lực phân bố ta cần quy đái thành lực tập trung.
Hình I.2a + Lực phân bố đều: Qýq.l
+ Lực phân bố theo quy luật tam giác:
1.1.2 Tr¿ng thái cân bÁng
Trong tĩnh học trạng thái cân bằng cÿa vật rắn là trạng thái đāng yên so với hệ quy chiếu cố định (Trái đất).
1.1.3 Mòt sò khỏi niòm khỏc a Hệ lực
Hệ lực là tập hợp các lực tác dụng vào một vật
Kí hiệu: (F ,F ,F1 2 3…) b Hai hệ lực tương đương
Hai hệ lực được gọi là tương đương nhau khi chúng có cùng tác dụng cơ học.
Kí hiệu: (F 1,F 2 ,F 3 , …, F n ) ~ (P 1 ,P 2 ,P 3 , …, P n ) c Hợp của hệ lực
Một lực duy nhất tương đương với cả hệ lực đã cho là hợp lực cÿa hệ lực ấy. qmax l
R được gọi là hợp cÿa hệ lực đã cho d Hệ lực cân bằng
Là hệ lực không làm thay đái trạng thái động học cÿa vật.
Hò Tiờn ĐÃ T*nh Hỏc
1.2.1 Hò tiờn đà t*nh hỏc a Tiên đề 1 (Hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đÿ để hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn cân bằng là hai lực ấy:
- Cùng trị số. b Tiên đề 2 (Thêm bớt hai lực cân bằng)
Tác dụng cÿa hệ lực lên một vật rắn không đái nếu ta thêm hay bớt đi hai lực cân bằng.
* Hệ quả: Tác dụng một lực lên vật rắn không đái nếu ta trượt lực trên đường tác dụng cÿa nó.
9 c Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực)
Hai lực tác động tại một điểm có thể được thay thế bằng một lực tương đương, được xác định qua đường chéo của hình bình hành được vẽ từ hai lực đã cho.
ý 180 o R ý F 1 F 2 d Tiên đề 4 (Lực và phản lực tác dụng)
Lực và phản lực tác dụng là hai lực cùng phương ngược chiều và có cùng trị số
Chú ý: Lực và phản lực tác dụng không phải là hai lực cân bằng e Tiên đề 5 (Tiên đề hoá rắn)
Khi một vật biến dạng dưới tác động của một hệ lực và đạt trạng thái cân bằng, nó sẽ vẫn duy trì trạng thái cân bằng khi hóa rắn Tiên đề 6 nhấn mạnh khái niệm giải phóng liên kết trong quá trình này.
Một vật cân bằng không tự do có thể được coi là vật cân bằng tự do khi các liên kết của nó bị loại bỏ và được thay thế bằng các phản lực liên kết tương ứng.
1.1.2 Liên kÁt và phÁn lāc liên kÁt a Khái niệm về vật tự do, vật chịu liên kết, liên kết
Là vật có thể chuyển động theo mọi phương mà không bị cản trở
Là vật bị cản trở chuyển động theo ít nhất một phương nào đó
- Là các điều kiện cản trở chuyển động cÿa vật khảo sát (Vật đang xem xét sự cân bằng).
Tại mối liên kết, vật gây liên kết tác động lên vật khảo sát một lực, làm cản trở chuyển động của vật này Đặc điểm của phản lực liên kết là nó luôn xuất hiện song song và ngược chiều với lực tác động, đảm bảo sự cân bằng trong hệ thống.
- Đặt vào vật khảo sát.
- Cùng phương nhưng ngược chiều với chuyển động bị cản trở cÿa vật khảo sát
- Giá trị cÿa phản lực liên kết phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật khảo sát. c Một số liên kết thường gặp
Liên kết tựa có một thành phần phản lực duy nhất, ký hiệu N
N : Có phương vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc chung giữa hai vật.
Vật chịu liên kếtLiên kết
Liên kết có một thành phần phản lực duy nhất, ký hiệu T
T : Có phương trùng với phương cÿa dây bị kéo căng.
Liên kết bản lề trụ.
+ Có một thành phần duy nhất là R nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục cÿa bản lề.
+ Để dễ xác định nó người ta phân tích làm hai thành phần (V, H) nằm trong mặt phẳng chāa R đi qua tâm cÿa bản lề.
Liên kết bản lề cầu.
+ Có một thành phần phản lực duy nhất R theo phương bất kỳ.
+ Để dễ xác định nó người ta phân tích làm ba thành phần ( X, Y, Z ) đi qua tâm cÿa bản lề.
+ Những vật được nối khớp ở hai đầu, trên vật không có lực tác dụng, bỏ qua trọng luợng cÿa vật thì vật đó gọi là liên kết thanh.
+ Liên kết thanh có một thành phần phản lực duy nhất ( S ), có phương trùng với đường thẳng nối tâm cÿa hai khớp.
Tại tâm cÿa vật có ba thành phần phản lực ( V, H, m ) m: Phản lực mô men tại ngàm hình I.14
Ví dÿ 1 Áp dụng tiên đề 6, nhận định các lực tác dụng lên ròng rọc A (Bỏ qua ma sát, trọng lượng cÿa ròng rọc)
Vật A chịu sự liên kết cÿa hai thanh AB, AC, liên kết dây mềm nên các lực tác dụng lờn rũng rọc bao gòm: (P,T,S ,S AB AC)
Hỡnh ChiÁu Cāa Lāc Lờn Cỏc Trÿc To¿ Đò
Hình chiếu của lực lên hai trục tọa độ được xác định thông qua góc giữa đường tác dụng của lực và trục tọa độ tương ứng, như minh họa trong hình vẽ.
Hình chiếu cÿa lực F lên hai truc ox, oy lần lượt là:
Dấu (+) khi hình chiếu cùng chiều dương với trục, dấu (-) trong trường hợp ngược lại.
+ Lực song song với trục nào thì trị số hình chiếu bằng trị số cÿa lực.
+ Lực vuông góc với trục nào thì hình chiếu bằng không.
Khi biết hình chiếu cÿa lực ta hoàn toàn xác định trị số:
Mô Men
1.4.1 Mụ men cāa mòt lāc đòi vỏi mòt đểm a Định nghĩa
Mô men cÿa lực F lấy với điểm O là một đại lượng véc tơ bằng tích có hướng giữa r và F, m (F) o ý r F
Trong đó: r là véctơ định vị cÿa véc tơ lực F đối với điểm O. b Đặc điểm của véc tơ m (F) o y x
- Có chiều sao cho nhìn từ ngọn cÿa véc tơ này thấy F quay quanh O ngược chiều kim đòng hò.
Trong đó: d là cánh tay đòn cÿa lực F với điểm O (Đoạn thẳng qua O vuông góc với đường tác dụng cÿa lực F )
Trong các bài toán phẳng, các mô men lực cùng phương với nhau, cho phép chúng ta bỏ qua ý nghĩa của véc tơ và chỉ xem xét chúng như các đại lượng đại số.
Tính mô men cÿa các lực cho trên hình với các điểm A, B Biết P1 = 20N; P2 15N; P3 = 25N
1.4.2 Mô men cāa ng¿u lāc a Định nghĩa
Tập hợp gòm hai lực song song ngược chiều cú cựng trị số nhưng khụng cựng đường tác dụng là một ngẫu lực được ký hiệu như sau: (F, F ' )
F ' ý F : trị số cÿa lực. a: cánh tay đòn cÿa ngẫu (khoảng cách giữa hai đường tác dụng cÿa lực) b Các yếu tố của ngẫu lực
- Mặt phẳng tác dụng cÿa ngẫu (mặt phẳng chāa hai lực cÿa ngẫu lực)
- Chiều quay cÿa ngẫu: là chiều quay cÿa vật do ngẫu gây nên
- Mô men đại số cÿa ngẫu lực: m = F.a c Tính chất tương đương của ngẫu lực Định lí 1
Hai ngẫu lực có cùng mặt phẳng tác dụng, cùng trị số và chiều quay thì tương đương nhau.
* Hệ quả 1: Tác dụng cÿa một ngẫu lực không thay đái nếu ta đái vị trí cÿa ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng cÿa nó.
Một ngẫu lực có thể được thay thế bằng một ngẫu lực khác có lực và cánh tay đòn khác, miễn là trị số mô men của ngẫu lực không bị thay đổi.
Tác dụng cÿa một ngẫu lực không thay đái khi ta rời ngẫu lực đến một mặt phẳng song song với mặt phẳng tác dụng cÿa nó.
Đònh Lý Dói Lāc Song Song
Khi tác dụng một lực lên vật rắn, việc di chuyển lực song song đến một điểm khác trên vật sẽ không làm thay đổi hiệu ứng của lực đó Tuy nhiên, nếu ta bổ sung một mô men phụ có giá trị bằng mô men của lực đối với điểm dời, thì tác động tổng thể lên vật sẽ được duy trì.
Lực F đặt tại A Tại B ta thêm vào hai lực cân bằng (F , F ' '' ) có phương song song với F sao cho F = F ’ = F ’’
F (F, F ,F )mà (F , F ) có m = -F.a = ' '' m (F) B , nên F A ùûF , m (F) B B ùû
Hị LĀC PHÂNG VÀ ĐIÂU KIịN CÂN BÀNG
Thu Gỏn Hò Lāc PhÃng VÃ Mò t Tõm
2.1.1 Ph¤¢ng pháp thu gán
- Dời lực F 1về O ta được (F , m ' 1 1) trong đó: m1ým (F )o 1
- Làm tương tự với các lực còn lại ta được:
- Kết luận: Thu gọn hệ lực phẳng về một tâm thu được một véc tơ chính (R ' ) và mô men chính (M o )
2.1.2 Xỏc đònh vộc t chớnh và mụ men chớnh a Véc tơ chính o k
õ õ õ õ α: Là góc nhọn tạo bởi đường tác dụng cÿa Rovới phương x b Mô men chính o k o k
Mô men chính phụ thuộc vào tâm thu gọn.
Véc tơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn.
2.1.3 Cỏc d¿ng kÁt quÁ thu gỏn Đònh lý Va-ri-nhụng a Các dạng kết quả thu gọn
Các trường hợp thu gọn
R hệ lực chưa tối giản
Thu hệ lực phẳng về dạng tối giản
Hệ có hợp lực: þý ü ù ù 0
Hình 2.2 b Định lý va -ri-nhông
Nếu một hệ lực phẳng có hợp lực, thì mô men của hợp lực tính tại một điểm bất kỳ sẽ bằng tổng đại số mô men của các lực thành phần tại điểm đó.
Tìm hợp cÿa hệ lực tác dụng lên khung sau
Trong đó: F1 = 10kN, F 2 = 20kN, F 3 = 15kN, F 4 = 20kN
R: Nằm ở góc phần tư thā IV và nghiêng so với phương ngang góc
- Giả sử thu gọn hệ lực về B có:
M ýõm (F )ýF 3 F (2 3 3) F 2ý20.3 10.8 15.2 170(kN.m) ý - Áp dụng định lý va-ri-nhông ta có:
Tìm hợp cÿa hệ lực tác dụng lên khung sau.
Trong đó: F1 = 20kN, F 2 = 30kN, F 3 = 15kN
- Vì hệ lực đã cho là song song nên:
R có chiều cùng với lực F 1 hay F 1
- Ta giả sử R bên trái cÿa điểm A và cách A một đoạn là x Áp dụng định lý va-ri-nhông ta có:
Dấu âm có nghĩa R nằm bên phải cÿa điểm A.
ĐiÃu Kiòn Cõn BÁng Và Hò PhÔÂng Trỡnh Cõn BÁng Cāa Hò Lāc PhÃng 22 CHÊĂNG 3 MịT Sị KHÁI NIịM VÂ SĂC BÂN VÀT LIịU
2.2.1 ĐiÃu kiòn cõn bÁng tỏng quỏt Định lý: Điều kiện cần và đÿ để hệ lực phẳng cân bằng là véc tơ chính và mô men chính bằng không þý ü ý ý 0
2.2.2 Các d¿ng ph¤¢ng trình cân bÁng
Từ điều kiện cân bằng tổng quát, chúng ta có thể phân loại các dạng cân bằng Dạng 1 (Cơ bản) xác định rằng điều kiện cần và đủ để một hệ lực đạt trạng thái cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ bằng không, đồng thời tổng mô men của các lực quanh một điểm bất kỳ cũng phải bằng không.
Để một hệ lực cân bằng, cần thỏa mãn hai điều kiện: tổng mô men của các lực tại hai điểm bất kỳ A và B phải bằng không, và tổng hình chiếu của các lực lên một trục tọa độ không vuông góc với đoạn AB cũng phải bằng không.
Để một hệ lực cân bằng, điều kiện cần và đủ là tổng mô men của các lực tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng phải bằng không Trong trường hợp này, trục x không vuông góc với đoạn AB.
Trong đó A, B, C không được thẳng hàng.
2.2.3 ĐiÃu kiòn cõn bÁng cāa cỏc hò lāc phÃng đÂn giÁn a Hệ lực phẳng đồng quy Điều kiện cần và đÿ để một hệ lực phẳng đòng quy cõn bằng là tỏng hỡnh chiếu cÿa các lực thành phần lên hai trục toạ độ bằng không. k k
Y 0 ü ý ÿý ÿþ ý õ õ b Hệ lực phẳng song song
Dạng 1 (Cơ bản) Điều kiện cần và đÿ để một hệ lực phẳng song song cân bằng là táng hình chiếu cÿa các lực lên một trục toạ độ không vuông góc với các lực và táng mô men cÿa các lực lấy với điểm bất kỳ đều bằng không. k o k
Y 0 m (F ) 0 ü ý ÿý ÿþ ý õ õ Trong đó trục y không được vuông góc với các lực thành phần.
Dạng 2 Điều kiện cần và đÿ để một hệ lực phẳng song song cân bằng táng mô men cÿa các lực lấy với hai điểm A, B bằng không
B k m (F ) 0 m (F ) 0 ü ý ÿý ÿþ ý õ õ Trong đó AB không được song song với các lực thành phần.
2.2.4 Bài toán ăng dÿng a Trình tự giải bài toán cân bằng
- Chọn vật khảo sát (Vật để xét cân bằng) Đây là những vật chịu các liên kết cần tìm phản lực tác dụng.
- Dùng tiên đề 6 để giải phóng liên kết (Chiều giả thiết).
- Chọn hệ trục và điểm lấy mô men
- Lập các phương trình cân bằng.
- Giải phương trình và biện luận kết quả. b Ví dụ
Tìm phản lực tại các liên kết A, B Cho biết: F1 = 10kN; F2 = 20kN; F3 = 15kN; F4 20kN
- Xột cõn bằng khung AB bởi hệ lực gòm cỏc ngoại lực: (F ,F ,F ,F ) 1 2 3 4
- Giải phóng liên kết tại A, B có các phản lực (V ,H ,V ) A A B
Vậy cỏc lực tỏc dụng lờn vật gòm: ứ F 1 ,F 2 ,F 3 ,F 4 ,V A ,H A ,V B ự ~ 0
- Chọn hệ trục quy chiếu như hình vẽ.
- Chọn một trong ba dạng phương trình cân bằng để viết điều kiện cân bằng cho vật: o k A 3 4 o k A B 2 1 4 o o
- Các phản lực liên kết mang dấu dương có nghĩa cùng chiều giả thiết.
Cho vật rắnchịu lực như hình vẽ,
Xác định phản lực liên kết tại điểm A, B
Bước 1: Giải phóng liên kết tại A, B có các phản lực (V , H , V ) A A B vậy các lực tác dụng lờn vật gòm:(P ,q, M, V , H , V ) 1 A A B 0
Bước 2:Chọn hệ trục quy chiếu như hình vẽ
Bước 3: Chọn một trong ba dạng phương trình cân bằng để viết điều kiện cân bằng cho vật
H A = -12kN: Phản lực mang dấu âm ngược chiều giả thiết
VA = 6,25kN, VB = 17,25kN: Phản lực mang dấu dương cùng chiều giả thiết
Cho khung chịu lực như hình vẽ,
Xác định phản lực liên kết tại A, B
Bước 1: Giải phóng liên kết tại A, B có các phản lực (V , H , V ) A A B vậy các lực tỏc dụng lờn vật gòm:(P ,q, M, V , H , V ) 1 A A B 0
Bước 2:Chọn hệ trục quy chiếu
Bước 3: Chọn một trong ba dạng phương trình cân bằng để viết điều kiện cân bằng cho vật
Phản lực mang dấu dương cùng chiều giả thiết
Tìm phản lực tại liên kết A Biết qmax kN/m; F kN; M 6kN.m; ý30 o
- Xột cõn bằng khung AB bởi hệ lực gòm cỏc ngoại lực: (F,Q, M)
- Giải phóng liên kết tại A, B có các phản lực (V ,H ,m ) A A A
Vậy cỏc lực tỏc dụng lờn vật gòm: ứ F , Q , M , V A , H A , m A ự ~ 0
- Chọn hệ trục quy chiếu như hình vẽ.
- Ta có hệ phương trình cân bằng. o k A A o k A A o
Các phản lực liên kết HA, mAmang dấu âm có nghĩa ngược chiều giả thiết.
CHÊĂNG 3 MịT Sị KHÁI NIịM VÂ SĂC BÂN VÀT LIịU
Nhÿng GiÁ ThiÁt Đòi Vỏi VÁt Liòu
Vật liệu cú tớnh liờn tục, đòng nhất và đẳng hướng
- Tính liên tục: Vật liệu chiếm đầy không gian cÿa vật thể.
- Tớnh đòng nhất: Cỏc điểm khỏc nhau trong lũng cÿa vật thể cú tớnh chất cơ học như nhau.
- Tính đẳng hướng: Tính chất cơ học cÿa vật thể theo mọi phương là như nhau
Biến dạng cÿa vật thể là biến dạng đàn hòi và đàn hòi tuyệt đối.
Biến dạng cÿa vật thể do ngoại lực gây ra là nhỏ so với kích thước cÿa chúng.
3.1.4 Nguyờn lý còng tỏc dÿng
Kết quả tác động lên một vật bởi một hệ lực được xác định bằng tổng hợp các tác động độc lập của từng lực thành phần.
Ngo¿i Lāc, Nòi Lāc Và PhÔÂng Phỏp M¿t C¿t
- Ngoại lực làlực tác dụng cÿa môi trường bên ngoài lên vật thể đang xét
- Ngoại lực bao gòm: Tải trọng và phản lực liờn kết.
- Ví dụ: Cho dầm chịu lực như hình vẽ.
Ngoại lực tỏc dụng lờn dầm bao gòm:
Phản lực liên kết: VA, H A , m A b Phân loại tải trọng (T heo hình thức tác động)
+ Lực phân bố thể tích: γ
+ Lực phân bố diện tích: p
3.2.2 Nòi lāc và phÔÂng phỏp m¿t c¿t a Khái niệm nội lực
- Giữa các phần tử vật chất luôn có các lực liên kết để giữ cho nó có hình dạng nhất định.
- Khi có ngoại lực tác dụng vật thể bị biến dạng, khi đó các lực liên kết có sự thay đái.
Sự thay đổi của các lực liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng được gọi là nội lực Phương pháp mặt cắt là một kỹ thuật quan trọng trong việc phân tích nội lực trong các cấu trúc.
- Để làm xuất hiện, biểu diễn và tính được nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt.
- Nội dung cÿa phương pháp mặt cắt:
+ Xột vật thể đàn hòi cõn bằng dưới tỏc dụng cÿa hệ lực: ứ F 1 ,F 2 , ,F n ự
+ Giả sử cần xác định nội lực tại điểm K Tưởng tượng dùng mặt cắt (π) đi qua điểm K, mặt cắt này chia vật thể làm 2 phần: (A) và (B)
+ Vì vật thể cân bằng nên các phần (A) và (B) cũng cân bằng
+ Xét cân bằng cÿa phần (A): Sở dĩ phần (A) cân bằng được là do trên mặt cắt
Trong phần (A), hệ nội lực (π) bao gồm các lực tương hỗ do phần (B) tác động lên phần (A), giúp cân bằng với các ngoại lực tác động lên phần này Hệ nội lực này được phân bố đồng đều trên toàn bộ mặt cắt của phần (A) Khái niệm ứng suất liên quan đến sự phân bố và tác động của các lực này.
- Xung quanh điểm K trên mặt cắt thuộc phần (A) ta lấy một diện tích khá bé
- Hợp lực cÿa nội lực trên A là P
lim0 : Āng suất tại điểm K
- Phân tích āng suất toàn phần P ra hai thành phầntheo hai phương u, v: uv
P: Āng suất toàn phầntại điểm đang xét ó u : Āng suất pháp tại điểm đang xét ô uv : Āng suất tiếp tại điểm đang xét u: Phương pháp tuyến cÿa mặt cắt.
31 Ã v: Phương tiếp tuyến cÿa mặt cắt.
+ Liên hệ: Pý ó u 2 ô uv 2 d Hợp lực của nội lực
- Thu gọn hệ nội lực trên mặt cắt về trọng tâm C cÿa nó ta được một véc tơ chính 'R và một mô men chính M C
+ Véc tơ chính R' được phân tích thành:
N z : Lực doc theo phương z + Mô men chính M C được phân tích thành:
M x : Mô men uốn trong mặt phẳng yz.
M y : Mô men uốn trong mặt phẳng xz
M z : Mô men xoắn trong mặt phẳng xy
Các mô men uốn (Mx, My), mô men xoắn (Mz), lực cắt (Qx, Qy) và lực dọc (Nz) là những thành phần áng lực tổng hợp từ nội lực trên toàn bộ tiết diện.
- Trong trường hợp bài toán phẳng (giả sử xét trong mặt phẳng yOz):
+ Āng lực trên mọi mặt cắt ngang chỉ còn lại 3 thành phần: Nz , Qy , Mx Ä ô uv ó u
+ Quy ước dấu cÿa chúng như sau: þ0
N z : Khi hướng ra khỏi mặt cắt. þ0
Q y : Khi cú chiều đi quanh phần đang xột thuận chiều kim đòng hò. þ0
M x : Khi có tác dụng làm căng thớ dưới cÿa thanh.
ĐắC TRÊNG HèNH HàC CĀA TIÀT DIịN
Diòn Tớch, Mụ Men T*nh, Trỏng Tõm
- Đặc trưng hình học cÿa tiết diện là những đặc trưng về diện tích, hình dáng và cách sắp đặt cÿa tiết diện.
Hiểu biết về các đặc trưng này giúp tính toán độ bền, độ cứng và độ ổn định của các cấu kiện công trình, từ đó thiết kế các tiết diện một cách hợp lý và tiết kiệm.
- Ví dụ: Cho thanh chịu uốn trong hai trường hợp như trên các hình (2.1a), (2.1b)
Bằng trực giác dễ dàng thấy rằng trường hợp (a) thanh chịu lực tốt hơn trường hợp (b) mặc dù diện tích tiết diện là không đái.
4.1.3 Mô men t*nh, tráng tâm
- Mô men tĩnh cÿa tiết diện đối với trục x:
- Mô men tĩnh cÿa tiết diện đối với trục y:
- Liên hệ giữa các mô men tĩnh và trọng tâm C (x C , y C) cÿa tiết diện:
- Công thāc xác định toạ độ trọng tâm C cÿa tiết diện: ÿÿ þ ÿÿ ý ü ý ý ý ý õ õ õ õ i
+ Các mô men tĩnh có thể nhận các giá trị: Dương, âm, hoặc bằng không.
+ Mô men tĩnh cÿa tiết diện đối với một trục đi qua trọng tâm luôn bằng không, và trục đó được gọi là trục trung tâm cÿa tiết diện
Ví dÿ 1 Xác định trọng tâm cÿa hình phẳng sau Cho biết các kích thước trên hình vẽ được cho theo đơn vị cm.
- Chia hình phẳng ra làm hai phần:
+ Phần (I): Hình chữ nhật kích thước 20x50(cm), trọng tâm C1, diện tích:
+ Phần (II): Hình chữ nhật kích thước 50x10(cm), trọng tâm C2, diện tích:
- Diện tích cÿa hình phẳng: Aý A I A II ý1000500ý1500cm 2
- Gắn vào hình phẳng các hệ trục toạ độđịaphương: x1C1y1, x2C2y2
- Nhận xét: Hình phẳng nhận trục y làm trục đối xāng( y ≡ y1≡ y2)
- Toạ độ trọng tâm C cÿa hình phẳng trong hệ trục toạ độ x 1 C1y1:
- Kết luận: Vậy hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa hình phẳng là xCy.
Các Mô Men Quán Tính
4.2.1 Mụ men quỏn tớnh đòi vỏi trÿc
- Mô men quán cÿa tiết diện đối với trục x:
- Mô men quán cÿa tiết diện đối với trục y:
Nhận xét: Các mô men quán tính cÿa tiết diện đối với một trục luôn nhận giá trị dương.
4.2.2 Mô men quán tính ly tâm
Mô men quán tính ly tâm cÿa tiết diện đối với hệ trục xy:
- Mô men quán tính ly tâm cÿa tiết diện đối với một hệ trục có thể nhận các giá trị: Dương, âm, hoặc bằng không.
Mô men quán tính ly tâm của tiết diện đối với một hệ trục bằng không được gọi là hệ trục quán tính chính của tiết diện.
4.2.3 Mô men quán tính cāc
Mô men quán tính cực cÿa hình phẳng đối với một điểm:
I ýò dA Đơn vị: cm 4 , mm 4
Nhận xét: Mô men quán tính cực cÿa hình phẳng đối với một điểm luôn nhận giá trị dương.
Liên hệ giữa mô men quán tính cực và các mô men quán tính đối với trục: y x
4.2.4 Hò trÿc quỏn tớnh chớnh trung tõm
- Hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa tiết diện là hệ trục quán tính chính có gốc trùng với trọng tâm cÿa tiết diện.
- Như vậy, nếu xOy là hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa tiết diện khi:
Trong trường hợp tiết diện có trục x là trục đối xứng và C là trọng tâm của tiết diện, hệ trục sẽ bao gồm trục x và trục y đi qua trọng tâm C, tạo thành một hệ trục quán tính chính trung tâm của tiết diện.
Các mô men quán tính của tiết diện đối với hệ trục quán tính chính trung tâm được gọi là các mô men quán tính chính trung tâm Chứng minh cho thấy rằng các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện là các mô men quán tính cực trị trong số các mô men quán tính của tiết diện đối với hệ trục trung tâm.
4.2.5 Mụ men quỏn tớnh cāa mòt sò tiÁt diòn đÂn giÁn a Tiết diện hình chữ nhật
I y ý b Tiết diện h ình tròn đặc Đường kính: D
I ýD c Tiết diện h ình tròn rỗng Đường kính ngoài: D, tỷ số đường kính trong và đường kính ngoài:
4.2.6 Công thăc chuyển trÿc song song
- Trường hợp xOy là hệ trục trung tâm:
Trong đó: (a, b) là toạ độ cÿa điểm Otrong hệ toạ độ x 1O1 y 1.
Mụ men chòng uòn cāa tiÁt diòn
Mô men chống uốn cÿa tiết diện đối với các trục: x, y là các đặc trưng hình học được định nghĩa dưới dạng biểu thāc: ax ax x x m y y m
Mô men quán tính I x và I y của tiết diện được xác định theo các trục x và y, trong khi x max và y max là khoảng cách từ các điểm xa nhất của tiết diện đến hai phía của các trục này Đơn vị đo lường cho các mô men quán tính là cm³ và mm³ Bài viết cũng đề cập đến mô men chống uốn của một số tiết diện đơn giản.
Tiết diện hình chữ nhật
Tiết diện hình tròn đặc Đường kính: D
Tiết diện hình tròn rỗng Đường kính ngoài: D, tỷ số đường kính trong và đường kính ngoài:
Bỏn kớnh quỏn tớnh cāa tiÁt diòn
Bán kính quán tính cÿa tiết diện đối với các trục: x, y là các đặc trưng hình học được định nghĩa dưới dạng biểu thāc:
Mô men quán tính I x và I y của tiết diện được tính đối với các trục x và y, trong khi x max và y max là khoảng cách từ các điểm xa nhất của tiết diện đến hai trục y và x Đơn vị đo lường cho các giá trị này là cm³ và mm³ Bài viết cũng đề cập đến bán kính quán tính của một số tiết diện đơn giản.
Tiết diện hình chữ nhật
Tiết diện hình tròn đặc Đường kính: D x y 4 r ý ýr D
Tiết diện hình tròn rỗng Đường kính ngoài: D, tỷ số đường kính trong và đường kính ngoài:
Bài Toán Ăng Dÿng
Ví dÿ 2 Xác định các đặc trưng hình học: Ix, I y cÿa hình phẳng sau Cho biết các kích thước trên hình vẽ được cho theo đơn vị cm.
- Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa hình phẳng.
+ Chia hình phẳng ra làm hai phần:
Phần (I): Hình chữ nhật kích thước 25x40(cm), trọng tâm C1, diện tích:
A I = 25.40 = 1000cm 2 Phần (II): Hình chữ nhật kích thước 50x10(cm), trọng tâm C 2 , diện tích:
A II = 55.20 = 1100cm 2 + Diện tích cÿa hình phẳng: Aý A I A II ý10001100ý2100cm 2
+ Gắn vào hình phẳng các hệ trục toạ độđịaphương: x1C 1 y 1 , x 2 C 2 y 2
+ Nhận xét: Hình phẳng nhận trục y làm trục đối xāng ( y ≡ y1≡ y2)
+ Toạ độ trọng tâm C cÿa hình phẳng trong hệ trục toạ độ x2C2y2:
+ Kết luận: Vậy hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa hình là xCy.
- Xác định các đặc trưng hình học Ix, I y cÿa hình phẳng
Ví dÿ 3 Xác định các đặc trưng hình học: Ix, Iycÿa tiết diện ghép sau
- Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa hình phẳng.
+ Chia hình phẳng làm hai phần:
Phần (I): Thép I N o 20, trọng tâm C1 Tra bảng ta được:
4 , 26 cm I cm I cm A y x ý ý ý cm z cm I cm I cm A y x
Phần (II): Thép C N o 20, trọng tâm C2 Tra bảng ta được:
+ Diện tích cÿa hình phẳng: A ý A I A II ý26 , 423 , 4ý49 , 8 cm 2
+ Gắn vào hình phẳng các hệ trục toạ độđịa phương: x1C1y1, x2C2y2 + Nhận xét: Hình phẳng nhận trục x làm trục đối xāng.
+ Toạ độ trọng tâm C cÿa hình phẳng trong hệ toạ độ x1C1y1:
+ Kết luận: Vậy hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa hình là xCy
- Xác định các đặc trưng hình học I x , I y cÿa hình phẳng.
CH£¡NG 5 KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM
Khỏi Niòm
- Thanh chịu kộo, nộn đỳng tõm khi trờn mặt cắt ngang cÿa thanh chỉ tòn tại một thành phần āng lực duy nhất là lực doc N z
- Quy ướcdấu cÿa lực dọc:
+ N z > 0: thanh chịu kéo đúng tâm.
+ N z < 0: thanh chịu kéo nén tâm.
- Quy ước vẽ biểu đò lực dọc: (N z )
+ N z > 0: đặt tung độ lên phía trên (hoặc bên phải) đường chuẩn.
+ N z < 0: đặt tung độ xuống phía dưới (hoặc bên trái) đường chuẩn.
Ăng Su¿t Trên M¿t C¿t Ngang
5.2.1 Quan sỏt biÁn d¿ng cāa thanh chòu kộo, nộn đỳng tõm
- Trước khi cho thanh chịu lực ta kẻ ra mặt ngoài thanh những đường kẻ song song và vuông góc với trục thanh (Xem hình 3.2a)
- Sau khi cho thanh chịu lực (Xem hình 3.2b), quan sát biến dạng ta thấy: +
Những đường thẳng vẫn thẳng và song songhoặn vuông góc với trục thanh.
+ Khoảng cách giữa các đường thẳng có sự thay đái nhưng các góc vuông không thay đái.
Kết luận, các phân tố chỉ có biến dạng dài mà không có biến dạng góc Ở mỗi điểm trên mặt cắt ngang của thanh, chỉ tồn tại một thành phần ứng suất duy nhất, đó là ứng suất pháp.
5.2.2 Công thăc tính ăng su¿t
- Đơn vị: N/mm 2 , kN/cm 2
N z : Lực dọc tại tiết diện đang xét.
BiÁn D¿ng
- Biến dạng dài tỷ đối
- Biến dạng dài tuyệt đối
+ Khi thanh gòm nhiều đoạn sao cho trờn mỗi đoạn const
Đ¿c TrÔng CÂ Hỏc Cāa VÁt Liòu
+ Khi bị phá hoại có biến dạng lớn, quan sát được bằng mắt trong điều kiện thường.
+ Vớ dụ: Thộp, đòng, chất dẻo, …
+ Khi bị phá hoại có biến dạng nhỏ, không quan sát được bằng mắt trong điều kiện thường.
+ Ví dụ: Bê tông, gạch, gang, …
5.4.2 Cỏc đ¿c trÔng c hỏc cāa vÁt liòu a Vật liệu dẻo Đồ thị thí nghiệm và đặc trưng cơ học khi kéo vật liệu dẻo
+ Đò thị quan hệ lực - biến dạng dài
+ Đò thị quy ước āng suất - biến dạng.
- Đặc trưng cơ học cÿa vật liệu dẻo khi kéo: Ãtl, Ãch, Ãb Đồ thị thí nghiệm và đặc trưng cơ học khi nén vật liệu dẻo
- Đò thị quy ước āng suất - biến dạng
- Đặc trưng cơ học cÿa vật liệu dẻo khi nén: Ãtl, Ãch
Các đặc trưng cơ học của vật liệu dẻo khi kéo và nén là tương đương, cho thấy khả năng chịu kéo và nén của chúng là như nhau Đối với vật liệu giòn, đồ thị thí nghiệm và đặc trưng cơ học khi kéo cho thấy sự khác biệt rõ rệt trong khả năng chịu lực.
- Đò thị quy ước āng suất - biến dạng.
- Đặc trưng cơ học cÿa vật liệu giòn khi kéo: ó b k Đồ thị thí nghiệm và đặc trưng cơ học khi nén vật liệu giòn
- Đò thị quy ước āng suất - biến dạng.
- Đặc trưng cơ học cÿa vật liệu giòn khi nén: ó b n
Giới hạn bền khi nén của vật liệu dẻo vượt trội hơn nhiều so với giới hạn bền khi kéo, cho thấy rằng vật liệu này có khả năng chịu nén tốt hơn so với chịu kéo.
ĐiÃu Kiòn BÃn - Cỏc Bài Toỏn CÂ BÁn
5.5.1 ĐiÃu kiòn bÃn a Khái niệm về ứng suất cho phép
- Āng suất cho phép là trị số āng suất giới hạn đảm bảo cho vật liệu cÿa vật thể làm việc bình thường.
- Đơn vị: N/mm 2 , kN/cm 2
- Giá trị cÿa āng suất cho phép phụ thuộc từngloại vật liệu và được xác định từ thực nghiệm:
ý n ó o ó ý Trong đó: ó o : Āng suất nguy hiểm. n: Hệ số an toàn. b Điều kiện bền
- Bài toán kiểm tra bền.
- Bài toán thiết kế tiết diện.
- Bài toán xác định tải trọng tác dụng cho phép.
Để kiểm tra điều kiện bền cho thanh AB trong hệ chịu lực như hình vẽ với M = 34kN và q = 8kN/m, cần tính toán ứng suất và độ bền của vật liệu Thanh AB có diện tích mặt cắt AAB = 2,8cm², ứng suất cho phép [Ã] = 16kN/cm² và mô đun đàn hồi E = 2,1 x 10^4 kN/cm² Sau khi xác định ứng suất tác động lên thanh, so sánh với ứng suất cho phép để đảm bảo thanh AB đáp ứng điều kiện bền Đồng thời, cần xác định chuyển vị tại điểm C để đánh giá khả năng chịu tải của hệ thống.
Bài giÁi a Kiểm tra điều kiện bền cho thanh AB.
- Xác định lực dọc trên thanh AB.
+ Thực hiện mặt cắt 1-1 đi qua thanh AB, sau đó giữ và xét cân bằng phần bên dưới mặt cắt:
+ Thiết lập phương trình cân bằng mô men đối với điểm D õ m C ý 0 N z AB 3 M q 3 1 , 5 ý 0 q kN
- Điều kiện bền cho thanh AB:
- Kết luận: Thanh AB đảm bảo điều kiện bền b Xác định chuyển vị đāng tại C.
- Xác định chuyển vị đāng tại B:
- Liên hệ về chuyển vị tại C và B: + Vẽ hình: Do thanh CD tuyệt đối cāng nên khi B di chuyển đến B’ thì C
- Chuyển vị đāng tại C: cm
- Kết luận: C chuyển vị thẳng xuống dưới một đoạnCC’ = 0,227cm
Để xác định diện tích tiết diện thanh AB (AAB) cho hệ chịu lực như hình vẽ, với tải trọng P là 24kN và q là 9kN/m, cần đảm bảo hệ làm việc an toàn và tiết kiệm Với đặc tính vật liệu của thanh AB là [Ã] = 14kN/cm² và E = 2,1 x 10⁴ kN/cm², bước đầu tiên là tính toán AAB sao cho đáp ứng yêu cầu an toàn Sau khi chọn AAB, tiếp theo cần xác định độ giãn dài của thanh để đảm bảo tính ổn định của hệ thống.
Bài giÁi a Xác định diện tích tiết diện thanh AB.
- Xác định lực dọc trên thanh AB
+ Thực hiện mặt cắt 1-1 đi qua thanh AB, sau đó giữ và xét cân bằng phần bên dưới mặt cắt:
+ Thiết lập phương trình cân bằng mô men đối với điểm D õ m D ý 0 N z AB 4 P 2 q 2 1 ý 0 q kN
- Áp dụng điều kiện bền cho thanh AB ta được:
- Kết luận: Để hệ làm việc an toàn, tiết kiệm ta chọn: A AB ý1,18cm 2 b Xác định độ giãn dài cÿa thanh AB.
- Độ giãn dài cÿa thanh AB
- Kết luận: Thanh AB giãn dài một đoạn: l AB ý0,16cm
Ví dÿ 3 Cho hệ chịu lực như hình vẽ Thanh BD tuyệt đối cāng Thanh AB có:
AAB = 4cm 2 ; [Ã] = 16kN/cm 2 a Xác định lực dọc trên thanh AB theo tải trọng phân bố đều q. b Hãy xác định q để hệ làm việc an toàn, tiết kiệm.
Bài giÁi a Xác định lực dọc trên thanh AB.
- Thực hiện mặt cắt 1-1 đi qua thanh AB, sau đó giữ và xét cân bằng phần bên dưới mặt cắt:
+ Thiết lập phương trình cân bằng mô men đối với điểm D õ m D ý 0 N z AB 3 q 5 2 , 5 ý 0 q q
b Hãy xác định q để hệ làm việc an toàn, tiết kiệm.
- Áp dụng điều kiện bền cho thanh AB ta được:
- Kết luận: Để hệ làm việc an toàn, tiết kiệm ta chọn: q ý 15 , 34 kN / m
UịN NGANG PHÂNG
Khỏi Niòm
Biến dạng uốn là một loại biến dạng phá hủy, đóng vai trò quan trọng trong kết cấu công trình Khi sub chịu uốn, trục thanh sẽ thay đổi độ cong, và trên tiết diện của nó sẽ xuất hiện mô men uốn nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh, được gọi là mặt phẳng uốn.
Ngoại lực gây uốn có thể là lực P hoặc q, với phương vuông góc so với trục thanh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh Ngoài ra, mô men cũng có thể nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh.
- Nếu các ngoại lực cùng nằm trong một mặt phẳng thì mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng tải trọng. Đường tải trọng
- Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng.
- Mặt phẳng chāa trục thanh z và một trục quán tính chính trung tâm x hoặc y cÿa tiết diện được gọi là mặt phẳng quán tính chính trung tâm cÿa thanh.
Khi mặt phẳng uốn trùng với mặt phẳng quán tính chính trung tâm, thanh sẽ chịu uốn phẳng Thanh có khả năng chịu uốn trong mặt phẳng yz dưới tác động của mô men uốn Mx, hoặc trong mặt phẳng xz nhờ vào mô men uốn My.
Thanh chịu uốn ngang phẳng trong mặt cắt ngang sẽ có các thành phần lực tác động, bao gồm Qy và Mx khi thanh uốn trong mặt phẳng yz, hoặc Qx và My khi thanh uốn trong mặt phẳng xz.
Dưới đây, ta chỉ xét các bài toán thanh chịu uốn ngang phẳng trong mặt phẳng yz Do vậy, các thành phần āng lực trên mặt cắt ngang thanh: Q y , M x
- Ví dụ 1: thanh AD chịu uốn phẳng (Uốn trong mặt phẳng yz) như hình vẽ.
Biểu Đò Ăng Lāc
- Biểu đò āng lực là đò thị biểu diễn sự biến thiờn cÿa cÿa āng lực dọc theo trục thanh.
- Quy ước vẽ cỏc biểu đò āng lực:
+ Cỏc biểu đò được vẽ từ trỏi sang phải.
+ Cỏc biểu đò được xuất phỏt từ đường chuẩn và cuối cựng trở về đường chuẩn.
+ Cỏc tung độ dương cÿa biểu đò lực dọc, lực cắt dựng về phớa bờn trờn đường chuẩn.
+ Cỏc tung độ dương cÿa biểu đò mụ men uốn dựng về phớa bờn dưới đường chuẩn.
+ Cỏc biểu đò lực dọc, lực cắt cú mang dấu, biểu đò mụ men uốn khụng mang dấu.
+ Trờn cỏc biểu đò āng lực chỉ ghi cỏc con số thể hiện độ lớn cÿa āng lực.
6.2.2 V¿ biểu đò ăng lāc bÁng phÔÂng phỏp m¿t c¿t biÁn thiờn a Nội dung
Thực hiện mặt cắt táng quát trên các đoạn thanh để phân tích cấu trúc Sau đó, giữ và kiểm tra cân bằng một phần của thanh đang xét nhằm xác định các thành phần lực tác động trên mặt cắt táng quát Trình tự thực hiện các bước này cần được tuân thủ để đảm bảo tính chính xác trong quá trình phân tích.
+ Xác định các phản lực liên kết.
+ Chia đoạn thanh: Chia thanh tại các vị trí có sự thay đái cÿa ngoại lực hoặc tiết diện.
+ Xác định các thành phần āng lực trên mỗi đoạn sử dụng các mặt cắt táng quát
+ Vẽ cỏc biểu đò āng lực. c Bài toán ứng dụng
Vớ dÿ 1 Vẽ cỏc biểu đò āng lực cho thanh CB chịu lực như hỡnh vẽ sau Cho biết: P1 = 12kN; P2 = 15kN; M = 27kNm; q = 4kN/m
- Xác định các phản lực liên kết.
- Chia thanh làm 2 đoạn: CA, AB.
- Xác định các thành phần āng lực
+ Trên đoạn CA: Thực hiện mặt cắt 1-1 cách điểm C một khoảng z1sau đó giữ và xét cân bằng phần bên trái mặt cắt (0 ≤ z1≤ 2m).
+ Trên đoạn AB: Thực hiện mặt cắt 2-2 cách điểm B một khoảng z2sau đó giữ và xét cân bằng phần bên phải mặt cắt (0 ≤ z2≤ 6m).
- Vẽ cỏc biểu đò āng lực: (Nz), (Q y ), (M x )
Tại B (z2 = 0): N z ý15kN; Q y ý12,5kN; M x ý0 Tại D ( z 2 ý3 , 125 m ): N z ý15kN; Q y ý0; kNm M
Vớ dÿ 2 Vẽ cỏc biểu đò āng lực cho thanh AB chịu lực như hỡnh vẽ sau Cho biết: M = 40kNm; q = 6kN/m.
- Xác định các phản lực liên kết.
- Chia thanh làm 2 đoạn: AC, CB.
- Xác định các thành phần āng lực
+ Nhận xột: Do khụng tòn tại ngoại lực theo phương z nờn Nz = 0 Cỏc thành phần āng lực chỉ còn: Qy và Mx
+ Trên đoạn AC: Thực hiện mặt cắt 1-1 cách điểm A một khoảng z1sau đó giữ và xét cân bằng phần bên trái mặt cắt (0 ≤ z 1 ≤ 2m).
+ Trên đoạn CB: Thực hiện mặt cắt 2-2 cách điểm B một khoảng z2sau đó giữ và xét cân bằng phần bên phải mặt cắt (0 ≤ z2≤ 5m).
- Vẽ cỏc biểu đò āng lực: (Nz), (Q y ), (M x )
Tại A (z1 = 0): Q y ý5kN; M x ý0 Tại C (z1 = 2m): Q y ý5kN; M x ý5.2ý10kNm
Vớ dÿ 3 Vẽ cỏc biểu đò āng lực cho thanh AB chịu lực như hỡnh vẽ sau Cho biết: P = 16kN; q = 5kN/m.
- Xác định các phản lực liên kết.
- Chia thanh làm 2 đoạn: AC, CB.
- Xác định các thành phần āng lực
+ Nhận xột: Do khụng tòn tại ngoại lực theo phương z nờn Nz = 0; Cỏc thành phần āng lực chỉ còn: Qy và Mx
+ Trên đoạn AC: Thực hiện mặt cắt 1-1 cách điểm A một khoảng z1sau đó giữ và xét cân bằng phần bên trái mặt cắt (0 ≤ z1≤ 2m).
+ Trên đoạn CB: Thực hiện mặt cắt 2-2 cách điểm B một khoảng z2sau đó giữ và xét cân bằng phần bên phải mặt cắt (0 ≤ z2≤ 4m).
- Vẽ cỏc biểu đò āng lực: (Nz), (Qy), (Mx)
6.2.3 V¿ biểu đò ăng lāc bÁng phÔÂng phỏp nhÁn xột a Quan hệ giữa các thành phần ứng lực và tải trọng ngangQuan hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải trọng phân bố dz q dQ dz
- Quy ước: q > 0 khi có chiều đi lên.
Quan hệ bước nhảy của biểu đồ mô men uốn, lực cắt và tải trọng tập trung
+ Bước nhảy lực cắt: P > 0 khi có chiều đi lên.
+ Bước nhảy mụ men uốn: M > 0 khi cú chiều quay thuận chiều kim đòng hò.
Để xác định các thành phần lực tại các điểm đặc biệt của thanh, cần phân tích lực tại đầu và cuối mỗi đoạn Dựa vào dạng biểu đồ lực trên các đoạn thanh, chúng ta có thể tiến hành vẽ nhanh các biểu đồ lực một cách hiệu quả.
Các nhận xét cần chú ý:
+ Tại điểm đặt lực tập trung P biểu đò (Qy) cú bước nhảy, biểu đò (Mx) góy khúc
+ Tại điểm đặt mụ men tập trung M biểu đò (Qy) khụng cú gỡ thay đỏi, biểu đò
+ Trờn đoạn thanh khụng cú tải trọng phõn bố (q = 0), biểu đò (Qy) là hằng số, biểu đò (Mx) là đường bậc nhất.
+ Trờn đoạn thanh cú tải trọng phõn bố là hằng số (q = const), biểu đò (Qy) là đường bậc nhất, biểu đò (Mx) là đường cong bậc hai.
+ Nếu trờn đoạn thanh đang xột cú Qy > 0 thỡ Mxđòng biến và ngược lại Tại vị trí: Q y = 0 và đái dấu thì Mxđạt cực trị.
+ Giá trị lực cắt Qy tại điểm sau bằng giá trị Qy tại điểm trước cộng với diện tích tải trọng phân bố q trên đoạn đó.
Giá trị mô men uốn Mx tại điểm sau được tính bằng giá trị Mx tại điểm trước cộng với diện tích của biểu đồ lực cắt Q trên đoạn đó.
+ Xác định các phản lực liên kết.
+ Chia đoạn thanh: Chia thanh tại các vị trí có sự thay đái cÿa ngoại lực hoặc tiết diện.
+ Vẽ biểu đò lực cắt (Qy)
+ Vẽ biểu đò mụ men uốn (Mx) d Bài toán ứng dụng
Vớ dÿ 4 (xem hỡnh 3.10.a ) Bằng phương phỏp nhận xột, hóy vẽ cỏc biểu đò āng lực: (Q y ), (M x ) cho dầm sau Biết P = 24 kN
- Xác định phản lực liên kết:
Dầm đơn giản gối tựa hai đầu và chịu tải trọng tập trung ở chính giữa thì có: A C 24
Q 12 12 0. tr ph tr tr ph tr tr ph tr
Vớ dÿ 5 (xem hỡnh 3.11.a) Bằng phương phỏp nhận xột, hóy vẽ cỏc biểu đò āng lực: (Q y ), (M x ) cho dầm sau Biết q = 9 kN/m
- Xác định phản lực liên kết:
Dầm đơn giản gối tựa hai đầu và chịu tải trọng phân bố đều thì có:
Q 15,3 15,3 0. tr ph tr tr ph ph tr
Vớ dÿ 6 (xem hỡnh 3.13.a ) Bằng phương phỏp nhận xột, hóy vẽ cỏc biểu đò āng lực: (Q y ), (M x ) cho d ầm sau Biết P = 20 kN
- Xác định phản lực liên kết:
+ Các lực tác dụng lên dầm AB : (V A , H A , m A , P) ≡ 0 trong đó: H A = 0 (tải trọng tác dụng lên dầm có phương vuông góc với trục dầm)
+ Gắn hệ trục quy chiếu như hình vẽ
+ Lập và giải hệ phương trình cân bằng :
Q 20 20 0 tr ph tr tr ph tr
Vớ dÿ 7 (xem hỡnh 3.14.a ) Bằng phương phỏp nhận xột, hóy vẽ cỏc biểu đò āng lực: ( Q y ), (M x ) cho dầm sau Biết P 1 = P 2 = 24 kN
- Xác định phản lực liên kết:
+ Các lực tác dụng lên dầm AB : (V A , H A , P 1 , P 2 , V D ) ≡ 0; trong đó: H A = 0 (tải trọng tác dụng lên dầm có phương vuông góc với trục dầm)
+ Gắn hệ trục quy chiếu như hình vẽ
+ Lập và giải hệ phương trình cân bằng :
Khi có một sơ đồ tải trọng với lực tập trung có độ lớn bằng nhau và cách đều hai gối tựa, phản lực tại hai gối tựa sẽ bằng nhau và có độ lớn tương đương với tải trọng tập trung.
Vớ dÿ 8 Vẽ cỏc biểu đò āng lực cho thanh AB chịu lực như hỡnh vẽ sau Cho biết: P = 36kNm; M = 82kNm.
- Xác định các phản lực liên kết
- Chia thanh làm 2 đoạn: AC, CB.
- Vẽ biểu đò lực cắt (Qy)
Tại A: Q Tr A ý 0; Q A Ph ýQ A Tr V A ý013ý13kN
Tại B: Q B Tr ýQ A Ph ý13kN; Q B Ph ýQ B Tr P ý1324ý11kN
Tại D: Q D Tr ýQ C ý11kN; Q D Ph ýQ D Tr V D ý1111ý0
- Vẽ biểu đò mụ men uốn (Mx)
A ph tr tr ph tr tr ph tr
Vớ dÿ 9 Vẽ cỏc biểu đò āng lực cho thanh AB chịu lực như hỡnh vẽ sau Cho biết: M = 35kNm; q = 9kN/m.
- Xác định các phản lực liên kết
- Chia thanh làm 3 đoạn: AB, BC, CD
- Vẽ biểu đò lực cắt (Qy)
Tại A: Q Tr A ý0; Q A Ph ýQ A Tr V A ý013,25ý13,25kN
Tại B: Q B ý Q A Ph ý13,25 kN Tại C: Q C Tr ýQ B ý-13,25kN;
Q C Ph ý C Tr C ý13,2531,25ý18 Tại D: Q D ýQ C Ph S q CD ý189 2ý0
- Vẽ biểu đò mụ men uốn (Mx)
Tại B: M B Tr ý M A A ( ) AB Q ý 0 2.13, 25 ý 26,5 kNm kNm M
M B Ph ý B Tr ý26,535ý8,5 Tại C: M C ý M B Ph A ( ) BC Q ý 8,5 2.13, 25 ý 18 kNm
Vớ dÿ 10 Vẽ cỏc biểu đò āng lực cho thanh AB chịu lực như hỡnh vẽ sau Cho biết: M = 64kNm; P = 24kN; q = 8kN/m.
- Xác định các phản lực liên kết:
Chia thanh làm 2 đoạn: AB, BC.
- Vẽ biểu đò lực cắt (Qy)
Tại A: Q Tr A ý0; Q A Ph ýQ A Tr Pý024ý24kN
Tại C: Q C Tr ýQ B ý56kN; Q C Ph ýQ C Tr V C ý5656ý0
- Vẽ biểu đò mụ men uốn (Mx)
Tại C: M C Tr ý M B Ph A ( ) BC Q ý 96 3.56 ý 264 kNm ;
Ăng su¿t trên m¿t c¿t ngang
6.3.1 Ăng su¿t phỏp Biểu đò phõn bò trờn m¿t c¿t ngang a Công thức tính ứng suất pháp
+ Đơn vị: N/mm 2 , kN/cm 2
M x : Mô men uốn tại tiết diện đang xét.
I x : Mô men quán tính cÿa tiết diện đối với trục trung hoà x. y: Tung độ cÿa điểm tính āng suất.
Lấy dấu (+) nếu điểm tính āng suất nằm trong miền chịu kéo cÿa tiết diện.
Lấy dấu (-) nếu điểm tính āng suất nằm trong miền chịu nén cÿa tiết diện.
- Āng suất pháp cực trị:
+ Ký hiệu: y k và y n là toạ độ tương āng cÿa mép tiết diện chịu kéo và mép tiết diện chịu nén thì các āng suất pháp cực trị: k x x k x x z W y M I
W ý I là một đặc trưng hình học cÿa tiết diện, được gọi là mô men chống uốn cÿa tiết diện đối với trục x
+ Trường hợp tiết diện đối xāng qua trục x:
W x k ý x n ý x ý x Với tiết diện chữ nhật bxh:
Với tiết diện tròn đặc đường kính D:
W x ý û Với tiết diện tròn rỗng, đường kính ngoài D, tỷ số đường kính trong và đường kính ngoài
M ý ómin b Biểu đồ ứng suất
Theo chiều cao tiết diện, biểu đồ ứng suất phớt (σz) là đường bậc nhất, bằng không tại đường trung hòa và đạt giá trị lớn nhất tại hai mép tiết diện: σz max và σz min.
6.3.2 Ăng su¿t tiÁp Biểu đò phõn bò trờn m¿t c¿t ngang a Công thức tính ứng suất tiếp c x c x y zy I b
Q : y Lực dọc tại tiết diện đang xét c
Mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt bởi một đường thẳng song song với trục trung hòa x tại điểm đang xét được xác định bởi trị số tuyệt đối của nó.
I x : Mô men quán tính cÿa tiết diện đối với trục trung hoà x b c : Bề rộng cÿa tiết diện tại điểm đang xét. Đơn vị: N/mm 2 , kN/cm 2
Tính toán ứng suất tiếp (Ä zy) tại các điểm A (-8cm, 0), B (0, 4cm), và C (4cm, 5cm) trên tiết diện chữ nhật có kích thước 16x20 cm Lực cắt tại tiết diện được cho là Q y = 20 kN.
- Các đặc trưng hình học cÿa tiết diện
+ Các trị số tuyệt đối cÿa mô men tĩnhcÿa phần diện bị cắt:
S x c C ý ý + Mô men quán tính cÿa tiết diện đối với trục x.
+ Bề rộng cÿa tiết diện tại các điểm đang xét. cm b c ý16
-Āng suất tiếp tại điểm A:
-Āng suất tiếp tại điểm B:
-Āng suất tiếp tại điểm C:
C y zy ý ýý ý ô b Sự phân bố ứng suất tiếp trên một số mặt cắt ngang thường gặp
- Mặt cắt hình chữ nhật. ữứ ữ ử ứ ử ý 2 2
- Mặt cắt hình chữ I (Xét những điểm thuộc phần bụng) d I
Kiểm Tra BÃn Các Bài Toán C¢ BÁn
Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt có các thành phần āng lực đạt giá trị lớn nhất: max
6.3.2 ĐiÃu kiòn bÃn a Điều kiện bền ứng suất pháp
n z k z ó ó ó ó min max b Điều kiện bền ứng suất tiếp
ýô ô zy max trong đó: ý ô là āng suất tiếp cho phép Giá trị cÿa ý ô phụ thuộc từng loại vật liệu và được xác định từ thực nghiệm.
- Bài toán kiểm tra bền.
- Bài toán thiết kế tiết diện.
- Bài toán xác định tải trọng tác dụng cho phép.
Dầm tiết diện chữ I số hiệu I N o 20 được phân tích dưới tác động của lực như hình vẽ Đầu tiên, cần vẽ biểu đồ lực cắt (Q y) cho dầm để xác định phân bố lực Sau đó, tiến hành kiểm tra điều kiện bền và ứng suất tiếp cho dầm nhằm đảm bảo rằng dầm có khả năng chịu lực an toàn và hiệu quả.
Biết:[Ä] = 4kN/cm 2 ; M = 20kNm; q = 8kN/m
Bài giÁi a Vẽ biểu đò lực cắt (Q y ) cho dầm.
- Xác định các phản lực liên kết.
- Chia dầm làm 3 đoạn: AC, CD, DB
- Vẽ biểu đò lực cắt (Qy)
Tại A: Q Tr A ý 0, Q A Ph ýQ Tr A V A ý03ý3kN
Tại B: Q B Tr ýQ D ý13kN, Q B Ph ýQ B Tr V B ý1313ý0 b Kiểm tra điều kiện bền āng suất tiếp cho dầm.
- Nhận xột: Từ biểu đò āng lực ta thấy Q y max ý13 kN
- Các đặc trưng hình học cÿa tiết diện:
Tra bảng thép định hình với thép I số hiệu N o 20 ta có:
- Kiểm tra điều kiện bền āng suất tiếp:
- Kết luận: Dầm đảm bảo điều kiện bền āng suất tiếp.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích một dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật dưới tác động của lực Đầu tiên, cần vẽ biểu đồ mô men uốn (M x) cho dầm Tiếp theo, chúng ta sẽ vẽ biểu đồ ứng suất pháp (σ z) cho mặt cắt ngang nguy hiểm Cuối cùng, tiến hành kiểm tra điều kiện bền ứng suất pháp cho dầm để đảm bảo tính an toàn và ổn định của kết cấu.
Cho biết: P = 15kN; q = 4kN/m; M = 24kNm; [Ã] = 14kN/cm 2
Bài giÁi a Vẽ biểu đò mụ men uốn (Mx) cho dầm.
- Chia dầm làm 2 đoạn: AB, BC
- Vẽ biểu đò mụ men uốn (Mx)
Tại A: M A ý0 Tại B: M B Tr ý P 4 q 4.2ý15.44.4.2ý92 kMm ; kNm M
M C b Vẽ biểu đò āng suất phỏp (Ã z ) cho mặt cắt ngang nguy hiểm.
- Nhận xột: Từ biểu đò mụ men uốn (M x ) ta thấy M x max ý130kNm
- Mô men kháng uốn cÿa tiết diện đối với trục x:
- Các āng suất pháp cực trị:
- Vẽ biểu đò āng suất phỏp (Ãz): Xem hỡnh 6.10c c Kiểm tra điều kiện bền āng suất pháp cho dầm.
- Nhận xét: ó z max ý10 , 74 kN / cm 2 ü ýó ý14 kN / cm 2 Thoả mãn.
- Kết luận:Dầm đã cho thoả mãn điều kiện bền.
Ví dụ 5 Cho một dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu lực như hình vẽ a Vẽ các biểu đồ ứng lực (Qy) và (Mx) b Xác định ứng suất pháp lớn nhất (ó z max) và ứng suất tiếp lớn nhất (ô zy max) tại mặt cắt ngang nguy hiểm c Vẽ các biểu đồ ứng suất: (Ãz) và (Äzy) cho mặt cắt ngang nguy hiểm.
Bài giÁi a Vẽ cỏc biểu đò āng lực(Qy), (Mx)
- Xác định các phản lực liên kết
- Chia dầm làm 2 đoạn: AB, BC.
- Vẽ biểu đò lực cắt (Qy) Tại A: Q Tr A ý0; Q A Ph ýQ A Tr V A ý04ý4kN
Tại B: Q B Tr ýQ A Ph S q AB ý44.4ý12kN; Q B Ph ýQ B Tr V B ý1212ý0
- Vẽ biểu đò mụ men uốn (Mx) Tại A: M A ý 0
C ý ý16 , M C Ph ýM C Tr M ý 1616ý0 b Xác định ó z max và ô zy max
- Nhận xột: Từcỏc biểu đò āng lực ta thấy Q y max ý12 kN ; M x max ý16kNm
- Xác định các đặc trưng hình học cÿa tiết diện:
+ Mô men kháng uốn cÿa tiết diện đối với trục x:
- Āng suất pháp lớn nhất trên mặt cắt ngang:
- Āng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang:
Q y zy ý ý ý ô c Vẽ cỏc biểu đò āng suất: (Ãz), (Äzy)
Ví dụ 6 Xem xét một dầm tiết diện hình chữ T dưới tác động lực như hình vẽ a Vẽ các biểu đồ ứng lực (Qy) và mô men (Mx) b Vẽ các biểu đồ ứng suất pháp (σz) và ứng suất tiếp (τzy) cho tiết diện nguy hiểm.
Cho biết: P = 200kN; q = 60kN/m; M = 250kNm Các kích thước trên tiết diện được cho theo đơn vị cm.
Bài giÁi a Vẽ cỏc biểu đò āng lực (Qy), (Mx)
- Xác định các phản lực liên kết
- Chia dầm làm hai đoạn: AB, AC.
- Vẽ biểu đò lực cắt (Qy) Tại A: Q Tr A ý0; Q A Ph ýQ A Tr V A ý0100ý100kN
Tại C: Q C Tr ýQ B Ph ý280kN; Q C Ph ýQ C Tr V B ý280280ý0
- Vẽ biểu đò mụ men uốn (Mx) Tại A: M A ý 0
Tại C: M C Tr ýM B S Q BC ý30280.1ý250kNm;
M C Ph ý M C Tr M ý250250ý0 b Vẽ cỏc biểu đò āng suất phỏp (Ãz) và āng suất tiếp (Äzy)
- Nhận xột: Từ cỏc biểu đò āng lực ta thấy Q y max ý280 kN ; kNm
- Xác định các đặc trưng hình học cÿa tiết diện.
+ Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa tiết diện
Chia tiết diện làm hai phần:
Phần (I): Hình chữ nhật kích thước 30x50(cm), trọng tâm C1, diện tích:
Phần (II): Hình chữ nhật kích thước 50x15(cm), trọng tâm C2, diện tích:
Diện tích cÿa tiết diện: A = A I + A II = 1500 + 750 = 2250cm 2
Gắn vào tiết diện các hệ trục toạ độ: x1C 1 y 1 , x 2 C 2 y 2
Nhận xét: tiết diện nhận trục ylàm trục đối xāng ( y ≡ y1≡ y2)
Toạ độ trọng tâm C cÿa hình phẳng trong hệ toạ độ x1C1y1:
Kết luận: Vậy hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa tiết diện là xCy
+ Mô men quán tính chính trung tâm cÿa tiết diện đối với trục x: úû ú ù û ù ÷ ứ ữ ử ứ ử
- Các mô men kháng uốn cÿa hình phẳng đối với trục x:
+ Các trị số tuyệt đối mô men tĩnh đối với trục x:
- Vẽ biểu đò āng suất phỏp (Ãz)
+ Tại vị trí có mô men uốn lớn nhất (Tiết diện D):
- Tại vị trí có mô men uốn nhỏ nhất (Tiết diện C):
Suy ra: ó z max ý0,85kN/cm 2 ; ó z min ý1,05kN/cm 2 và tiết diện nguy hiểm là tiết diện C
- Vẽ biểu đò āng suất tiếp (Äzy)
THANH CHịU NẫN LịCH TÂM
Khỏi Niòm
- Thanh chịu kéo, nén lệch tâm khi hợp lực cÿa ngoại lực có thể thu về một lực
N không trùng với trục thanh nhưng có phương song song với trục thanh.
Ăng Su¿t Trên M¿t C¿t Ngang
- Dời lực N về trọng tâm mặt cắt ngang ta được các thành phần āng lực:
Trong đó: Quy ước N > 0 khi hướng ra khỏi mặt cắt. ứ x K , y K ự là toạ độ cÿa điểm K.
+ Đơn vị: N/mm 2 , kN/cm 2
N z : Lực dọc tại tiết diện đang xét.
M x ,M y : Mô men uốn tại tiết diện đang xét.
Mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện đối với các trục x và y được ký hiệu lần lượt là I_x và I_y Bán kính quán tính chính trung tâm của tiết diện tương ứng với các trục này được biểu thị bằng r_x và r_y Các tọa độ của điểm tính ứng suất được ký hiệu là x và y.
- Các āng suất pháp cực trị:
+ Những điểm có āng suất pháp cực trị là những điểm có toạ độ (xmax, ymax) Giá trị cÿa các āng suất pháp cực trị: k y y k x z x k y k y x z x z W
N ý ý max max min ó + Trường hợp tiết diện đối xāng qua các trục x, y: y y x z x z W
ĐÔóng Trung Hoà Và Biểu Đò Ăng Su¿t Phỏp
- Phương trình đường trung hoà.
- Tính chất cÿa đường trung hoà
+ Đường trung hoà không đi qua góc phần tư đặt lực.
+ Đường trung hoà chỉ phụ thuộc vị trí đặt lực và hình dạng mặt cắt ngang mà không phụ thuộc vào trị số cÿa lực N
+ Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì đường trung hoà tương āng sẽ quay quanh một điểm cố định.
Khi lực được đặt trên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ, đường trung hòa tương ứng sẽ dịch chuyển song song với chính nó Nếu điểm đặt lực di chuyển gần trọng tâm, đường trung hòa sẽ dịch chuyển ra xa trọng tâm Ngược lại, khi điểm đặt lực di chuyển ra xa trọng tâm, đường trung hòa sẽ dịch chuyển gần trọng tâm.
- Biểu đò āng suất phỏp (ú z )
+ Biểu đò āng suất phỏp (ú z )cú dạng đường thẳng được giới hạn bởi cỏc điểm có āng suất pháp cực trị
+ Để vẽ biểu đò āng suất phỏp (ú z )ta tiến hành như sau:
Kéo dài đường trung hoà ra ngoài mặt cắt ngang.
Vẽ đường chuẩn vuông góc với đường trung hoà.
Từ trọng tâm mặt cắt, kẻ một đường thẳng song song với đường trung hòa Sau đó, từ giao điểm của đường này với đường chuẩn, dựng tung độ giá trị cần thiết.
Sau đó, kết nối đầu nút của từng độ này với giao điểm của đường trung hòa và đường chuẩn Tiếp theo, kéo dài đường thẳng này để thu được biểu đồ ứng suất pháp (σz).
ĐiÃu Kiòn BÃn
Lõi Cāa M¿t C¿t Ngang
Lõi của mặt cắt ngang là một khu vực kín bao quanh trọng tâm, trong đó nếu lực lệch tâm được đặt trong miền này, đường trung hòa sẽ nằm ngoài mặt cắt ngang Ngược lại, nếu lực lệch tâm được đặt trên chu vi của miền, đường trung hòa sẽ tiếp xúc với chu vi của mặt cắt ngang.
- Cách xác định lõi mặt cắt ngang.
+ Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm cÿa mặt cắt ngang.
Để xác định các giá trị ai, bi tương ứng, cần vẽ các đường trung hòa tiếp xúc với chu vi của mặt cắt ngang Từ phương trình của đường trung hòa, ta có thể tính toán các giá trị này một cách chính xác.
+ Với mỗi đường trung hoà và một cặp giá trị ai, b i ta xác định được một điểm
Ki (xki,yki) cÿa lõi.
+ Nối các điểm Kilại vớinhau để được chu vi lõi.
* Chú ý: Đường trung hoà chỉ tiếp xúc với chu vi mà không được cắt mặt cắt ngang
Trong thực tế, nhiều kết cấu được làm từ vật liệu chịu nén tốt nhưng chịu kéo kém như gang, gạch, đá và bê tông Khi thiết kế các kết cấu chịu nén lệch, cần xác định vị trí đặt lực sao cho trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại ứng suất nén Việc xác định lưới tiết diện giúp đáp ứng yêu cầu thiết kế và tận dụng khả năng làm việc chịu nén của các vật liệu này.
7.5.2 Lừi cāa mòt sò m¿t c¿t ngang thÔóng g¿p a Lõi của mặt cắt ngang hình chữ nhật x y
93 b Lõi của mặt cắt ngang hình tròn
Bài To án ăng Dÿng
Cột AB tiết diện chữ I số hiệu N o 27 chịu nén lệch tâm với lực P = 320kN và độ lệch e = 7cm Để xác định các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang của cột, cần phân tích các lực tác động và tính toán các ứng suất cực trị tại vị trí này Việc này giúp đánh giá độ bền và khả năng chịu nén của cột trong điều kiện tải trọng cụ thể.
Bài giÁi a Xác định các thành phầnāng lực trên mặt cắt ngang cột
- Mô men uốn My: kNcm e
M y ý ý320.7ý2240 b Xác định các āng suất cực trị trên mặt cắt ngang cột.
- Các đặc trưng hình học cÿa tiết diện
Tra bảng thép định hình với thép I số hiệu N o 27, ta được:
+ Diện tích tiết diện: A = 40,2cm2
+ Mô men kháng uốn cÿa tiết diện đối với trục y: Wy = 371cm 3
- Các āng suất pháp cực trị:
Trong bài tập này, chúng ta có cột chịu lực với các thông số P = 60kN, L = 4m, b = 20cm và h = 30cm Đầu tiên, cần xác định các ứng suất cực trị trên mặt cắt ngang của cột Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định phương trình đường trung hòa và vẽ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của cột.
Bài giÁi a Xác định các āng suất cực trị trên mặt cắt ngang cÿa cột.
- Xác định các thành phần āng lực
- Xác định các đặc trưng hình học cÿa tiết diện:
+ Các mô men kháng uốn cÿa tiết diện:
+ Các bán kính quán tính chính trung tâm cÿa tiết diện: h cm r x 8,66
- Xác định các āng suất cực trị:
N z x y z ý ý ý ó b Xỏc định phương trỡnh đường trung hoà và vẽ biểu đò āng suất phỏp trờn mặt cắt ngang cÿa cột.
- Phương trình đường trung hoà: ý1
- Vẽ biểu đò āng suất phỏp (Ãz) trờn mặt cắt ngang cÿa cột: y x
àN ĐịNH CĀA THANH CHịU NẫN ĐÚNG TÂM
Khỏi niòm chung
- àn định cÿa kết cấu là khả năng duy trì, bảo toàn dạng cân bằng ban đầu dưới tác dụng cÿa tải trọng
- Biến dạng cÿa thanh có kèm theo sự uốn cong cÿa trục thanh dưới tác dụng cÿa lực nén dọc trục gọi là hiện tượng uốn dọc.
Sự xuất hiện của uốn dọc trong kết cấu là rất nguy hiểm, vì vậy cần đảm bảo rằng thanh không bị mất ổn định Để đạt được điều này, trị số của lực nén đặt vào thanh phải được xác định chính xác và thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
P: Lực nén đúng tâm đặt vào thanh
P th : Lực nén tới hạn.
Bài Toỏn Euler Xỏc Đònh Lāc Tỏi H¿n
- Trường hợp thanh thẳng hai đầu liên kết khớp chịu lực nén P đúng tâm tại gối di động:
- Với những thanh có hai đầu liên kết khác, lực tới hạn được xác định một cách táng quát như sau: ứ ự
E: Mụ đun đàn hòi cÿa vật liệu khi kộo - nộn
I min = min{I x , I y }: Mô men quán tính chính trung tâm nhỏ nhất cÿa tiết diện. o l ýý l : Chiều dài tính toán cÿa thanh; l : Chiều dài ban đầu cÿa thanh. l
PR μ: Hệ số phụ thuộc liên kết hai đầu thanh.
8 3 Ăng Su¿t Tái H¿n Và Giái H¿n Áp Dÿng Công Thăc Euler
l r üý ý : Độ mảnh cÿa thanh.
min min I min x , y r r r ý A ý : Bán kính quán tính chính trung tâm nhỏ nhất cÿa tiết diện
8 3.2 Giái h¿n áp dÿng công thăc Euler ü ü o
E ü ý ó là độ mảnh giới hạn và phụ thuộc hoàn toàn vào vật liệu
- Dựa vào giá trị độ mảnh, người ta chia thanh thành các loại sau:
+ Những thanh có ü ü o được gọi là có độ mảnh lớn.
+ Những thanh có ü üü o được gọi là có độ mảnh vừa và nhỏ.
Tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn của thanh AB làm bằng thép CT3 có mặt cắt ngang hình chữ I số hiệu N 20 được xác định với các thông số: mô đun đàn hồi E = 2.10^4 kN/cm², ứng suất giới hạn kéo σtl = 21 kN/cm² và ứng suất giới hạn nén σch = 21,5 kN/cm².
- Tra bảng thép I số hiệu N o 20, ta được:
Suy ra: I min ý min I I x , y ý I y ý 112 cm 4 ; r min ý min r r x , y ý ý r y 2,06 cm
- Hệ số phụ thuộc liên kết hai đầu thanh: ýý 1 min
- Nhận xét: ü ý 116,5 þü o ý 96,95 Thanh có độ mảnh lớn.
- Áp dụng công thāc Euler, ta được:
àn Đònh Cāa Thanh Ngoài Giỏi H¿n Đàn Hòi
Việc xác định ứng suất tới hạn cho các thanh làm việc ngoài giới hạn đàn hồi, đặc biệt là thanh có độ mảnh vừa và nhỏ, gặp nhiều khó khăn trong thực nghiệm Do đó, cần tiến hành nghiên cứu và thực hiện các công thức thực nghiệm để có kết quả chính xác.
- Trường hợp thanh cú độ mảnh vừa ứỹ ỹ ỹ1 ỹ ỹ o ự , ta sử dụng cụng thāc thực nghiệm Iasinski để tính toán:
1 a o b ü ý ó o ch ó ýó với vật liệu dẻo, ó o ýó b với vật liệu giò n a và b là các hằng số phụ thuộc vào vật liệu và được xác định từ thực nghiệm.
+ Ví dụ: Đối với thép CT3 thì a = 33,6kN/cm 2 ; b = 0,147kN/cm 2 Đối với gỗ thì a = 2,93kN/cm 2 ; b = 0,0194kN/cm 2
- Trường hợp thanh cú độ mảnh nhỏ ứ 0 ỹ ỹ1 ự , cho phộp lấy: th o ó ýó
PhÔÂng phỏp thāc hành tớnh ỏn đònh
Giới hạn bền cho phép của thanh chịu kéo-nén đúng tâm được xác định bởi hệ số uốn dọc, ký hiệu là ử 1 Hệ số này là hệ số giảm ứng suất cho phép và phụ thuộc vào vật liệu cũng như độ mảnh của thanh, được tra cứu trong bảng 10.2 trang 143 của SBVL.
8 5.2 Cỏc bài toỏn c bÁn và ỏn đònh
- Bài toán kiểm tra án định.
- Bài toán thiết kế tiết diện: Sử dụng phương pháp đúng dần
- Bài toán xác định tải trọng tác dụng cho phép.
Trong bài toán này, thanh AB có tiết diện chữ I với số hiệu N o 14 chịu nén đúng tâm, được làm từ vật liệu thép CT3 có giới hạn bền là 16 kN/cm² và tải trọng P là 120 kN Để giải quyết vấn đề, trước tiên cần xác định độ mảnh của thanh AB, sau đó kiểm tra điều kiện ổn định của thanh này.
Bài giÁi a Xác định độ mảnh cÿa thanh AB.
- Các đặc trưng hình học cÿa thanh AB Tra bảng thép định hình với thép I số hiệu N o
Suy ra: r min ý min r r x , y ý ý r y 1,75 cm
- Hệ số phụ thuộc liên kết hai đầu thanh: ý ý 0,7
- Độ mảnh cÿa thanh AB: min
AB l r ü ý ý ý ý b Kiểm tra điều kiện án định cÿa thanh AB.
- Lực dọc trên thanh AB:
Tra bảng quan hệ ỹ - ử với vật liệu thộp CT3 và nội suy bậc nhất ta được: ửý 0, 43
- Điều kiện án định cho thanh AB:
- Kết luận: Thanh AB đảm bảo điều kiện án định
Thanh AB có tiết diện tròn chịu nén đúng tâm Để xác định độ mảnh của thanh AB, cần phân tích các yếu tố liên quan đến hình dạng và kích thước của nó Tiếp theo, xác định lực nén P cho phép theo điều kiện an toàn của thanh AB là bước quan trọng để đảm bảo tính ổn định và hiệu quả trong thiết kế.
Biết vật liệu là gỗ có: [Ã] = 4kN/cm 2
Bài giÁi a Xác định độ mảnh cÿa thanh AB.
- Các đặc trưng hình học cÿa thanh AB:
+ Bán kính quán tính chính trung tâm nhỏ nhất cÿa tiết diện: min
- Hệ số phụ thuộc liên kết hai đầu thanh: ý ý 2
- Độ mảnh cÿa thanh AB: min
AB AB l r ü ý ý ý ý b Xác định lực nén P cho phép theo điều kiện án định cÿa thanh AB.
- Lực dọc trên thanh AB:
Tra bảng quan hệ ỹ - ử với vật liệu gỗ và nội suy bậc nhất ta được: ửý 0, 29
- Áp dụng điều kiện án định cho thanh AB: ý
- Kết luận. Để đảm bảo điều kiện án định cho thanh AB, lực nén cho phép tác dụng lên thanh:
Ví dÿ 4 Cho thanh AB tiết diện vuông cạnh a chịu nén đúng tâm như hình vẽ Biết: P =
270kN, vật liệu là gỗ có [Ã] = 3kN/cm 2 a Xác định độ mảnh cÿa thanh AB theo kích thước a. b Chọn kích thước a theo điều kiện án định cÿa thanh AB
Bài giÁi a Xác định độ mảnh cÿa thanh AB.
- Các đặc trưng hình học cÿa thanh AB:
+ Mô men quán tính chính trung tâm nhỏ nhất cÿa tiết diện:
+ Bán kính quán tính chính trung tâm nhỏ nhất cÿa tiết diện:
- Hệ số phụ thuộc liên kết hai đầu thanh: ý ý 1
- Độ mảnh cÿa thanh AB:
AB AB l r a a ü ý ý ý ý b Chọn kích thước a theo điều kiện án định cÿa thanh AB.
- Nhận xét: Trong công thāc kiểm tra án định ý
Để xác định kích thước a cho tiết diện thanh, cần chú ý đến hai ẩn số quan trọng: diện tích tiết diện A và hệ số uốn dọc Å Việc áp dụng phương pháp đúng dần sẽ giúp tối ưu hóa kích thước này.
- Lần chọn thā nhất: Chọn ử1 ý 0,5
+ Áp dụng điều kiện án định cho thanh AB: ý
+ Độ mảnh cÿa thanh AB: 1108,51 1108,51
+ Hệ số uốn dọc Å: Tra bảng quan hệ ỹ - ử với vật liệu gỗ và nội suy bậc nhất ta được
1 0, 454 ử ý Hệ số này khỏc với giả thiết ban đầu nờn ta cần chọn lại.
- Lần chọn thā hai: Chọn 2 1 1 '
2 2 ử ýử ử ý ý + Áp dụng điều kiện án định cho thanh AB: ý
+ Độ mảnh cÿa thanh AB: 1108,51 1108,51
+ Hệ số uốn dọc Å: Tra bảng quan hệ ỹ - ử với vật liệu gỗ và nội suy bậc nhất ta được
2 0, 4732 ử ý Hệ số này khụng khỏc với giả thiết ban đầu nhiều Do đú ta kiểm tra lại điều kiện án định cho thanh AB.
+ Độ mảnh cÿa thanh AB: 1108,51 1108,51
+ Hệ số uốn dọc Å: Tra bảng quan hệ ỹ - ử với vật liệu gỗ và nội suy bậc nhất ta được
+ Điều kiện án định cho thanh AB.
Kết cấu chịu lực được thiết kế theo hình vẽ, trong đó thanh chống AB được chế tạo từ thép chữ I số hiệu N o 27 Để đảm bảo tính toán chính xác, cần xác định lực dọc tác động lên thanh chống AB và kiểm tra điều kiện an toàn của thanh này.
Biết vật liệu là thép CT3 có [Ã] = 16 KN/cm 2 ; P = 210KN; q = 35KN/m; α 60 o
Bài giải a.Xác định lực dọc trên thanh chống AB.
- Thiết lập phương trình cân bằng mô men đối với điểm C: õ m C ý 0 N AB sin 4 P 2 q 4 2 ý 0 q KN
b.Kiểm tra điều kiện án định cÿa thanh chống AB.
- Chiều dài thực cÿa thanh chống AB: m l AB o 4
- Các đặc trưng hình học cÿa thanh chống AB:
Tra bảng thép định hình với thép I số hiệu N o 27 ta có: A = 40,2cm 2 ; rmin 2,54cm Độ mảnh cÿa thanh chống AB:
- Hệ số uốn dọc: Tra bảng quan hệ ü và và nội suy bậc nhất ta được:
- Kiểm tra điều kiện án định:
ó Thoả mãn điều kiện án định.
- Kết luận: Thanh đảm bảo điều kiện án định
Để xác định tải trọng cho phép q cho kết cấu chịu lực như hình vẽ, cần xem xét điều kiện an toàn của thanh chống BC với mặt cắt ngang hình chữ nhật có kích thước 8x14 cm.
Cho biết: Chiều dài thanh BC là 280cm; Vật liệu là thép CT3 có [Ã] 14KN/cm 2 ; α = 45 o
* Xác định lực dọc trên thanh chống BC theo tải trọng phân bố q :
- Thiết lập phương trình cân bằng mô men đối với điểm A: õ m A ý 0 N BC sin 300 q 200 200 ý 0 q q
* Các đặc trưng hình học cÿa tiết diện thanh chống BC:
Mô men quán tính nhỏ nhất cÿa tiết diện:
- Bán kính quán tính nhỏ nhất cÿa tiết diện: cm
* Độ mảnh cÿa thanh chống BC:
* Hệ số uốn dọc cÿa thanh chống BC:
Tra bảng quan hệ ü và và nội suy bậc nhất ta được: BC ý0,44395
* Xác định tải trọng cho phép q theo điều kiện án định cÿa thanh chống BC:
* Kết luận: Để đảm bảo an toàn về án định ta chọn: q max ý 369 , 2 KN / m
Ví dÿ 6: (Xem ví dụ 3 trang 145 - SBVL)
VI.Hình dáng hợp lý cÿa mặt cắt ngang. Để có mặt cắt ngang hợp lý về mặt án định thì:
- Chọn mặt cắt ngang sao cho: rx = r y ↔ c = Iy
Để tối ưu hóa diện tích, hãy chọn mắt ngang sao cho các mô men quán tính chính tại trung tâm đạt giá trị lớn nhất Việc sử dụng các hình rỗng là cần thiết, nhưng cần đảm bảo bề dày không quá nhỏ nhằm tránh hiện tượng mất ổn định cục bộ.
Khỏi Niòm
Dầm liên tục là 1 thanh thẳng kê trên nhiều gối tựa, hệ thừa liên kết và không biến hình.
Dầm liên tục được có 3 loại cơ bản là: dầm liên tục đơn giản, dầm liên tục có đầu ngàm và dầm liên tục có đầu thừa.
BÁc Siêu T*nh
Trong đó Ctglà số gối trung gian cÿa dầm, N là số ngàm cÿa dầm.
Hò CÂ BÁn
Hệ cơ bản của dầm liên tục được xác định từ hệ đã cho bằng cách hóa khớp tại các tiết diện trên các gối trung gian của dầm Đồng thời, cần thêm vào các cặp mô men, phản ánh các mô men nội lực tương ứng trên các gối trung gian.
* Chú ý : với dầm có đầu ngàm hay đầu thừa, ta cần đưa về dạng dầm đơn giản để giải bằng cách:
+ Dầm có đầu thừa: tạm thời cắt đầu thừa, thay bằng cặp nội lực Q, M tương āng, đến khi tính và vẽ (MP), (QP) ta trả lại đầu thừa.
+ Dầm có đầu ngàm: thay ngàm bằng đoạn dầm có chiều dài bằng không với 2 liên kết gối cố định và gối di động.
9.4 Ph¤¢ng Trình Ba Mô Men
- Đánh số gối cÿa dầm: bằng các số tự nhiên 0; 1; 2 từ trái sang phải.
- Tên nhịp: gọi theo tên gối phải cÿa nhịp.
- Chiều dài các nhịp là l 1 ; l 2 ;
- Độ cāng chống uốn cÿa các nhịp là (EI)1; (EI)2;
Phương trình ba mô men
Phương trình ba mô men, hay còn gọi là phương trình chính tắc, là phương trình đáp ứng điều kiện bằng không về chuyển vị góc xoay tương đối giữa hai tiết diện kề nhau trên các gối trung gian của dầm.
Phương trình táng quát viết cho gối trung gian thā