Việc nghiên cứuquỹ đạo, đường đi của một vật thể khi nó di chuyển trong không gian –không chỉ cung cấp thông tin quan trọng về cách vật thể thay đổi vị trí màcòn giúp con người hiểu sâu
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phương trình chuyển động
• Phương trình biểu diễn vị trí của một vật theo thời gian, thường được viết dưới dạng x(t), y(t), hoặc z (t) trong hệ tọa độ không gian.
• Với chuyển động trên mặt phẳng, quỹ đạo của vật được xác định bởi mối quan hệ giữa x(t) và y(t).
Quỹ đạo
• Quỹ đạo là đường cong mà vật đi qua trong không gian.
• Được xác định bởi phương trình tham số
x = f (t) y = g(t) hoặc dưới dạng hàm ẩn F (x, y) = 0.
Vecto vận tốc
Vecto vận tốc là một đại lượng vectơ quan trọng, thể hiện sự thay đổi vị trí của một vật trong không gian theo thời gian Nó có hai đặc điểm chính cần lưu ý.
• Độ lớn (magnitude): Độ lớn của vecto vận tốc chính là vận tốc của vật, biểu thị tốc độ di chuyển của vật.
• Hướng (direction): Hướng của vecto vận tốc chỉ phương chuyển động của vật, tức là chỉ hướng đi của vật trong không gian.
Công thức: Vecto vận tốc ⃗v có thể được tính bằng cách lấy đạo hàm của vị trí theo thời gian:
• ⃗r :là vecto vị trí của vật.
• d ⃗r dt : là sự thay đổi vị trí của vật theo thời gian, tức là vecto vận tốc. Đặc điểm của vecto vận tốc:
• Độ lớn của vecto vận tốc là tốc độ của vật.
• Hướng của vecto vận tốc chỉ phương chuyển động của vật.
• Vecto vận tốc có thể thay đổi theo thời gian nếu tốc độ và/hoặc phương chuyển động của vật thay đổi.
• Một vật chuyển động theo quỹ đạo tròn với tốc độ không đổi sẽ có vecto vận tốc luôn thay đổi hướng nhưng có độ lớn không đổi.
• Nếu vật chuyển động thẳng đều, vecto vận tốc có độ lớn không đổi và phương không đổi.
3.1 Veco vận tốc tức thời
Vecto vận tốc trung bình là đại lượng vectơ thể hiện sự thay đổi vị trí của một vật trong khoảng thời gian nhất định Nó bao gồm phương và độ lớn của sự thay đổi vị trí (hay quãng đường) của vật, được tính bằng cách chia quãng đường cho thời gian di chuyển.
Vecto vận tốc trung bình được tính bằng công thức:
• ⃗r 1 là vecto vị trí của vật tại thời điểm đầu (t 1).
• ⃗r 2 là vecto vị trí của vật tại thời điểm cuối (t 2 ).
• ∆t = t 2 − t 1 là khoảng thời gian mà vật di chuyển từ vị trí ⃗r 1 đến vị trí
• Độ lớn của vecto vận tốc trung bình biểu thị tốc độ trung bình của vật trong suốt khoảng thời gian ∆t.
• Hướng của vecto vận tốc trung bình chỉ phương chuyển động trung bình của vật trong khoảng thời gian đó.
Khi một vật di chuyển từ vị trí A đến vị trí B trong một khoảng thời gian nhất định, vecto vận tốc trung bình sẽ thể hiện phương và độ lớn của chuyển động, không bị ảnh hưởng bởi những biến đổi trong tốc độ hay hướng di chuyển của vật trong suốt quá trình.
Sự khác biệt với vận tốc tức thời:
Vecto vận tốc tức thời thể hiện cả hướng và độ lớn của vận tốc tại một thời điểm cụ thể, trong khi vecto vận tốc trung bình phản ánh sự thay đổi vị trí trong một khoảng thời gian nhất định.
Vecto vận tốc trung bình chỉ cung cấp một giá trị tổng quát cho toàn bộ quãng đường và thời gian di chuyển, mà không thể hiện được những biến đổi trong vận tốc của vật trong suốt quá trình di chuyển.
Mô tả chuyển động của vật trong không gian hai chiều
• Gắn vào điểm gốc của bán kính Vecto ⃗r một hệ trục tọa độ Descartes Oxy, với các vecto đơn vị trên trục Ox và Oy.
• Trong hệ tọa độ 2 chiều, chuyển động của vật được mô tả theo Ox và
Oy, ứng với 2 phương trình chuyển động của vật phụ thuộc vào thời gian t là x(t) và y(t).
• Khi chất điểm chuyển động, ⃗r cũng như các tọa độ x(t), y(t) của nó cũng thay đổi theo thời gian t.
• Để xác định phương trình quỹ đạo từ các phương trình chuyển động, ta thực hiện việc khử bỏ biến thời gian t, ta sẽ được phương trình quỹ đạo:
Gia tốc
Gia tốc là một đại lượng vật lý vector, phản ánh sự thay đổi vận tốc của một vật theo thời gian Nó cho biết cách mà vận tốc của vật có thể tăng lên, giảm đi hoặc thay đổi hướng trong một khoảng thời gian nhất định.
• Gia tốc được sáng định theo công thức
• ∆ ⃗v : Độ biến thiên vận tốc (⃗ v 2 − ⃗ v 1 ).
• ∆t: Khoảng thời gian xảy ra sự thay đổi vận tốc.
Nếu xét khoảng thời gian rất nhỏ (∆t → 0 ), ta có gia tốc tức thời:
• Khi vật chuyển động trên một đường thẳng.
• Ví dụ: Gia tốc của vật rơi tự do (a = g = 9.8 m/s 2 ).
• Khi vật chuyển động tròn, gia tốc luôn hướng về tâm của quỹ đạo tròn.
Trong đó R là bán kính quỹ đạo.
• Xuất hiện khi vật thay đổi độ lớn vận tốc theo quỹ đạo cong.
5.3.4 Gia tốc tổng hợp ( theo quỹ đạo cong)
• Tổng hợp từ gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến: a = a 2 t + a 2 h
Phân loại phương trình chuyển động
x = f (t) y = g (t) trong đó t là thời gian.
• Từ đây, bạn có thể loại bỏ t để tìm phương trình đường cong y = f (x) hoặc F (x, y) = 0.
• Dạng: y = f (x), biểu diễn quan hệ trực tiếp giữa x và y (ví dụ, chuyển động ném ngang).
• Dạng: r = f (θ), phù hợp cho các bài toán chuyển động có tính đối xứng quanh tâm.
Các bước xác định quỹ đạo
• Bước 1: Xác định phương trình chuyển động
– Lấy phương trình x(t), y(t) hoặc hàm cực r(θ).
• Bước 2: Loại bỏ tham số t
– Kết hợp các phương trình x(t) và y(t) để loại t, tìm được phương trình đường cong y = f (x).
– Dùng phần mềm đồ thị (như Python, MATLAB, hoặc Geogebra) hoặc vẽ tay để biểu diễn quỹ đạo.
Một số loại chuyển động
• Quỹ đạo là đường thẳng.
Chuyển động dao động điều hòa
• Quỹ đạo: Hình ellipse, với phương trình x A 2 2 + y B 2 2 = 1.
THỰC HÀNH
Một vật chuyển động trên mặt phẳng Oxy với phương trình chuyển động được cho bởi:
x(t) = 5t y(t) = 10t − 2t 2 với t là thời gian (giây) và các giá trị x và y được tính bằng mét.
1 Xác định phương trình quỹ đạo của vật.
2 Tìm độ cao cực đại của vật.
3 Tìm tầm xa của vật.
4 Tìm thời gian bay tổng cộng.
5 Xác định vận tốc của vật tại thời điểm t = 1 s (bao gồm độ lớn và hướng).
6 Vẽ quỹ đạo chuyển động của vật.
1 Phương trình quỹ đạo của vật
Từ phương trình x(t), ta có: t = x
Do đó, phương trình quỹ đạo của vật là: y = 2x − 2x
2 Độ cao cực đại Độ cao cực đại đạt được khi vận tốc theo phương y bằng 0 Vận tốc theo phương y là: v y = dy dt = 10 − 4t
Thay t = 2.5 vào phương trình y(t): y max = 10 ã 2.5 − 2 ã (2.5) 2 = 25 − 12.5 = 12.5 m
Kết quả: Độ cao cực đại là y max = 12.5 m.
Tầm xa đạt được khi vật chạm đất (y = 0): y(t) = 10t − 2t 2 = 0 = ⇒ t(10 − 2t) = 0 t = 0 hoặc t = 5 s
Thời gian bay tổng cộng là t = 5 s Thay vào phương trình x(t): x max = 5t = 5 ã 5 = 25 m
Kết quả: Tầm xa của vật là x max = 25 m.
4 Thời gian bay tổng cộng
Thời gian bay đã được tính ở trên: t total = 5 s
Kết quả: Thời gian bay là t total = 5 s.
5 Vận tốc tại thời điểm t = 1 s
• Vận tốc theo phương x: v x = dx dt = 5 m/s
• Vận tốc theo phương y: v y = dy dt = 10 − 4t = 10 − 4 ã 1 = 6 m/s
• Độ lớn của vận tốc: v = v 2 x + v y 2 = √
• Hướng của vận tốc (góc θ so với phương ngang): θ = tan − 1 v y v x
• Độ lớn vận tốc tại t = 1 s: v ≈ 7.81 m/s
6 Vẽ quỹ đạo chuyển động của vật
Quỹ đạo được vẽ như hình dưới đây: 25
Hình 1: Hình vẽ minh họa
2 Độ cao cực đại: y max = 12.5 m.
Một chất điểm dao động điều hòa trên mặt phẳng Oxy với phương trình:
x(t) = 4 cos(2t) y(t) = 3 sin(2t) với t tính bằng giây, x và y tính bằng mét.
1 Xác định phương trình quỹ đạo của chất điểm.
2 Vẽ quỹ đạo của chất điểm trên mặt phẳng Oxy.
1 Phương trình quỹ đạo của chất điểm
Phương trình dao động điều hòa đã cho: x(t) = 4 cos(2t), y(t) = 3 sin(2t)
Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác: cos 2 (2t) + sin 2 (2t) = 1
Thay cos(2t) = x 4 và sin(2t) = y 3 vào:
Phương trình này biểu diễn quỹ đạo của chất điểm Đây là một ellipse (hình ellipse) với:
2 Vẽ quỹ đạo của chất điểm
Phương trình quỹ đạo x 16 2 + y 9 2 = 1 được vẽ trên mặt phẳng Oxy.
Hình 2: Hình vẽ minh họa
Một khí cầu bay lên từ mặt đất với vận tốc không đổi \( v_0 \) Gió tác động lên khí cầu, tạo ra thành phần vận tốc theo phương ngang \( v_x = ay \), trong đó \( y \) là độ cao Các giá trị \( v_0 \) và \( a \) được cho trước.
1 Xác định phương trình chuyển động của vật.
2 Xác định phương trình quỹ đạo của vật.
3 Vẽ quỹ đạo của vật trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5 giây.
Bài toán: Dao động điều hòa trên mặt phẳng Oxy
Một chất điểm dao động điều hòa trên mặt phẳng Oxy với phương trình: x(t) = 4 cos(2t), y(t) = 3 sin(2t), trong đó t tính bằng giây, x và y tính bằng mét.
1 Xác định phương trình quỹ đạo của chất điểm.
2 Vẽ quỹ đạo của chất điểm trên mặt phẳng Oxy.
1 Phương trình quỹ đạo của chất điểm
Bình phương hai phương trình này rồi cộng lại, ta được: x 2
Do đó, phương trình quỹ đạo của chất điểm là: x 2
Phương trình 9 = 1 mô tả một elip với tâm tại gốc tọa độ O(0, 0) Elip này có trục lớn nằm trên trục Ox với độ dài 2a = 8, trong khi trục nhỏ nằm trên trục Oy với độ dài tương ứng.
2 Vẽ quỹ đạo của chất điểm trên mặt phẳng Oxy
Hình 3: Hình vẽ minh họa
MATLAB
Giới thiệu về matlab
MATLAB (Matrix Laboratory) là phần mềm khoa học chuyên dụng cho tính toán số và hiển thị đồ họa, sử dụng ngôn ngữ lập trình cấp cao Với tính năng tương tác mạnh mẽ, MATLAB cho phép người dùng thao tác dữ liệu linh hoạt dưới dạng mảng ma trận để thực hiện các phép tính và quan sát kết quả Dữ liệu đầu vào có thể được nhập thông qua "Command line" hoặc từ các "mfiles", trong đó các tập lệnh được định nghĩa trước bởi MATLAB.
MATLAB cung cấp cho người dùng nhiều toolbox tiêu chuẩn tùy chọn, cho phép tùy chỉnh và mở rộng khả năng của phần mềm Ngoài ra, người dùng có thể tạo ra các hộp công cụ riêng, bao gồm các "mfiles" được viết cho những ứng dụng cụ thể, nhằm phục vụ nhu cầu riêng của họ.
Một số câu lệnh cần biết
Lệnh Cú pháp Chức năng
Disp disp(x) disp(’chuỗi tự’) Hiển thị nội dung của mảng hoặc chuỗi
Syms syms x Khai báo biến x là một biến ký hiệu
Input x=input(’tên biến’) Hiển thị dấu nhắc lệnh và chờ đầu vào
Ezplot ezplot(x,y) Tạo đồ thị xy
Title title(’tên đồ thị’) Tựa đề đồ thị
Label xlabel(’tên’)ylabel(’tên’) Thêm nhãn vào trục xThêm nhãn vào trục y
Diff diff(’y’,đạo hàm cấp n’) Đạo hàm cấp n của hàm y
Clc clc Xóa kết quả trước và khai báo biến
Bảng 1: Các hàm MATLAB cơ bản
Một khí cầu cất cánh từ mặt đất với vận tốc không đổi v0 Gió tác động lên khí cầu, tạo ra thành phần vận tốc ngang vx = ay, trong đó y là độ cao của khí cầu Các giá trị v0 và a được xác định trước.
1 Xác định phương trình chuyển động của vật.
2 Xác định phương trình quỹ đạo của vật.
3 Vẽ quỹ đạo của vật trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5 giây.
1 Khai báo các tham số- v0, a
2 Tính phương trìnhchuyển động theo y(t)
3 Tính phương trìnhchuyển động theo x(t)
5 Vẽ quỹ đạo trong MATLAB
Giải bài toán bằng matlab clc;close all;clear
%Nhập giá trị a và v_0 a=input(’Nhập giá trị a ’); v_0=input(’Nhập giá trị v_0 ’);
%Khai báo biến syms t x_fun(t) y_fun(t) x_1 y_1 x ;
%Giải y theo t v_y=v_0; y_1=diff(y_fun)==v_y; y_sol(t)=dsolve(y_1,y_fun(0)==0);
%Giải x theo t v_x=a*y_sol; x_1=diff(x_fun)==v_x; x_sol(t)=dsolve(x_1,x_fun(0)==0);
%Câu a: Phương trình chuyển động của khí cầu disp(’Phương trình chuyển động: ’) fprintf(’x(t)= %s \n’, x_sol(t)); fprintf(’y(t)= %s \n’, y_sol(t));
%Tìm phương trình quỹ đạo t_sol=solve(x_sol==x, t); y=subs(y_sol,t,t_sol(2));
%Câu b: Phương trình quỹ đạo của khí cầu fprintf(’Phương trình quỹ đạo của khí cầu: %s\n’,y);
The code snippet illustrates how to plot the trajectory of a balloon over a time interval of 0 to 5 seconds It defines the polynomial coefficients for both the x and y coordinates using the functions `x_sol` and `y_sol` A loop iterates from 1 to 5 in increments of 0.08, setting the title to "Trajectory Graph of the Balloon from 0 to 5 Seconds" and labeling the axes accordingly The `fplot` function is utilized to graph the trajectory, with specified line width and axis limits based on the polynomial values The use of `pause` ensures the plot updates smoothly during the iterations.
Hình 4: Kết quả bài toán
Hình 5: Hình vẽ quỹ đạo
Một vật chuyển động trên mặt phẳng Oxy với phương trình chuyển động được cho bởi:
x(t) = 5t y(t) = 10t − 2t 2 với t là thời gian (giây) và các giá trị x và y được tính bằng mét.
1 Xác định phương trình quỹ đạo của vật.
2 Tìm độ cao cực đại của vật.
3 Tìm tầm xa của vật.
4 Tìm thời gian bay tổng cộng.
5 Xác định vận tốc của vật tại thời điểm t = 1 s (bao gồm độ lớn và hướng).
6 Vẽ quỹ đạo chuyển động của vật.
1 Khai báo các tham số- Phương trình x(t), y(t)
2 Xác định phương trìnhquỹ đạo y(x)
3 Tìm độ cao cực đại(ymax)
4 Tìm tầm xa của vật(xmax)
5 Tính thời gian baytổng cộng (tmax)
6 Tính vận tốc tại t = 1(v, hướng)
7 Vẽ quỹ đạo chuyển độngtrong MATLAB
Giải bài toán bằng matlab clc; clear; close all;
%Xác định phương trình quỹ đạo của vật syms x_func(t) y_func(t) x x_func=5*t; y_func*t-2*t^2; t_sol=solve(x_func==x,t); y_eq=subs(y_func,t,t_sol); disp(’Phương trình quỹ đạo của vật: ’); fprintf(’y= %s\n’,y_eq);
%Tìm độ cao cực đại của vật x_eq=diff(y_eq,x); x_sol=solve(x_eq==0,x); y_max=subs(y_eq,x,x_sol); fprintf(’Độ cao cực đại của vật là: %s\n’, y_max);
Để tìm tầm xa cực đại của vật, ta sử dụng phương trình \( t_{sol2} = solve(y\_func==0,t) \) Tầm xa tối đa được tính bằng cách thay thế giá trị thời gian vào phương trình \( x\_func \), cụ thể là \( x\_max = subs(x\_func,t,t_{sol2}(2)) \) Kết quả cho thấy tầm xa cực đại của vật là: %s và thời gian bay của vật là: %s.
Để xác định vận tốc của vật tại thời điểm 1 giây, ta tính toán vận tốc theo phương x và y bằng cách sử dụng đạo hàm: \( v_x1 = \text{diff}(x\_func,t) \) và \( v_y = \text{diff}(y\_func,t) \) Sau đó, thay giá trị \( t = 1 \) vào \( v_y \) để có \( v_{y1} = \text{subs}(v_y,t,1) \) Vận tốc tổng hợp \( v_1 \) được tính bằng công thức \( v_1 = \sqrt{(v_x1)^2 + (v_{y1})^2} \) Góc so với phương ngang được xác định qua tỷ lệ \( \text{deg} = \frac{v_{y1}}{v_x1} \) và sử dụng hàm arctan: \( a = \text{atan(deg)} \) Kết quả sẽ được in ra với thông báo: “Vận tốc của vật tại thời điểm 1 giây là: %s” và “Góc so với phương ngang của vật tại thời điểm 1 giây là: %s”.
%Vẽ đồ thị fplot(x_func,y_func,[0 5]); title(’Đồ thị quỹ đạo chuyển động của vật’); grid on;
Hình 6: Đáp án bài toán
Hình 7: Hình vẽ quỹ đạo
Một chất điểm dao động điều hòa trên mặt phẳng Oxy với phương trình:
x(t) = 4 cos(2t) y(t) = 3 sin(2t) với t tính bằng giây, x và y tính bằng mét.
1 Xác định phương trình quỹ đạo của chất điểm.
2 Vẽ quỹ đạo của chất điểm trên mặt phẳng Oxy.
1 Khai báo các tham số- Phương trình x(t), y(t)
2 Xác định phương trìnhquỹ đạo y(x)
3 Vẽ quỹ đạo của chất điểmtrên mặt phẳng Oxy
To solve the problem using MATLAB, begin by clearing the workspace with `clc; clear; close all` Define the symbolic functions `x_func(t)` and `y_func(t)` with the equations `x_func = 4*cos(2*t)` and `y_func = 3*sin(2*t)` Solve for `t` using `solve(x_func == x, t)` and substitute the solution into `y_func` to obtain the equation of motion Display the trajectory equation with `disp` and format the output using `fprintf` Finally, plot the trajectory with `fplot`, adding grid lines, axis labels, and setting equal axis scaling, while specifying the limits for both x and y axes and titling the graph as "Trajectory of the Particle."
Hình 8: Kết quả bài toán
Hình 9: Hình dáng quỹ đạo